(共20张PPT)
础
基
练
知识点1 三角形的有关概念
1. 下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是 （ ）
C
2. （河南平顶山期末）如图，图中有________个三角形，∠B 的对边是________。
3
AD，AC
3. 在△ABC中，∠A=55°，∠B=80°，则∠C= （ ）
A. 45° B. 50 C. 55° D. 60°
A
知识点2 三角形的内角和
4. （吉林中考）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为 （ ）
A. 85° B. 75°
C. 65° D. 60°
B
5. 【新趋势 跨学科融合】如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心 O 的光线相交于点 P，点 F 为焦点。若∠1=160°，∠2=20°，则∠3的度数为 （ ）
A. 35° B. 40° C. 45° D. 50°
B
6. 【原创题 生产生活】小红在玩椪（pèng）糖游戏时，拿到的椪糖如图所示，已知图案中的三角形最小的内角为57°，另外两个内角相差5°，求三角形中另外两个内角的度数。
解：设另外两个内角中，较小的内角为x°，则较大的内角为(x+5)°。
根据三角形三个内角的和等于180°，得
x+(x+5)+57=180，解得x=59，所以x+5=64，
所以三角形中另外两个内角的度数分别为59°，64°。
7. 已知△ABC中，∠A=50°，∠B=20°，则△ABC的形状为 （ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 等腰三角形
A
知识点3 三角形按角分类
8. 如图，给出的三角形有一部分被遮挡，则这个三角形可能是 （ ）
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 等边三角形
B
9. （教材P92习题4.1T1改编）若△ABC的三个内角的度数之比为3∶5∶2，则△ABC是________三角形。
直角
10. 【新情境 科技进步】中国第41次南极考察队劈波向南、破浪出征，此次考察将开展南极秦岭站配套设施设备建设任务、围绕气候变化对南极生态系统的影响与反馈开展调查等。如图，当一艘船从A处按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，船行驶到 B 处时，∠CAB=30°，此时船距离灯塔最近，连接 BC，则∠ACB的度数为 （ ）
A. 20°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
D
知识点4 直角三角形两锐角的性质
11. 如图，在三角形 ABC 中，∠ACB=90°，过点 C 作CD AB，BD 平分∠ABC，若∠A=50°，求∠D 的度数。
12. 如图，墙上钉着三根木条a，b，c，量得∠1=70°，∠2=100°，那么木条 a，b 所在直线所夹的锐角是 （ ）
A. 5° B. 10° C. 30° D. 70°
升
提
练
【解析】如图，因为∠3=∠2=100°，
所以木条a，b所在直线所夹的锐角为
180°-100°-70°=10°。故选B。
B
D
【解析】A项，因为∠A+∠B=∠C，所以∠A+∠B+∠C=2∠C=180°，所以∠C=90°，△ABC为直角三角形；同理B项、C项均能得出△ABC为直角三角形；D项，因为∠A-∠B=90°，所以∠A=∠B+90°>90°，△ABC为钝角三角形。故选D。
14. 如果一个三角形两个内角的度数和小于第三个内角的度数，则这个三角形是 （ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
C
【解析】因为三角形的内角和等于180°，如果其中两个内角之和小于第三个内角，那么第三个内角大于90°，所以这个三角形是钝角三角形。故选C。
15. 【新趋势 五育文化】花样滑冰是一项结合了艺术与体育的冰上运动项目，运动员需要在优美的音乐伴奏下完成旋转、跳跃等高难度动作，因其独特的艺术表现形式和观赏性，被誉为“世界上最美的体育项目”。某运动员通过冰刀在冰面上滑出了如图所示的几何图形，请利用所学知识计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数为 （ ）
A. 360° B. 270° C. 240° D. 180°
D
【解析】如图，连接BC。
因为∠D+∠E+∠1=∠3+∠4+∠2=180°，
又因为∠1=∠2，
所以∠D+∠E=∠3+∠4，
所以∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=∠A+∠ABE+∠ACD+
