(共16张PPT)
1. 可以灵活构造全等三角形，将不可测距离化为可测距离。
2. 能利用三角形的全等解决实际问题。（重点）
3. 在解决问题过程中进行有条理的思考与表达。（难点）
一位经历过战争的老人曾经讲述过这样一个故事：
你能替这位战士想想办法吗？
在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望。为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离。在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，如何估测这个距离呢？
一名战士想出来这样一个办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部。然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离。
你觉得这位战士测得的距离准确吗？说说你的理由。
1
2
B
D
C
A
构建数学模型：假设战士的身高为AD(AD=AD)，战士与地面垂直(AD⊥BC)，视角∠1=∠2，战士与敌军碉堡(B)的距离为BD，与我军阵地某一点(C)的距离为CD。
在△ADB与△ADC中，
∠1=∠2（已知）
AD=AD（公共边）
∠ADB=∠ADC=90°（垂直的定义）
所以△ADB≌△ADC (ASA)。
所以DB=DC (全等三角形的对应边相等)。
观察·思考
如图所示，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小丽想用绳子测量A，B 间的距离但绳子不够长，一个叔叔帮她出了这样一个主意：
先在地上取一个可以直接到达A 点和B 点的点C，连接AC 并延长到D，使CD＝CA；连接BC 并延长到E，使CE＝CB，连接DE 并测量出它的长度，DE 的长度就是A，B 间的距离。
你能说明其中的道理吗
解：在△ABC与△DEC中，
因为CA=CD，∠ACB=∠DCE，CB=CE ，
所以△ABC≌△EDC (SAS)，
所以AB=DE。
方案二：过点B作AB的垂线BF，在BF上分别取点C，E，使得BC=EC，过点E作BE的垂线EG，在EG上找一点D，使得点A，C，D在一条直线上，测得DE的长度就是A，B间的距离。
B
A
D
C
E
G
F
解：理由：在△ABC和△DEC中，
∠ABC＝∠DEC=90°，
BC＝EC，
∠ACB＝∠DCE,
所以△ABC≌△DEC（ASA），
所以AB＝DE。
方案三：先构造△ABC，再确定点D，使得AD∥BC，AD＝BC，连接CD并测量出它的长度，CD的长度就是A，B间的距离。
解：理由：在△ABC和△CDA中，
BC＝AD，
∠BCA＝∠DAC，
AC＝CA,
所以△ABC≌△CDA（SAS），
所以AB＝CD。
B
A
D
C
总结归纳
根据ASA，AAS，SAS构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，将不可测量的距离转化为可测量的距离。
1. 如图所示小明设计了一种测工件内径A′B′的卡钳，问：在卡钳的设计中，A′O，B′O，AO，BO 应满足下列的哪个条件？（ ）
A. A′O=BO
B. B′O=AO
C. A′B=B′A
D. A′O=BO且B′O=AO
D
2. 池塘两边有 A，B 两点，想知道 A，B 两点间的距离，但又无法直接测量，于是有人想出办法，利用三角形全等解决这个问题，但是在三角形全等的判断方法中，不能采用的是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
D
1. 某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳。图②是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿AB 和CD 的长相等，O 是它们的中点。为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD 设计为30 cm，则由以上信息可推得CB 的长度也为30 cm，依据是( )
A．SAS
B．ASA
C．SSS
D．AAS
A
B
2. 如图，要测量河中礁石A 离岸边B 点的距离，采取的方法如下：顺着河岸的方向任作一条线段BC，作∠CBA′＝∠CBA，∠BCA′＝∠BCA。可得△A′BC ≌△ABC ，所以A′B＝AB，所以测量A′B 的长即可得AB 的长。判定图中两个三角形全等的理由是( )
A．SAS
B．ASA
C．SSS
D．AAS
3. 杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A 步行到达B 处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD 相交于点O，OD⊥CD，垂足为D，已知AB＝20 m，请根据上述信息求标语CD 的长度。
解：因为AB∥CD，所以∠ABO=∠CDO。
因为OD⊥CD，所以∠CDO=90°。
所以∠ABO=90°，即OB⊥AB。
因为相邻两平行线间的距离相等，所以OD=OB。
在△ABO与△CDO中，
∠ABO=∠CDO，
OD=OB，
∠AOB=∠COD,
所以△ABO ≌△CDO (ASA)。所以CD=AB=20 m。
4. 如图，在一条河的两岸各耸立着一座宝塔A，B，隔河相对，在无任何过河工具的情况下，你能测量出两座宝塔间的距离吗？说说你的方法和理由。
