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1.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。
2.掌握三角形全等的“SAS”条件。
3.在探索三角形全等条件及其应用过程中，能够有条理地思考并进行简单的推理。
如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢？每种情况下得到的三角形都全等吗？
两种情况：（1）两边及夹角；
（2）两边及其一边的对角。
不都全等。
尝试·思考
你画的三角形与同伴画的一定全等吗
如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，情况会怎样呢？比如三角形两条边分别为 2.5 cm，3.5 cm，它们所夹的角为 40°，你能画出这个三角形吗？
2.5 cm
3.5 cm
40°
2.5 cm
3.5 cm
40°
3.5 cm
A
B
40°
C
D
2.5 cm
全等
知识点1 边角边（SAS）
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。
“SAS”书写格式及图示：
所以
知识点2 已知三角形的两边及其夹角，用尺规作这个三角形
已知线段a，c，∠α，用尺规作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α。
a
c
α
1. 作一条线段BC=a。
2. 以点B为顶点，以BC为一边，作角∠DBC=∠α。
3. 在射线BD上截取线段BA=c。
4. 连接AC。△ABC就是所要求作的三角形。
B
C
D
A
尝试·交流
如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角，情况会怎样呢？比如三角形两条边分别为 2.5 cm，3.5 cm，长度为 2.5cm 的边所对的角为 40°，情况会怎样呢？
两边分别相等且其中一组对边的对角相等的两个三角形不一定全等。
知识点3 选择合适的方法判定三角形全等
判定三角形全等的方法：
SSS，ASA，AAS，SAS
1. （宜宾中考）如图，已知OA=OC，OB=OD，∠AOC= ∠BOD。试说明：△AOB ≌△COD。
O
B
D
A
C
O
B
D
A
C
2.如图，BC∥EF，BC=BE，AB=FB，∠1=∠2，若∠1=60°，求∠C 的度数。
解：因为∠1＝∠2，所以∠ABC ＝∠FBE 。
在△ABC 和 △FBE 中，
BC = BE,
∠ABC = ∠FBE,
AB = FB,
因为
所以△ABC ≌△FBE (SAS)。
因为∠C ＝∠BEF。 又因为 BC ∥ EF，
所以 ∠C ＝∠BEF ＝∠1 ＝ 60°。
1.两边及其夹角分别相等两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。
2.求证三角形全等时,根据所证三角形中已知的边和角，选取相应的判定方法。3 探索三角形全等的条件
课题 第3课时 判定三角形全等（SAS） 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P102-104
教学目标 1.掌握三角形全等的“边角边”条件。 2.在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
教学重难点 重点：三角形“边角边”的全等条件。 难点：用三角形“边角边”的条件进行有条理的思考并进行简单的推理。
教学准备 多媒体课件、量角器、直尺
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 到目前为止，我们已学过哪些方法判定两三角形全等？ 学生回答：SSS，ASA，AAS三种判定三角形全等的方法。 教师提问：根据探索三角形全等的条件，至少需要三个条件，除了上述三种情况外，还有哪种情况？ 学生活动：已知三个条件，除三条边、两角一边的情况，学生容易得出还有两边一角的情况。 教师活动：如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢？每种情况下得到的三角形都全等吗？我们这节课就来探究一下（教师板书课题：第3课时 判定三角形全等（SAS）） 回顾已经学习过的判定三角形全等的三种方法，进而引出新的思考，是否还有其他的方法，激发学生求知欲。