∠3+∠4=∠A+∠ABC+∠ACB=180°。故选D。
16. 【新定义 新概念问题】若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以 BC 为公共边的“共边三角形”有________对。
【解析】以BC为公共边的“共边三角形”有△BDC与△BEC，△BDC与△BAC，△BEC与△BAC，共3对。
3
17. （易错题）【新趋势 无图题】 在△ABC 中，∠A=60°，∠B=20°，点 D 在 AB 边上，连接 CD。若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为___________。
【解析】分两种情况：①如图，当∠ADC=90°时，
因为∠B=20°，∠B+∠BCD=90°，
所以∠BCD=90°-∠B=70°；
②如图，当∠ACD=90°时，
因为∠A=60°，∠B=20°，∠A+∠B+∠ACB=180°，
所以∠ACB=180°-∠B-∠A=180°-20°-60°=100°，
所以∠BCD=∠ACB-∠ACD=100°-90°=10°。
综上所述，∠BCD的度数为70°或10°。
70°或10°
18. （河南周口西华县期中））如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB的度数。
解：因为AD，BE是正南、正北方向，
所以BE AD，所以∠ABE=∠BAD=45°。
因为∠EBC=80°，
所以∠ABC=∠EBC-∠ABE=80°-45°=35°。
因为∠BAC=∠BAD+∠DAC=45°+30°=75°，
所以∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-35°-75°=70°。
19. 【新趋势 探究性问题】取一副三角尺按如图所示拼接，固定三角尺ADC，将三角尺ABC绕点A顺时针方向旋转，旋转角度为α（0°<α≤45°），得到△ABC′，BC′交AC于点O。
（1）当 α=________°时，AB DC；当旋转到图 3所示位置时， α=________°。
（2）连接 BD，当 0° < α ≤45°时，探求∠DBC' +∠CAC'+∠BDC的值是否发生变化，为什么？
养
素
练
45
15
解：（1）因为AB∥CD，所以∠CAB=∠ACD=30°。
所以∠CAC′=α=45°-30°=15°。
当旋转到题图3所示位置时，α=∠C′AB=45°。
（2）∠DBC′+∠CAC′+∠BDC的值大小不变。理由如下：
如图2，在△DAB中，因为∠DAB+∠ABD+∠ADB=180°，
即(90°+45°-α)+(90°-∠DBC′)+(60°-∠BDC)=180°，
所以∠DBC′+α+∠BDC=105°，
所以∠DBC′+∠CAC′+∠BDC的值大小不变。(共36张PPT)
1.了解三角形及相关概念，能正确识别和表示三角形。
2.会按角的大小对三角形进行分类。（重点）
3.掌握三角形的内角和等于180°，并会据此解决简单的问题。 （难点）
在我们日常生活中经常能看到三角形的影子。
减速慢行
注意儿童
前方村庄
知识点1 三角形的概念
观察下图，回答下列问题：
（1）你能从图中找出几个不同的三角形吗？
（2）这些三角形有什么共同的特点？
都是由三条线段构成的。
由不在同一直线上的三条线段段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。
A
B
C
D
E
F
G
C
A
B
b
a
c
三角形有三条边、三个内角和三个顶点。
C
A
B
b
a
c
边AB（BA） 边BC（CB） 边AC（CA）
边c
边b
边a
组成三角形的线段叫作三角形的边。
C
A
B
b
a
c
顶点A 顶点B 顶点C
相邻两边的公共端点
C
A
B
b
a
c
内角∠ABC（∠CBA） ∠ACB（∠BCA） ∠BAC（∠CAB）
∠A
∠C
∠B
表示顶点的字母要写在中间
相邻两边所夹的角
特别注意：
1. 三角形的三个内角都可以写成用3个大写英文字母表示的形式。
2. 还可以用1个阿拉伯数字或1个希腊字母表示。
例如：∠B可以写成∠1的形式，
∠C可以写成∠α的形式。
C
A
B
1
α
3.只有当顶点处只有两条边时，才可以用简便形式表示。
简便形式
4. 在该三角形中，顶点A 所对的边BC才可以用小写字母a表示。
C
A
B
b
a
c
C
A
B
b
a
c
顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”。
如图所示， 图中共有_____个三角形。
在△ABE 中，AE 所对的角是______， ∠BAE 所对的边是______。
AD在△ADE 中是________所对的边， 在△ADC 中是_______所对
