☆ 问题解决策略：转化
课题 ☆ 问题解决策略：转化 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P136-138
教学目标 1. 借助已学知识将复杂问题转化为学过的简单问题，加强数形结合思想，开拓思维。 2. 进一步提高利用轴对称解决实际问题的能力。
教学重难点 重点：借助已学知识转化复杂问题的能力，提高利用轴对称解决实际问题的能力。 难点：借助已学知识转化复杂问题的能力。
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 如图，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门后，先到储物点取物品，然后再到车间。你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短 学生活动：，学生小组交流答案及解题过程，然后请两位同学口述解题过程，教师最后出示答案。 教师活动：在研究新问题时，我们可以将新的问题转化为以前研究过的熟悉的问题。这节课我们就来学习转化这一重要策略。（教师板书：问题解决策略：转化） 借助简单的生活情境，通过数形结合，激发学生兴趣，让学生感受借助转化思考问题的便利，引出接下来的学习主题。
2.实践探究，学习新知 【探究】 理解问题 如果把大门、车间和储物点所在的位置都看作点，把道路看作一条直线，那么上述问题可以抽象成怎样的数学问题 试着写一写、画一画。 师生活动：教师指定学生代表上台画图和分析，教师在学生讨论过程中要鼓励学生转化为刚学过的轴对称问题进行比较和分析。 拟订计划 (1)你以前遇到过类似的问题吗 关于“最短”，你有哪些认识 学生回答：垂线段最短，两点之间线段最短等。 (2)相信你能解决以下问题：如图，直线l的两侧分别有A，B两点，在直线l上确定一个点C，使AC+CB最短。原问题与这个问题有什么区别和联系 你能将原问题转化为这样的问题吗 说说你的想法。 师生活动：让学生仔细阅读问题，然后将原问题转化为举例的新问题，并在小组内交流解题思路，最后小组选派代表发言，教师集体讲评 实施计划 写出你的解决方案，并说明道理。 小明的思考过程如下。 如图，作点B关于l的对称点B'，根据轴对称的性质，对于l上任意一点C，都有BC=B'C，因此AC+BC=AC+B'C，问题转化为：在直线l上确定一个点C，使AC+B'C最短。 根据“两点之间线段最短”，连接AB'，与l交于点C，点C就是所要确定的点。 回顾反思 (1)回顾本题的解决过程，你有哪些感悟 (2)利用转化策略解决问题时，需要注意些什么 师生活动：学生自由作答，教师请两名同学口答再进行总结。 【归纳总结】 通过转化，可以把一个问题转化为与它等价的问题，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的。 通过对问题的逐步分析与交流，培养学生转化问题的能力，再用对应的练习让学生巩固。 展示解决问题的全过程，培养学生系统性解决问题的能力。
3.学以致用，应用新知 考点1 利用转化思想求面积 例1 如图，正方形的边长为4，分别以正方形的两条边为直径画半圆，并连接对角线，则图中阴影部分的面积是________。（结果保留π） 答案：4π-8 变式训练 如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以BC为直径画半圆，若阴影部分的面积分别为S1，S2，则S1-S2=______。 答案： 考点2 最短距离问题 例2 如图，A，B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短。下面四种选址方案符合要求的是（ ） 答案：A 变式训练 如图，已知∠AOB=30°，点P为∠AOB内一定点。点M，N分别是射线OA、射线OB上的点。若△PMN的周长最小值为6，则OP的值为多少？ 解：如图，分别作点P关于OA，OB的对称点C，D，连接CD，分别交OA，OB于点E，F，连接OP，OC，OD，PE，PF。 因为点P关于OA的对称点为点C， 所以PE=CE，OP=OC，∠POA=∠COA。 因为点P关于OB的对称点为点D， 所以PF=DF，OP=OD，∠POB=∠DOB， 所以OC=OD=OP，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°， 所以△COD是等边三角形， 所以CD=OC=OD， 当M，N分别为CD与OA，OB的交点E，F时， △PMN的周长最小， 所以PE+EF+PF=CE+EF+DF=CD=6， 所以OP=6。 通过例题讲解，进一步加深学生对转化问题的策略的理解与掌握，促进学生将知识转化成技能。