2.实践探究，学习新知 【探究1】 尝试·思考 如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，情况会怎样呢 小组合作，选择两条线段和一个角作为三角形的两边及其夹角，并用尺规作出这个三角形。你作的三角形与同伴作的一定全等吗 学生活动：在纸上画出40°的角，再画两条长分别为2.5cm和3.5 cm的线段，用剪刀剪下，以小组为单位，进行操作拼接成三角形，再进行对比，看一看组成的三角形是否全等.学生也可以利用量角器、直尺等工具在纸上直接画出三角形。 学生发现：他们得到的三角形是全等的，如图。 师生活动：改变角度和边长，让学生画出三角形，看是否全等，学生仍然得到相同的结果，已知两边及其夹角，所画出的三角形全等。 【归纳总结】 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。 “SAS”书写格式及图示： 如图，在△ABC与△A'B'C'中 所以△ABC≌△A'B'C'(SAS)。 回顾上述作图过程，请你总结“已知三角形的两边及其夹角，用尺规作这 个三角形”的方法和步骤。 如图，已知线段a，c，∠α，用尺规作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α。 师生活动：教师与学生一起分析，学生在练习本上按步骤作图，教师通过多媒体给出画图步骤与示范，如下。 作法示范1. 作一条线段BC=a。2. 以B为顶点，以BC为一边，作角∠DBC=∠α。3. 在射线BD上截取线段BA=c。4. 连接AC。 △ABC就是所求作的三角形。
【探究2】 尝试·交流 如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角，比如三角形两条边分别为2.5 cm，3.5 cm，长度为2.5cm的边所对的角为40°，情况会怎样呢？ 学生活动：学生先独立思考，然后再相互交流，利用量角器、直尺等工具在纸上画出三角形，学生发现画出的三角形不一定是全等的，如图。 由此发现，两边分别相等且其中一组对边的对角相等的两个三角形不一定全等。 【教材例题】 例1 如图，AB//CD，并且AB=CD，那么△ABD与△CDB全等吗 请说明理由。 师生活动：学生自主完成该题，找一位同学上台板书自己的解题过程，其余同学在练习本上完成，最后教师用多媒体展示解题过程。 解：因为AB//CD， 根据“两直线平行，内错角相等”， 所以∠1=∠2。 在△ABD和△CDB中， 因为AB=CD，∠1=∠2，BD=DB， 根据三角形全等的判定条件“SAS”， 所以△ABD≌△CDB。 例2 如图4-30，AC与BD相交于点O，且OA=OB，OC=OD。 (1)△AOD与△BOC全等吗 请说明理由。 (2)△ACD与△BDC全等吗 为什么 师生活动：学生自主完成该题，找一位同学上台板书自己的解题过程，其余同学在练习本上完成，最后教师用多媒体展示解题过程。 解：(1)因为∠AOD与∠BOC是对顶角， 根据“对顶角相等”， 所以∠AOD=∠BOC。 在△AOD和△BOC中， 因为OA=OB，∠AOD=∠BOC，OD=OC， 根据三角形全等的判定条件“SAS”， 所以△AOD≌△BOC。 (2)由(1)可知，△AOD≌△BOC， 根据“全等三角形的对应边相等”， 所以AD=BC。 因为OA=OB，OC=OD， AC=OA+OC，BD=OB+OD， 所以AC=BD。 在△ACD和△BDC中， 因为AD=BC，AC=BD，DC=CD， 根据三角形全等的判定条件“SSS”， 所以△ACD≌△BDC。 通过实践操作，让学生形成认识：已知两边及两边的夹角，所作的三角形都全等，重现了上一课时“从一般到特殊，再从特殊到一般”的解决问题的过程。 进一步探究判定两个三角形全等的条件，得出已知两边分别相等且其中一组对边的对角相等不能判定两个三角形全等的结论。 使学生进一步理解全等三角形的性质与判定的应用，培养推理能力，规范解题步骤。
3.学以致用，应用新知 考点1 边角边（SAS） 例1 分别找出各题中的三角形，并说明理由。 （1） （2） 解：（1）△ABC≌△EFD， 因为AC=ED，∠A=∠E，AB=EF， 所以△ABC≌△EFD（SAS）。 （2）△ADC≌△CBA， 因为AC=CA，∠CAD=∠ACB，AD=CB， 所以△ADC≌△CBA（SAS）。 考点2 选择合适的方法判定三角形全等 例2 如图，已知ABAD，要使△ABC与△ADC全等，还需要增加一个什么条件？ 解：(1)已知ABAD，ACAC，可添加BC=DC，根据SSS可得△ABC≌△ADC。 (2)已知ABAD，ACAC，可添加∠BAC=∠DAC，根据SAS可得△ABC≌△ADC。 通过例题讲解，加深学生对全等三角形全等条件的理解与掌握，学会在已知不同条件的情况下选择合适的判定方法，提高应用意识。
4.随堂训练，巩固新知 1.如图，AB=AC，添加下列条件，能用SAS判断△ABE≌△ACD的是（ ） A．∠B=∠C B．∠AEB=∠ADC C．AE=AD D．BE=DC 答案：C 2.如图，已知E，F是AC上的两点，AE=CF，DF=BE，∠AFD=∠CEB，则下列不成立的是（ ） A．∠A=∠C B．AD=CB C．BC=DF D．DF∥BE 答案：C 3.如图，给出下列四个条件，AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，∠C=∠F，从中任选三个条件能使△ABC≌△DEF的共有______组。 答案：3 解析：第1组：AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，满足SAS，能证明△ABC≌△DEF； 第2组：∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，满足ASA，能证明△ABC≌△DEF； 第3组：∠B=∠E，∠C=∠F，AB=DE，满足AAS，能证明△ABC≌△DEF。 