的边。
B
A
C
D
E
6
∠B
BE
∠AED
∠C
我们知道，将一个三角形的三个角撕下来，拼在一起，可以得到三角形三个内角的和为180°。
知识点2 三角形的内角和
小明只撕下三角形的一个角，也得到了上面的结论，他的做法如下。
观察·交流
（1）如左图所示，剪一张三角形纸片，它的三个
内角分别为∠1，∠2 和∠3。
1
2
3
1
2
3
1
（2）将∠1 撕下，按右图所示进行摆放，其中∠1的顶点与
∠2的顶点重合，它的一条边与∠2的一条边重合。
a
b
利用上图，小明说明了三角形三个内角的和为180°。你知道他是如何说明的吗
三角形三个内角的和等于180°。
几何语言：在△ABC 中，∠A+ ∠B+ ∠C=180° 。
归纳总结：
思路一：利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将三角形的三个内角转化为一个平角。 如图①② 。
归纳总结：
思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角。 如图③ 。
归纳总结：
已知三角形中任意两角或两角的和可以计算出另一个角的度数。
在△ABC 中，∠A+ ∠B+ ∠C=180° 。
则 ∠A=180°-（∠B+ ∠C）
∠B=180°-（∠A+ ∠C）
∠C=180°-（∠A+ ∠B）。
已知∠A，∠B，∠C 是△ABC的三个内角，
∠A＝ 70°，∠C＝30°，∠B ＝______。
80°
知识点3 三角形的分类
角度为90°的角称为直角。
角度比直角小的角称为锐角，
比直角大而比平角小的角称为钝角。
知识回顾：
思考·交流
（1）左图中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角 小颖的呢 试着说明理由。
解：（1）都是锐角；
（2）右图中小亮所拿三角形被遮住的两个内角可能是什么角 将所得结果与（1）的结果进行比较，并与同伴进行交流。
思考·交流
（1）左图中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角 小颖的呢 试着说明理由。
解：（2）都是锐角，与（1）结果一致。
（2）右图中小亮所拿三角形被遮住的两个内角可能是什么角 将所得结果与（1）的结果进行比较，并与同伴进行交流。
锐角三角形
三个内角都是锐角 直角三角形
有一个内角是直角 钝角三角形
有一个内角是钝角
我们可以按三角形内角的大小把三角形分为三类：
直角三角形
通常，我们用符号“Rt△ABC”表示“直角三角形 ABC”。
把直角所对的边称为直角三角形的斜边，
夹直角的两条边称为直角三角形的直角边。
A
B
C
直角边
直角边
斜边
直角三角形
你知道直角三角形的两个锐角之间有什么关系吗？
A
B
C
直角边
直角边
斜边
直角三角形的两个锐角互余。
几何语言：在Rt△ABC 中，若∠C=90°，
则∠A+∠B=90° 。
归纳总结：
1.“Rt △”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用。如“直角三角形的边”不能写成“Rt △的边”。
2. 三角形的三个内角中最多只有一个钝角或直角，或者说至少有两个锐角。
归纳总结：
3. 直角三角形的性质的理论依据是三角形的内角和。
4. 在直角三角形中，若已知两个锐角之间的关系，则可结合两个锐角互余求出每个锐角的大小。
观察下面的三角形，其中哪些是锐角三角形，哪些是直角三角形，哪些是钝角三角形？（教材P87 随堂练习 T1）
锐角三角形：③⑤
直角三角形：①④⑥
钝角三角形：②⑦
一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是什么三角形？（教材P87 随堂练习 T2）
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
（1）30°和60°；（2）40°和70°；（1）50°和20°；
1. 在△ ABC 中， 若∠A=90°，∠B ∶∠C=2∶1，
则∠B等于（ ）
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
D
2. 如图， 在△ABC中，∠ A=80°， ∠ B=40 °，
D，E 分别是AB，AC 上的点， 且DE∥BC，
则∠AED的度数是（ ）
A. 40° B. 60°
C. 80° D. 120°
B
A
B
C
D
E
3. 直角三角形一个锐角为70°，另一个锐角为_____。
4. 如果△ABC 中∠A∶∠B∶∠C = 2∶3∶5，
此三角形按角分类应为____________。
20°
直角三角形
5. 已知∠A－∠B=16°，∠C=54°，
求∠A，∠B的度数；
解：设∠ A=x°，则∠ B=x°－16°。