解：能。如图，沿河岸作射线BF，且使BF⊥AB，在BF上截取BC＝CD，过D 点作DE⊥BF，使点E，C，A 在同一条直线上，则DE 的长就是两座宝塔A，B 间的距离。
理由如下：因为在△ACB 和△ECD 中，
∠ACB＝∠DCE，
BC＝CD，
∠ABC＝∠EDC=90°,
所以△ACB≌△ECD（ASA），所以AB＝DE。
C
F
D
E
利用三角形
全等测距离
目的
依据
数学思想
全等三角形对应边相等
转化、建模
变不可测距离为可测距离(共7张PPT)
础
基
练
知识点 利用三角形全等测距离
1. （河南郑州巩义市期末）如图，欲测量内部无法到达的古塔相对两点 A，B 间的距离，可在平地上找到一个可以直接到达点A和点B的一点O，然后延长AO至D，使OD=OA，延长BO至C，使OC=OB，则△DOC≌△AOB，从而通过测量 CD 的长就可得到A，B间的距离，其全等的依据是（ ）
A. SSS
B. ASA
C. AAS
D. SAS
D
2. 【原创题 传统文化】“马扎”俗名撑板凳，2 600多年前发源于齐国故都——临淄，如图1所示. 图2是马扎撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点. 为了使马扎坐着舒适，厂家将撑开后的马扎宽度AD设计为32 cm，则由以上信息可推得CB的长度为__________.
32cm
3. （教材P109第1题改）如图，A，B两点之间被一个池塘隔开，无法直接测量. 小明设计了如下方案：在池塘同侧取C，D两点，使得AC BD，且AC=BD，连接CD，量出CD的长即得AB的长，你认为小明的设计方案可行吗？若可行请说明AB=CD；若不可行，请说明理由.
解：：可行，理由：
如图，连接AB，AD。
因为AC BD，所以∠CAD=∠BDA。
在△ACD和△DBA中，因为AC=DB，∠CAD=∠BDA，AD=DA，
所以△ACD≌△DBA，所以AB=CD。
4. 如图，王强用10块高度都是2 cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺，则两堵木墙之间的距离为______cm.
20
升
提
练
5. 【新趋势方案决策题】某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案：
甲：如图1，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为A，B的距离.
乙：如图2，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离.
丙：如图3，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC=∠BDA，这时只要测出BC的长即为A，B的距离.
（1）以上三位同学所设计的方案，可行的有______；
（2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由.
解：（1）甲、乙、丙
（2）答案不唯一. 选甲：在△ABC和△DEC中，
因为AC=DC，∠ACB=∠DCE，BC=EC，所以△ABC≌△DEC，所以AB=ED.
选乙：因为AB⊥BD，DE⊥BD，所以∠B=∠CDE=90°.
在△ABC和△EDC中，因为∠ABC=∠EDC，CB=CD，∠ACB=∠ECD，
所以△ABC≌△EDC，所以AB=ED.
选丙：在△ABD和△CBD中，
因为∠ABD=∠CBD，BD=BD，∠ADB=∠CDB，
所以△ABD≌△CBD，所以AB=BC.5 利用三角形全等测距离
课题 利用三角形全等测距离 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P110-111
教学目标 1.能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系。 2.能在解决问题的过程中进行有条理地思考和表达。
教学重难点 重点：能利用三角形的全等解决实际问题。 难点：能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望（如图）。为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离。在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出来这样一个办法：如图4-32，他面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离。 教师提问：你知道聪明的战士用的是什么方法吗？能解释其中的原理吗？ 学生活动：学生先独立思考这个情境，然后小组合作讨论，教师引导学生可以用全等的方法测距离，选取小组代表总结并解释战士采用的方法的数学道理。 教师活动：上述问题可转化为求下图中AB的长度。 由战士所讲述的方法可知：战士的身高AD不变，战士与地面是垂直的(AD⊥BC)；视角∠ADC=∠ADB，可以得到△ABD与△ACD全等，由三角形全等，可得AB=AC，因此只要测得AC的长度即可。 用真实的故事引入新课，体现了三角形全等在生活中的广泛应用，激发学生积极性。
