2 简单的轴对称图形
课题 第1课时 等腰三角形的性质 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P127-128
教学目标 1.经历探索简单图形轴对称的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。 2.探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质。 3.能够灵活运用等腰三角形的轴对称性解决相关的实际问题.
教学重难点 重点：探索等腰三角形的性质。 难点：利用等腰三角形和等边三角形的性质解决问题。
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 观察下面这些图片，你能从图中找出共同存在的图形吗？ 师生活动：教师出示图片，学生观察，容易得到图中共同存在的图形是等腰三角形，教师用多媒体展示图中的等腰三角形。 教师活动：等腰三角形是生活中常见的三角形，在之前的学习中，我们知道，三角形具有稳定性。那么作为其中特殊的一种三角形，它除了具备一般三角形的性质之外，还具备本身独特的特征，今天这节课就来探究等腰三角形有哪些特征（教师板书课题：第1课时 等腰三角形的性质）。 给出生活中含有等腰三角形的建筑物图片，让学生从中找出等腰三角形，给学生们呈现最直观的现象，引出本节课的主题。
2.实践探究，学习新知 【探究1】 等腰三角形是生活中常见的图形。 (1)等腰三角形是轴对称图形吗 如果是，沿它的对称轴折叠，你能发现哪些相等的线段和相等的角 （2）等腰三角形的对称轴是一条怎样的直线 你是如何描述的 （3）你认为等腰三角形有哪些特征 与同伴进行交流。 师生活动：教师出示问题，学生通过观察、折叠等腰三角形，发现结论，在组内交流自己的想法，教师请一位同学回答上述问题并说明理由，鼓励学生尽可能多地探索等腰三角形的特征，引导学生归纳等腰三角形的性质。 【归纳总结】 等腰三角形是轴对称图形。 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”),它们所在的直线是等腰三角形的对称轴。 等腰三角形的两个底角相等。 【教材例题】 例1 已知一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，求它的各个内角的度数。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：设这个等腰三角形顶角的度数为x°,则底角的度数为2x°。 根据“三角形三个内角的和等于180”,得x+2x+2x=180。 解得x=36。2×36=72。 所以，这个三角形的三个内角分别是36°,72°,72°。 尝试·思考 如图，△ABC是一个等腰三角形，直线l是它的对称轴。请在△ABC中画出以直线l为对称轴的一组对应点、一组对应线段、一组对应角，你能发现哪些相等的线段、相等的角，以及形状、大小完全相同的图形 师生活动：教师引导学生通过等腰三角形的性质找出图中的对应角、对应线段以及全等图形。等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 【探究2】 思考·交流 （1）等边三角形有几条对称轴？ （2）你能发现它的哪些特征？ 师生活动：教师鼓励学生通过操作和思考分析等边三角形的轴对称性，并尽可能多地探索它的特征。 （1）等边三角形有3条对称轴。 （2）等边三角形的三个角相等，都是60°。 【归纳总结】 等边三角形的特征： 等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴。 等边三角形的三个内角相等，并且每一个内角都等于60°。 以问题串的方式探索并总结等腰三角形的轴对称性及其性质。 对知识进行巩练习，使学生对知识加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。 探索并总结等边三角形的轴对称性及其性质。
3.学以致用，应用新知 考点1 等腰三角形的性质 例1 如图，在下面的等腰三角形中，∠A是顶角，分别求出它们的底角的度数。 答案：（1）60° （2）45° （3）30° 变式训练 等腰三角形的一个内角等于50°，则另两个内角的度数分别为（ ） A.65°，65° B.50°，80° C.65°，50° D.65°，65°或50°，80° 答案：D 考点2 等边三角形的性质 例2 等边三角形两条中线相交所成的锐角为（ ） A.30° B.45° C.60° D.75° 答案：C 通过例题和变式训练，进一步加深学生对等腰三角形和等边三角形的性质的理解与掌握，促进学生将知识转化成技能。
4.随堂训练，巩固新知 1.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ） A.过顶点的直线 B.底边上的高 C.顶角平分线所在的直线 D.腰上的高所在的直线 答案：C 2.若等腰三角形的顶角与一个底角之和为110°，则顶角的度数为 。 答案：40° 3.如图，AB=AC，∠B=40°，点D在BC上且∠DAC=50°，试说明：BD=CD。 解：因为AB=AC，所以∠B=∠C=40°。 因为∠B+∠C+∠BAC=180°， 所以∠BAC=100°。 因为∠DAC=50°，所以∠BAD=50°， 所以∠DAC=∠BAD。 因为AB=AC，AD平分∠BAC， 所以BD=AD。 4.如图，已知等边三角形ABC，AD⊥BC，AD=AC，连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的度数。 解：在等边三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=60°。 