因为∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180°，∠ C=54°，
所以x+x－16+54=180，解得x=71。
所以∠ A=71°，∠ B=55°。
三角形
概念
组成
内角和
边、内角、顶点
三角形的内角和等于180°
和差关系
比例关系
倍分关系1 认识三角形
课题 第1课时 三角形及其内角和 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P85-87
教学目标 1.通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力。 2.结合具体实例，认识三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三个角之间的关系，会将三角形分类。
教学重难点 重点：三角形的相关概念；内角和定理；直角三角形两锐角关系的探究和归纳。 难点：三角形内角和定理。
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 在我们日常生活中经常能看到三角形的影子，请你从下列图片中找出三角形。 你能从生活中举出一些其他包含三角形的例子吗？ 师生活动：让学生观察图片，找出图片中的三角形，并列举一些日常生活中常见的包含三角形的实例，如：三角形支架，三角板等。 教师活动：本章我们将学习三角形的基本性质，探索三角形全等的条件，并利用这些结果解决一些实际问题。这节课我们先来认识一下三角形。（教师板书课题：第1课时 三角形及其内角和） 使学生能从生活中抽象出几何图形，感受到我们生活在几何图形的世界之中，激发学生学习数学的兴趣。
2.实践探究，学习新知 【探究1】 观察下面的屋顶框架图： （1）你能从图中找出几个不同的三角形吗 （2）这些三角形有什么共同的特点？ 师生活动：学生自主学习，回答上述问题，教师引导学生归纳三角形的基本要素及表示方法。 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。三角形有三条边，三个内角和三个顶点。 “三角形”可以用符号“△”表示，如上图中顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC。△ABC的三边，有时也用a，b，c来表示。如上图，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、边AB分别用b，c来表示。 【探究2】 观察·交流 我们知道，将一个三角形的三个角撕下来，拼在一起，可以得到三角形三个内角的和为180°。 小明只撕下三角形的一个角，也得到了上面的结论他的做法如下。 如左图，剪一张三角形纸片，它的三个内角分别为∠1，∠2和∠3。 将∠1撕下，按右图所示进行摆放，其中∠1的顶点与∠2的顶点重合，它的一条边与∠2的一条边重合。利用右图，小明说明了三角形三个内角的和为180°。你知道他是如何说明的吗 说说你的想法，并与同伴进行交流。 师生活动：学生自己思考，举手回答。学生知道三角形内角和是180°的结论，小部分同学可以想起小学的拼接法和测量法。教师应引导学生利用平行线的相关知识来证明，通过平行线让角改变位置。 【归纳总结】 三角形三个内角的和等于180°。 【探究3】 思考·交流 （1）下面左图中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角 小颖的呢 试着说明理由。 （2）上面右图中小亮所拿三角形被遮住的两个内角可能是什么角 将所得结果与(1)的结果进行比较，并与同伴进行交流。 师生活动：学生根据三角形的内角和等于180°，容易得出 （1）中的两个三角形被遮住的两个角都是锐角； （2）中三角形被遮住的两个角有多种情况。 教师应引导学生尝试将另两个角的所有可能情况列出来，再用反证法的思想进行说明.最后学生发现两个锐角、一锐角一直角、一钝角一直角这三种情况都是有可能的。 【归纳总结】 按三角形内角的大小把三角形分为三类： 锐角三角形，三个内角都是锐角的三角形； 直角三角形，有一个内角是直角的三角形； 钝角三角形，有一个内角是钝角的三角形。 通常，我们用“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”，如图，直角所对的边称为直角三角形的称为斜边，夹直角的两条边称为直角三角形的直角边。 尝试·思考 直角三角形的两个锐角之间有什么关系 师生活动：三角形的内角和等于180°，直角三角形中直角等于90°，所以直角三角形的两个锐角相加等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。 【归纳总结】 直角三角形的两个锐角互余。 引导学生从观察屋顶框架出发，抽象出三角形模型，认识三角形的有关概念，认识三角形的基本要素（边、角、顶点）及符号表示方法。 引导学生回忆小学采用的撕、拼方法，对比现在的方法，进一步思考撕、拼方法的依据是什么，从而实现从直观操作到推理思辨的转化与升华，不仅复习、巩固了平行线的有关内容，而且为证明三角形的内角和定理积累经验。 引出三角形分类的内容，使学生了解数学分类的基本思想。