4.随堂训练，巩固新知 1. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，E是高AD上任意一点，F是腰AB上任意一点，AC=5，BD=3，AD=4，那么线段BE+EF的最小值是（ ） A.2.4 B.4 C.4.8 D.3 答案：C 2. 《周髀算经》是我国最早的一部数学著作，其中记载了勾股定理这一重要的数学原理，吴国数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“赵爽弦图”（也称勾股圆方图）。在如图所示的“赵爽弦图”中，中间小正方形ABCD的边长为1，分别以点B，D为圆心，以AB的长为半径作弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. π-3 B. C. D. 答案：B 3. 如图，点P为∠AOB内一定点，点M，N分别是射线OA，OB上的点，当△PMN的周长最小时，∠MPN=110°，则∠AOB=________。 答案：35° 4.如图，∠AOB=45°，点M，N分别在射线OA，OB上，MN=3，△OMN的面积为6，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线MN上运动时，△OP1P2的面积最小值为多少 解：如图，连接OP，过点O作OH⊥MN交NM的延长线于H， 由题意，得∠AOP=∠AOP1， ∠BOP=∠BOP2，OP1=OP=OP2， 因为S△OMN==6，且MN=3， 所以OH=4， 因为∠AOB=45°， 所以∠P1OP2=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=90°， 所以△OP1P2的面积为， 由垂线段最短可知，当点P与点H重合时， OP取得最小值，最小值为OH=4， 所以△OP1P2的面积的最小值为。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 面对新研究的问题时，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题。转化是解决数学问题的一种重要策略。 通过转化，可以把一个问题转化为与它等价的问题，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P137 T1、T2、T3。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高做题效率。
板书设计 ☆ 问题解决策略：转化最短路径问题投影区学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课首先借助简单的生活情境引出主题，通过对一个实际问题的逐步理解、分析、解决，在师生的交流和讨论中培养转化问题的能力。 通过本节课的学习，让学生体验了将复杂问题转化为简单问题的全过程，让学生有了一定的经验和策略。后续学习中，可以给学生展示不同类型的应用场景，让学生进一步巩固解决此类问题的能力。 反思，更进一步提升。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共15张PPT)
础
基
练
知识点1 利用转化思想求面积
1. 【新情境 数学文化】《周髀算经》是我国最早的一部数学著作，其中记载了勾股定理这一重要的数学原理，吴国数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“赵爽弦图”（也称勾股圆方图）。在如图所示的“赵爽弦图”中，中间小正方形ABCD的边长为1，分别以点B，D为圆心，以AB的长为半径作弧，则图中阴影部分的面积为（ ）
B
2. ［教材P138T1 改编］如图，正方形的边长为4，分别以正方形的两条边为直径画半圆，并连接对角线，则图中阴影部分的面积是________。（结果保留π）
4π-8
3. （河南许昌期末）如图，A，B是两个居民小区，快递公司准备在公路 l 上选取点 P 处建一个服务中心，使PA+PB最短。下面四种选址方案符合要求的是（ ）
A
知识点2 最短距离问题
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD是∠BAC的平分线。若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值为（ ）
A. 2.4 B. 4 C. 5 D. 4.8
D
5. 如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积是12 cm2，AB的垂直平分线EF交AC于点F，若点 D 为 BC 边上的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则△BDM的周长最短为（ ）
A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 8 cm
D
6. 如图，已知∠A=30°，AB=BC，点D是射线AE上的一动点，当 BD + CD 最短时，∠ABD 的度数是________。
90°
7. 如图，已知∠AOB=30°，点 P 为∠AOB 内一定点。点 M，N 分别是射线 OA、射线 OB 上的点。若△PMN的周长最小值为6，则OP的值为多少？
解：如图，分别作点P关于OA，OB的对称点C，D，连接CD，分别交OA，OB于点E，F，连接OP，OC，OD，PE，PF。
因为点P关于OA的对称点为点C，
所以PE=CE，OP=OC，∠POA=∠COA。
因为点P关于OB的对称点为点D，
所以PF=DF，OP=OD，∠POB=∠DOB，所以OC=OD=OP，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
所以△COD是等边三角形，所以CD=OC=OD，
当M，N分别为CD与OA，OB的交点E，F时，△PMN的周长最小，
所以PE+EF+PF=CE+EF+DF=CD=6，所以OP=6。
8. （山西晋中榆次区三模）如图，正方形的边长为4，以正方形的边长为直径在正方形内部作半圆，以正方形的顶点为圆心、边长为半径在正方形内部作弧，阴影部分的面积为 （ ）