所以能使能△ABC≌△DEF的共有3组。 4. 已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使其有一个内角等于∠α，且∠α的对边等于a，另有一边等于b. 解：作法：（1）作∠MAN=∠α； （2）在射线AM上截取AB=b； （3）以B为圆心，以a为半径画弧，交AN于点C，C'； （4）连接BC，BC'.△ABC和△ABC'就是所求作的三角形. 5. 如图，如图，BC∥EF，BC=BE，AB=FB，∠1=∠2，若∠1=60°，求∠C的度数。 解：因为∠1＝∠2，所以∠ABC＝∠FBE。 在△ABC和△FBE中， 因为BC=BE，∠ABC=∠FBE，AB=FB， 所以△ABC≌△FBE(SAS)， 因为∠C＝∠BEF。 又因为BC∥EF， 所以∠C＝∠BEF＝∠1＝60°。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 1.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。 “SAS”书写格式及图示： 如图，在△ABC与△A'B'C'中 所以△ABC≌△A'B'C'(SAS)。 2.求证三角形全等时，根据所证三角形中已知的边和角，选取相应的判定方法。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P106习题4.3中的T5、T6、T10、T11、T15。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高做题效率。
板书设计 第3课时 判定三角形全等（SAS）1.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 2.判定三角形全等的四种方法投影区学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 通过小组合作画图的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区。 对于“两边及其夹角”的情况，授课过程中重现了上一课时“从一般到特殊，再从特殊到一般”的解决问题的过程，教师注意适时渗透分类和将一般转化为特殊的数学思想方法。 在着手解决问题之前，建议引导学生回顾上课时探究问题的归纳推理过程，增强有意识地进行归纳推理的自觉性。另外，通过举反例来否定一个结论，是数学推理中常用的，让学生了解这一点是十分必要的。 反思，更进一步提升。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共14张PPT)
础
基
练
知识点1 边角边（SAS）
1. 【新情境 生产生活】如图是工厂里常用的可用于测量零件内槽宽的工具（卡钳），它由两根等长的钢条AA′和BB′在中点处连接而成，只要测出A′B′长就知道AB的长，用到的原理为全等三角形的哪个判定方法 （ ）
A. SAS
B. AAS
C. SSS
D. ASA
A
2. （河南郑州高新区期中）如图，已知△ABC，尺规作图的方法作出了△ABC≌△DEF，请根据作图痕迹判断△ABC≌△DEF的理论依据是（ ）
A. SAS
B. AAS
C. ASA
D. SSS
A
3. （教材P104随堂练习T2改编）如图，AB=CB，∠1= ∠2，∠ADC=120°，AC，BD相交于点 E，则∠3 的度数为________。
30°
4. 已知：如图，点E，A，C在同一条直线上，AB CD，AB=CE，AC=CD。试说明：BC=ED。
解：因为AB CD，
所以∠BAC=∠ECD。
在△BCA和△EDC中，
因为AB=CE，∠BAC=∠ECD，AC=CD，
所以△BCA≌△EDC，
所以BC=ED。
5. （易错题）如图，点 D，E分别在线段 AB，AC 上，CD 与 BE 相交于 O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD （ ）
A. ∠B=∠C
B. AD=AE
C. BD=CE
D. BE=CD
D
知识点2 选择合适的方法判定三角形全等
6. （河南郑州郑东新区期末）在△ABC中，∠B=∠C=50°，将△ABC 沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是 （ ）
D
7. 【新趋势 开放性问题】如图，在△AFD和△CEB中，点A，E，F，C 在同一条直线上，有下面四个论断：（1）AD=CB；（2）AE=CF；（3）∠B= ∠D；（4）AD BC。请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并利用全等三角形的性质与判定进行说明。
解：答案不唯一，如：
已知：AD=CB，AE=CF，AD BC。
试说明：∠B=∠D。