3.学以致用，应用新知 考点1 三角形的有关概念 例1 如图，图中共有 个三角形，其中以AB为一边的三角形有 ，以∠C为一个内角的三角形有 。 答案：5个；△ABD、△ABC、△ABE；△CBE、△CBA。 考点2 三角形的内角和 例2 已知∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，∠A＝70°，∠C＝30°，∠B＝______。 答案：80° 变式训练 如图所示，在△ABC中，D是BC边上的一点，∠C=∠DAC，∠B=∠ADB，∠BAC=87°，求∠DAC的度数。 解：因为∠C=∠DAC， 所以设∠C=∠DAC=x， 则∠ADB=180°-∠ADC=∠DAC+∠C=2x=∠B。 因为∠BAC=87°， 所以∠B+∠C=180°-∠BAC=93°， 所以x+2x=93°， 所以x=31°， 所以∠DAC=∠C=31°。 考点3 三角形按角分类 例3 一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是什么三角形？ （1）30°和60°；（2）40°和70°；（1）50°和20°。 答案：（1）直角三角形 （2）锐角三角形 （3）钝角三角形 变式训练 若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 答案：A 考点4 直角三角形两锐角的性质 例4 直角三角形一个锐角为70°，另一个锐角为_____。 答案：20° 变式训练 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过点C作EF∥AB，若∠ECA=55°，则∠B的度数为（ ） A．55° B．45° C．35° D．25° 答案：C 通过例题讲解，进一步加深学生对定理的理解与掌握，促进学生将知识转化成技能。
4.随堂训练，巩固新知 1.在△ABC中，若∠A=90°，∠B∶∠C=2∶1，则∠B等于（ ） A.30° B.40° C.50° D.60° 答案：D 2.如图，在△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，则∠AED的度数是（ ） A.40° B.60° C.80° D.120° 答案：B 3.如果△ABC 中∠A∶∠B∶∠C = 2∶3∶5，此三角形按角分类应为____________。 答案：直角三角形 4.已知∠A－∠B=16°，∠C=54°，求∠A，∠B的度数。 解：设∠A=x°，则∠B=x°－16°。 因为∠A+∠B+∠C=180°，∠C=54°， 所以x+x－16+54=180，解得x=71。 所以∠A=71°，∠B=55°。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 1.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.三角形有三条边，三个内角和三个顶点 2.三角形三个内角的和等于180°。 3.按三角形内角的大小把三角形分为三类： 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 4.直角三角形的两个锐角互余. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P92习题4.1中的T1、T2、T3、T4、T9。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第1课时 三角形及其内角和1.三角形的有关概念。 2.三角形三个内角的和等于180°。 3.直角三角形的两个锐角互余。投影区学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 教学中，一要注意保证学生操作活动与思考的时间；二要注意把握说理要求的度：只要求口头说明，不要求书面说明，要鼓励他们用自己的语言进行表述。 本节课渗透了归纳猜想的一个重要思想：归纳必须建立在许多事实基础上，只凭一个事实是谈不上归纳的。归纳过程中，可以帮助学生形成对概念内涵的丰富认识；可以帮助学生提升比较和分类，概括和抽象的能力；可以帮助学生提升准确简炼和严密的数学语言表达水平。 反思，更进一步提升。
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