因为AD⊥BC，所以∠CAD=∠BAC=30°。 因为AD=AC，所以∠ACD=∠ADC。 在△ACD中，因为∠ACD+∠ADC+∠CAD=180°， ∠CAD=30°， 所以∠ACD=75°。 在△ACE中，因为∠EAC+∠ACE+∠E=180°， 所以∠E=180°-∠EAC-∠ACE=180°-60°-75°=45°。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 1.等腰三角形的特征： 等腰三角形是轴对称图形。 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”),它们所在的直线是等腰三角形的对称轴。 等腰三角形的两个底角相等。 2.等边三角形的特征： 等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴。 等边三角形的三个内角相等，并且每一个内角都等于60°。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P133习题5.2中的T1、T5、T6、T11、T12、T14。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高做题效率。
板书设计 第1课时 等腰三角形的性质1.等腰三角形的特征。 2.等边三角形的特征.投影区学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节内容具有丰富的实际背景，在现实世界中有着广泛的应用，因此要充分利用现实生活中大量存在的轴对称现象进行教学。 学生已经学习过等腰三角形的概念，教学时可以先领导学生回顾这一概念。有关等腰三角形性质的探索，教师要鼓励学生充分地进行交流，注重操作和思考的有机结合。对于通过想象解决问题的学生，应鼓励他们通过操作进行验证；对于通过操作得出结论的学生，应鼓励他们在操作的基础上进行想象。 反思，更进一步提升。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共19张PPT)
础
基
练
知识点1 等腰三角形的性质
1. （山西晋中期中）等腰三角形的对称轴有（ ）
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 1条或3条
D
2. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，CD AB，则∠BCD= （ ）
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
D
3. （教材P127例题题改编）等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是
（ ）
A. 80° B. 80°或50°
C. 40°或50° D. 50°
B
4. 【新情境 生产生活】如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC=120°，则∠DAC的大小为_______.
60°
5. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD是角平分线。若∠BDC=84°，则∠A=________。
52°
6. 【新趋势 过程性学习】把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由。
已知：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，延长BA到E，AD BC。
试说明：∠EAD=∠DAC。
解：因为AD BC（已知），
所以∠EAD=______（______________________），
∠DAC=______（______________________）。
又因为等腰△ABC，AB=AC（已知），
所以∠B=______（________________），
所以∠EAD=∠DAC（等量代换）。
∠B
两直线平行，同位角相等
∠C
两直线平行，内错角相等
等边对等角
∠C
7. （河南南阳宛城阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E. 试说明：∠CBE=∠BAD.
解：因为AB=AC，AD是BC边上的中线，
所以AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
所以∠CAD+∠C=90°.
因为BE⊥AC，所以∠CBE+∠C=90°，
所以∠CBE=∠CAD，
所以∠CBE=∠BAD.
8. 如图，在等边三角形 ABC中，AB=4 cm，BD 平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E=30°，则CE的长是 （ ）
A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm
知识点2 等边三角形的性质
B
9. 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，AE=AD，则∠ADE的度数为________.
75°
10. 如图，△ABC是等边三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC=120°，AE=CE，F为BC中点，连接AF.
（1）直接写出∠BAE的度数为______；
（2）判断AF与CE的位置关系，并说明理由.