2.实践探究，学习新知 【探究】 观察·思考 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小丽想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位叔叔帮她出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离。 你能说明其中的道理吗 师生活动：学生独立思考后小组合作讨论方案并说明理由，教师选取不同小组展示各自的方案，并讲述画法和原理，全班选定最佳方案，教师作出评价。 方案一：题中所述方法， 理由：在△ABC与△DEC中， 所以△ABC≌△EDC(SAS)， 所以AB=DE。 方案二：过点B作AB的垂线BF，在BF上分别取点C，E，使得BC=EC，过点E作BE的垂线EG，在EG上找一点D，使得点A，C，D在一条直线上，测得DE的长度就是A，B间的距离。 理由：在△ABC和△DEC中， 所以△ABC≌△DEC（ASA）， 所以AB＝DE。 方案三：先构造△ABC，再确定点D，使得AD∥BC，AD=BC，连接CD并测量出它的长度，CD的长度就是A，B间的距离。 理由：在△ABC和△CDA中， 所以△ABC≌△CDA（SAS）， 所以AB＝CD。 【归纳总结】 由于两个三角形全等，对应边相等，所以利用三角形全等可以测量不能到达或不能直接测量的两点之间的距离。 借助测量池塘这个情境，通过设计方案，利用三角形全等得出对应边相等，即用间接地方法得出两点间的距离，加深学生对三角形全等测距离的理解，培养学生分析和解决问题的能力。
3.学以致用，应用新知 考点 利用三角形全等测距离 例1 如图所示小明设计了一种测工件内径A′B′的卡钳，问：在卡钳的设计中，A′O，B′O，AO，BO应满足下列的哪个条件？（ ） A. A′O=BO B. B′O=AO C. A′B=B′A D. A′O=BO且B′O=AO 答案：D 例2 杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下： 如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于点O，OD⊥CD，垂足为D，已知AB＝20 m，请根据上述信息求标语CD的长度。 解：因为AB∥CD，所以∠ABO=∠CDO。 因为OD⊥CD，所以∠CDO=90°。 所以∠ABO=90°，即OB⊥AB。 因为相邻两平行线间的距离相等，所以OD=OB。 在△ABO与△CDO中， 所以△ABO≌△CDO(ASA)， 所以CD=AB=20 m。 通过例题讲解，加深学生对利用三角形全等测距离的理解与掌握，感受三角形全等的实际应用，锻炼学生思维，提高应用意识。
4.随堂训练，巩固新知 1.如图，要测量河中礁石A离岸边B点的距离，采取的方法如下：顺着河岸的方向任作一条线段BC，作∠CBA′=∠CBA，∠BCA′=∠BCA。可得△A′BC≌△ABC，所以A′B＝AB，所以测量A′B的长即可得AB的长．判定图中两个三角形全等的理由是( ) A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 答案：B 2.如图，在一条河的两岸各耸立着一座宝塔A，B，隔河相对，在无任何过河工具的情况下，你能测量出两座宝塔间的距离吗？说说你的方法和理由。 解：能．如图，沿河岸作射线BF，且使BF⊥AB，在BF上截取BC=CD，过D点作DE⊥BF，使点E，C，A在同一条直线上，则DE的长就是两座宝塔A、B间的距离。 理由如下：因为在△ACB和△ECD中， 所以△ACB≌△ECD（ASA），所以AB=DE。 3.小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？ 解：因为∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°， 所以∠DCP=∠APB=54°， 在△CPD和△PAB中 因为 所以△CPD≌△PAB（ASA），所以DP=AB， 因为DB=36 m，PB=10 m， 所以AB=36﹣10=26（m）， 所以楼高AB是26米。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 由于两个三角形全等，对应边相等，所以利用三角形全等可以测量不能到达或不能直接测量的两点之间的距离。 利用三角形全等测两点之间的距离的方法： 1.构造两边及其夹角对应相等的两个全等三角形。 2.构造两角及其夹边对应相等的两个全等三角形。 3.构造两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个全等三角形。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P112习题4.4。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高做题效率。
板书设计 利用三角形全等测距离构造三角形全等测距离投影区学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课首先创设了一个“现实情境”，教学中，时间充裕的情况下，可以让同学们亲自做一做，在实际体验的基础上，学生能更好地理解这种测距离的方法。 本课时的教学重点是能利用三角形全等的条件解释生活中的实际问题。教学中先让学生充分发表意见，并给予激励性的评价，培养学生主动运用所学知识寻求发现问题和解决问题的能力，及时了解并尊重学生的个体差异，给学生充分的思考时间，鼓励他们按照自己的方式表达，尽可能满足多样化的学习需要。 反思，更进一步提升。
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