A. 6 B. 12 C. 4π D. 3.5π
B
升
提
练
9. 如图，点P为∠AOB内一定点，点M，N分别是射线 OA，OB 上的点，当△PMN 的周长最小时，∠MPN=110°，则∠AOB=________。
35°
10. 如图，∠AOB=45°，点 M，N 分别在射线 OA，OB上，MN=8，△OMN 的面积为 24，点 P 是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为 P1，点 P 关于 OB 对称的点为 P2，则△OP1P2的面积最小值为________。
18
11. 如图，∠ABN=60°，点C为射线BN上一定点，点E 为线段 AB 延长线上一定点，且 BE=AB=12，点A关于射线BN的对称点为D，连接AC，BD，CD，DE。
（1）试说明：∠BAC=∠BDC；
（2）若点P为直线BC上一个动点，当△PDE周长最小时，求点 P 所在的位置，并求出△PDE周长的最小值。
12. 【 新趋势 阅读理解题] 【阅读理解】若 x 满足（32-x）·（x-12）=100，求（32-x）2+（x-12）2的值。
解：设32-x=a，x-12=b，则（32-x）·（x-12）=ab=100，a+b=（32-x）+（x-12）=20，
（32-x）2+（x-12）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=202-2×100=200。
我们把这种方法叫作换元法。利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想。
【解决问题】（1）若x满足（100-x）（x-95）=5，则（100-x）2+（x-95）2=________；
（2）若 x 满足（2 024-x）2+（x-2 000）2=228，求（2 024-x）（x-2 000）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB=20 cm，点E，F 是 BC，CD 边上的点，EC=10 cm，且 BE=DF=x cm，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN。若长方形CBQF的面积为 300 cm2，则图中阴影部分的面积和为________。
养
素
练(共13张PPT)
1.借助已学知识转化复杂问题的能力，提高利用轴对称解决实际问题的能力。（难点）
2.借助已学知识转化复杂问题的能力。（重点）
如图，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门后，先到储物点取物品，然后再到车间。你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短
如果把大门、车间和储物点所在的位置都看作点，把道路看作一条直线，那么上述问题可以抽象成怎样的数学问题
理解问题
可以抽象为在直线上确定一个点，使得该点到直线同侧的两点的长度之和最短。
拟定计划
（1）你以前遇到过类似的问题吗 关于“最短”，你有哪些认识
（2）相信你能解决以下问题：如图，直线l的两侧分别有A，B两点，在直线l上确定一个点C，使AC+CB最短。原问题与这个问题有什么区别和联系 你能将原问题转化为（2）这样的问题吗？
垂线段最短，两点之间线段最短。
原问题两点在直线同侧，
这个问题两点在直线两侧。
实施计划
写出你的解决方案，并说明道理。
如图，作点B关于l的对称点B'，根据轴对称的性质，对于l上任意一点C，都有BC=B'C，因此AC+BC=AC+B'C，问题转化为：在直线l上确定一个点C，使AC+B'C最短。
根据“两点之间线段最短”，连接AB'，与l交于点C，点C就是所要确定的点。
l
A
B
B'
C
将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，这就是转化策略。
面对新研究的问题时，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题。转化是解决数学问题的一种重要策略。
通过转化，可以把一个问题转化为与它等价的问题，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的。
归纳总结
1. 如图，正方形的边长为4，分别以正方形的两条边为直径画半圆，并连接对角线，则图中阴影部分的面积是________。（结果保留π）
4π-8
2. 如图，A，B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短。下面四种选址方案符合要求的是（ ）
B
3. 如图，点P为∠AOB内一定点，点M，N分别是射线OA，OB上的点，当△PMN的周长最小时，∠MPN=110°，则∠AOB=________。
35°
4. 如图，∠AOB=45°，点M，N分别在射线OA，OB上，MN=3，△OMN的面积为6，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线MN上运动时，△OP1P2的面积最小值为多少
面对新研究的问题时，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题。转化是解决数学问题的一种重要策略。
通过转化，可以把一个问题转化为与它等价的问题，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的。