90°
11. 如图，在△ABC中，AB=AC，△ADE的顶点D，E分别在 BC，AC 上，且∠DAE=90°，AD=AE。若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC的度数为 （ ）
A. 17.5° B. 12.5° C. 12° D. 10°
【解析】因为AB=AC，所以∠B=∠C。
所以∠B+∠C+∠BAC=2∠C+∠BAC=180°，
又因为∠C+∠BAC=145°，所以∠C=35°。
因为∠DAE=90°，AD=AE，所以∠AED=45°。
所以∠EDC=180°-∠CED-∠C=∠AED-∠C=10°。故选D。
B
升
提
练
12. 等腰三角形一边上的高与一腰所夹的锐角是50°，则该等腰三角形顶角是 （ ）
（1）甲的结果是 100°；（2）乙的结果是 40°；（3）丙的结果是140°。
A. 甲、乙的结果合起来才对 B. 乙、丙的结果合起来才对
C. 甲、乙、丙的结果合起来才对 D. 甲、乙、丙的结果合起来也不对
【解析】（1）当等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为50°时，
①当等腰三角形为锐角三角形时如图1，
因为AB=AC，BD⊥AC于点D，∠ABD=50°，
所以∠A=90°-50°=40°；②当为钝角三角形时如图2，
因为AB=AC，BD⊥AC于点D，∠ABD=50°，
所以∠DAB=90°-50°=40°，所以∠BAC=180°-40°=100°．
（2）当等腰三角形底边上的高与腰的夹角为50°时，如图3，
AB=AC，AD⊥BC于点D，∠BAD=50°，所以∠BAC=2∠BAD=100°，
所以甲、乙、丙的结果合起来才对。故选C。
C
13. 【新趋势 规律探究题】如图，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，点E，F分别在线段AB，AC的延长线上，且DE=DF=AD，点D从B运动到C的过程中，△BED周长的变化规律是 （ ）
A. 不变 B. 一直变小 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大
解：因为AD=DE=DF，所以∠DAE=∠DEA，∠DAF=∠DFA.
因为∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°，所以∠DEA+∠DFA=60°.
因为∠ABC+∠EBC=180°，∠DEA+∠EDB+∠EBC=180°，
所以∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°，所以∠EDB=∠DFA.
同理得∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°，所以∠CDF=∠BED.
在△BDE和△CFD中，因为∠EDB=∠DFA，DE=DF，∠BED=∠CDF，
所以△BDE≌△CFD，所以BD=CF，BE=CD，
所以△BED周长=BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD.
因为点D在BC边上从B至C的运动过程中，AD的长先变小后变大，
所以△BED的周长先变小后变大. 故选D.
D
14. 【新趋势 探究性问题】如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，请你添加一个条件，写出一个正确结论（不在图中添加辅助线），条件是_________________，结论是_________________.
【解析】因为AB=AC，AD⊥BC，
所以AD是△ABC的中线，
所以BD=CD.
AB=AC
BD=CD
36°或90°
16. （湖南长沙雨花区期末）如图，AD，CE 分别是△ABC的中线和角平分线，AB=AC。
（1）若△ABC的面积是20，且BC=4，求AD的长；
（2）若∠CAD=20°，求∠ACE的度数。
17. （河南驻马店校级期末）在△ABC和△DCE中，CA=CB，CD=CE，∠CAB=∠CED=α。
（1）如图1，将AD，EB延长，延长线相交于点O。
①试说明：BE=AD；
②用含 α 的式子表示∠AOB 的度数（直接写出结果）。
（2）如图 2，当 α=45°时，连接 BD，AE，作 CM⊥AE 于点 M，
延长 MC 与 BD 交于点N，试说明：点N是BD的中点。
养
素
练
解：（1）①因为CA=CB，CD=CE，∠CAB=∠CED=α，
所以∠ACB=180°-2α，∠DCE=180°-2α，所以∠ACB=∠DCE，
所以∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，所以∠ACD=∠BCE。
在△ACD和△BCE中，因为AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
所以△ACD≌△BCE，所以AD=BE。
②因为△ACD≌△BCE，所以∠CBE=∠CAD=∠BAO+α。