解：因为AD BC，所以∠A=∠C。
因为AE=CF，所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE。
在△AFD和△CEB中，因为AD=CB，∠A=∠C，AF=CE，
所以△AFD≌△CEB，所以∠B=∠D。
8. 如图，已知点A，D，C，B在同一直线上，AD=BC，DE CF，AE BF。试说明：
（1）△ADE≌△BCF；
（2）CE DF。
解：（1）因为DE CF，
所以∠CDE=∠DCF，所以∠ADE=∠BCF。
因为AE BF，所以∠A=∠B。
在△ADE 和△BCF 中，因为∠A=∠B，AD=BC，
∠ADE=∠BCF，所以△ADE≌△BCF。
（2）因为△ADE≌△BCF，所以DE=CF。
又∠CDE=∠DCF，CD=DC，所以△CDE≌△DCF，
所以∠ECD=∠FDC，所以CE DF。
9. 具备下列条件的两个三角形一定是全等三角形的是 （ ）
A. 有两个角对应相等的两个三角形
B. 两边及其中一条对应边上的高也对应相等的两个三角形
C. 两边分别相等，并且第三条边上的中线也对应相等的两个三角形
D. 有两边及其第三边上的高分别对应相等的两个三角形
【解析】A. 有两个角对应相等的两个三角形不一定全等，可能相似，选项不符合题意；
B. 此题忽略了锐角和钝角三角形高的位置不相同的情况，不一定全等，选项不符合题意；
C. 两边分别相等，并且第三条边上的中线也对应相等的两个三角形一定全等，选项符合题意；
D. 不正确，举一反例说明，如图，
在钝角△ABC与锐角△ABC1中，AB=AB，AC=AC1，AD⊥BC1，
AD=AD。但△ABC与△ABC1显然是不全等的，选项不符合题意。
故选C。
升
提
练
C
10. 如图，△ABC 是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE=∠C，②AQ=BQ，③AD=BE，④AE+BD=AB，其中正确的说法有__________。（填序号）
【解析】因为△ABC是等边三角形，所以AB=AC=BC，∠BAE=∠C=60°。
在△ABE和△CAD中，因为AB=CA，∠BAE=∠C，AE=CD，
所以△ABE≌△CAD，所以BE=AD，∠ABE=∠CAD，
所以∠BPQ=180°-∠APB=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，
所以∠APE=∠C=60°，故①③正确；
因为AC=BC，AE=DC，所以BD=CE，
所以AE+BD=AE+EC=AC=AB，故④正确；
无法判断AQ=BQ，故答案为①③④。
①③④
解：（1）因为∠BAC=90°，∠DAE=90°，所以∠BAD=90°-∠DAC，∠CAE=90°-∠DAC，所以∠BAD=∠CAE。
在 △ ABD 和 △ ACE 中 ，因 为 BA=CA，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
所以△ABD≌△ACE。
（2）CE⊥BC。理由：因为∠BAC=∠DAE=90°，
所以∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，所以∠BAD=∠CAE。
在△DAB与△EAC中，因为AD=AE，∠BAD=∠CAE，AB=AC，
所以△DAB≌△EAC，所以∠ABD=∠ACE。
因为∠ABC=∠ACB=45°，所以∠ABD= ∠ACE=135° ，
所 以 ∠BCE= ∠ACE -∠ACB=135°-45°=90°，即CE⊥BC。
11. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°。点D为直线BC 上一动点，以 AD 为直角边在 AD 的右侧作等腰直角三角形ADE，使∠DAE=90°，AD=AE。
（1）当点 D 在线段 BC 上时，如图 1，试说明：△ABD≌△ACE；
（2）当点D在线段CB的延长线上时，如图2，判断CE与BC的位置关系，并说明理由。
解：（1）60°
因为△ABE≌△ADG，所以∠BAE=∠DAG。
因为△AEF≌△AGF，所以∠EAF=∠GAF=∠DAF+∠DAG=∠DAF+∠BAE。
因为∠BAD=120°，所以∠EAF=60°。
12. 【新趋势 综合与实践】【问题提出】
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F 分别是 BC，CD 上的点，探究当∠EAF为多少度时，使得BE+DF=EF成立。小亮同学认为：延长FD到点G，使DG=BE，连接 AG，先说明△ABE≌△ADG，再说明△AEF≌△AGF，则可求出∠EAF的度数为________；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，当∠EAF与∠BAD满足怎样的数量关系时，依然有BE+
DF=EF成立？并说明理由；
【问题解决】
（3）如图 3，在正方形 ABCD 中，∠EBF=45°，若
△DEF的周长为8，求正方形ABCD的面积。
养
素
练
60°