因为∠ABO=180°-∠AOB-∠BAO，
所以∠ABE=180°-∠ABO=180°-(180°-∠AOB-∠BAO)=∠AOB+∠BAO，
所以∠ABE=∠CBE+α=∠AOB+∠BAO，所以∠BAO+α+α=∠AOB+∠BAO，所以∠AOB=2α。
（2）如图，作BP⊥MN交MN的延长线于点P，作DQ⊥MN于点Q。
因为CA=CB，∠CAB=α，α=45°，所以∠CBA=45°，所以∠ACB=90°。
又因为CM⊥AE，所以∠AMC=90°，
所以∠BCP+∠ACM=∠CAM+∠ACM，所以∠BCP=∠CAM。
在△CBP与△ACM中，因为∠BPC=∠CMA，∠BCP=∠CAM，AC=CB，
所以△CBP≌△ACM，所以BP=CM。
同理，CM=DQ，所以DQ=BP。
在△BPN与△DQN中，
因为∠BNP=∠DNQ，∠BPN=∠DQN，BP=DQ，
所以△BPN≌△DQN，所以BN=DN，
所以点N是BD的中点。(共19张PPT)
1.经历探索简单图形轴对称的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。
2.探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质。（难点）
3.能够灵活运用等腰三角形的轴对称性解决相关的实际问题。（重点）
等腰三角形是生活中常见的图形。
你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？
A
B
C
顶角
底角
底角
腰
腰
底边
等腰三角形是生活中常见的图形。
（1） 等腰三角形是轴对称图形吗？ 如果是， 沿它的对称轴折叠，你能发现哪些相等的线段和相等的角？
是轴对称图形。
腰相等，底角相等。
A
B
C
顶角
底角
底角
腰
腰
底边
（2） 等腰三角形的对称轴是一条怎样的直线？你是如何描述的？
等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，底边上的高所在的直线也是对称轴。
A
B
C
顶角
底角
底角
腰
腰
底边
（3） 你认为等腰三角形有哪些特征？
等腰三角形的两个底角相等。
A
B
C
知识点1 等腰三角形
等腰三角形的特征：
等腰三角形是轴对称图形。
等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线、 底边上的高重合（也称 “三线合一” ）， 它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
等腰三角形的两个底角相等。
已知一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，求它的各个内角的度数。
例1
设这个等腰三角形顶角的度数为x°,则底角的度数为2x°。
根据“三角形三个内角的和等于180°”,得
x+2x+2x=180。
解得 x=36。
2×36=72。
所以，这个三角形的三个内角分别是36°,72°,72°。
解：
1. 如图， 在下面的等腰三角形中，∠A 是顶角，分别求出它们的底角的度数。
（1）60°
（2）45°
（3）30°
2. 如图，AB=AC，∠B=40°，点D在BC上且∠DAC=50°。
求证：BD=CD
A
B
C
D
A
B
C
D
因为AB=AC，
所以∠B=∠C=40°
因为∠B+∠C+∠BAC=180°
所以 ∠BAC=100°
因为∠DAC=50°
所以∠BAD=50°
所以∠DAC=∠BAD
因为AB=AC，AD平分∠BAC
所以BD=AD
证明：
（等边对等角）
（等式性质）
（等式性质）
（三线合一）
尝试·思考
如图，△ABC是一个等腰三角形，直线l是它的对称轴。请在△ABC中画出以直线l为对称轴的一组对应点、一组对应线段、一组对应角，你能发现哪些相等的线段、相等的角，以及形状、大小完全相同的图形？
对应点：点B与点C
对应线段：AB与AC
对应角：∠ABC与∠ACB
相等线段：AB=AC
相等角：∠ABC=∠ACB
形状大小完全相同的图形：△ABD与△ACD
D
思考·交流
（1） 等边三角形有几条对称轴？
（2） 你能发现它的哪些特征？
3条
3个角相等
知识点2 等边三角形
1 等边三角形的概念：
三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形。
2 等边三角形的特征：
（1）等边三角形是轴对称图形。
（2）等边三角形的三个内角相等，并且每个内角都等于60°。
1. 等边三角形两条中线相交所成的锐角为（ ）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
C
2. 如图，已知等边三角形ABC，AD⊥BC，AD=AC，连接CD 并延长，交AB 的延长线于点E，求∠ E 的度数。
A
B
C
D
4.“三线合一”
1.两腰相等
3.等边对等角
2.轴对称图形
等腰三角形
等边三角形
两腰相等
等腰三角形
等边三角形
两腰相等
三条边都相等
三个内角都相等，
且每个内角都是60°.
