2 简单的轴对称图形
课题 第3课时 角平分线的性质 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P130-133
教学目标 1.经历探索简单图形轴对称的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。 2.探索并掌握角平分线的定义及其相关性质。 3.能够灵活运用角平分线的性质解决相关的实际问题.
教学重难点 重点：探索角平分线的有关性质。 难点：利用角平分线的有关性质解决相关实际问题。
教学准备 多媒体课件、圆规、直尺
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？如果是，请指出它的对称轴。如图，将∠AOB对折，你发现了什么？ 师生活动：学生通过折纸的方法作角的平分线；教师与学生一起动手操作，展示学生作品。通过折纸及作图过程，由学生自己去发现结论。 结论：角是轴对称图形，折痕是∠AOB的平分线。 教师活动：这节课我们就来研究一下角平分线的相关性质（教师板书课题：第3课时 角平分线的性质）。 体验角平分线的简易作法,并为角平分线的性质定理的引出做铺垫。
2.实践探究，学习新知 【探究1】 【归纳总结】 角的轴对称性： 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。 【探究2】 尝试·思考 如图，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点。在∠AOB的两边上画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D'，连接CD和CD'。 (1)你认为线段CD和CD'之间有什么关系 说说你的理由。 (2)特别地，当CD⊥OA时(如图5-20),CD'与OB有怎样的位置关系 为什么 此时，线段CD和CD'之间还有(1)中的关系吗 由此你能得到什么结论 教师出示问题，让学生在前面所画角的基础上，折一折，观察、思考、发现结论并与同伴交流。 【归纳总结】 角平分线的性质： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 【教材例题】 例3 已知∠AOB,请用尺规作∠AOB的平分线。 师生活动：学生首先进行自学，然后请两位同学到背板板演，其余同学在练习本上进行尺规作图.教师巡视，适时强调写出规范的己知、求作，完后学生互相检查。 作法： 1.在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE。 2.分别以点D和点E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C。 3.作射线OC。 OC就是∠AOB的平分线。 教师提问：你能说明这样做的道理吗？ 学生活动：经过前面的探究过程，学生容易想到利用三角形全等来证明∠BOC=∠AOC，证明过程如下： 在△COD和△COE中， 因为OE=OD，CD=CE，OD=OE， 所以△COD≌△COE（SSS）。 所以∠BOC=∠AOC，即OC是∠AOB的平分线。 让学生通过折纸，交流讨论，加强对角平分线性质的理解，培养学生的推理概括能力。 依据课本上例题的作法，让学生自己动手尝试尺规作图，更好地理解和掌握尺规作角平分线。
.3.学以致用，应用新知 考点1 角平分线的性质 例1 如图，在Rt△ABC中，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，AC=3cm，那么AE+DE的值为（ ） A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 答案：B 考点2 角平分线的画法 例2 如图，Rt△ABC中，∠C=90°．作∠BAC的平分线，交BC于点D.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 解：以点A为圆心，任意长为半径，画弧交AC与AB两点E、F，在以这两点E、F分别为圆心，大于这两点EF的距离一半为半径，交∠CAB内一点P，过A作射线AP，交BC与D，如图。 通过例题，进一步加深学生对角平分线的性质的理解与掌握，促进学生将知识转化成技能。
4.随堂训练，巩固新知 1.如图所示，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P到AB的距离是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 答案：A 2.如图，两个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM=PN，有一同学说：“只要作一个角平分线、一条线段的垂直平分线，这个茶水供应点的位置就确定了”，你认为这位同学说得对吗？请说明理由，并通过作图找出这一点，不写作法，保留作图痕迹。 解：这位同学说的对，理由如下： 因为角平分线上的点到这个角两边的距离相等，而线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，所以只要作出∠BAC的平分线，再作出线段MN的垂直平分线，两条直线的交点P就是茶水供应点的位置。 3.如图，OD平分∠EOF，在OE，OF上分别取点A，B，使OA=OB，P为OD上一点，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.试说明：PM=PN。 解：因为OD平分∠EOF，所以∠BOD=∠AOD。 在△BOD和△AOD中， 所以△BOD≌△AOD(SAS)。 所以∠BDO=∠ADO，即DO平分∠BDA。 又因为P为DO上一点，且PM⊥BD，PN⊥AD， 所以PM=PN。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 1.角的轴对称性： 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。 2.角平分线的性质： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 3.角平分线的作法。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P133习题5.2中的T4、T9、T10。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高做题效率。
板书设计 第3课时 角平分线的性质1.角的轴对称性。 2.角平分线的性质。 3.角平分线的作法.投影区学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节一开始以操作性活动以及“你发现了什么”的问题引入角的对称性。由于角的两边是射线，图形具有一定的抽象性，建议让学生充分讨论“角是否是轴对称图形”的问题，关注学生是否能将直观与想象相结合。 本节课以学生操作、探究、合作为主，在教学过程中给学生的思考留下足够的时间和空间，由学生自己去发现总结结论，对角平分线性质有了更深刻的认识，培养了学生动手、合作、概括能力，同时也提高了思维水平和应用数学知识解决实际问题的意识。 反思，更进一步提升。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共16张PPT)
1.经历探索简单图形轴对称的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。
2.探索并掌握角的轴对称性及其相关性质。（难点）
3.能够灵活运用角平分线的性质解决相关的实际问题。（重点）
角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？
如图，将∠AOB对折，你发现了什么？
A
O
B
知识点1 角的轴对称性
角的轴对称性：
角是轴对称图形， 角平分线所在的直线是它的对称轴。
尝试·思考
如图，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点。在∠AOB的两边上画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D'，连接CD和CD'。
（1）你认为线段CD和CD'之间有什么关系 说说你的理由。
CD=CD'
（2）特别地，当CD⊥OA时（如图），CD'与OB有怎样的位置关系 为什么 此时，线段CD和CD'之间还有（1）中的关系吗 由此你能得到什么结论？
CD'⊥OB，
CD=CD'
尝试·思考
知识点1 角平分线的性质
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
1. 如图，在Rt△ABC 中，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，AC=3cm，那么 AE+DE 的值为（ ）
A.2cm
B.3cm
C.4cm
D.5cm
B
2. 如图，OD平分∠EOF，在OE，OF上分别取点A，B，使OA=OB，P为OD 上一点，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N。 试说明：PM=PN。
思考·交流
如图，已知∠AOB，如何作出它的平分线？
假设∠AOB的平分线已作出，请回答下列问题：
（1）这条射线有什么特征？
（2）如何确定这条射线上除端点之外的一个点 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试。如果只用尺规呢？
平分∠AOB，射线上的点到OA，OB的距离相等。
需要确定的点是角的对称轴上的点，因此应当从角两边进行“对称”的操作。
例3 如图，已知∠AOB，请用尺规作∠AOB的平分线。
作法：
1. 在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD =OE。
你能说明这样作的道理吗
2. 分别以D，E为圆心、以大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C。
3. 作射线OC。
OC就是∠AOB的平分线。
A
B
O
D
E
C
思考·交流
过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的平分线，这两种尺规作图方法有什么共同点？(共15张PPT)
础
基
练
知识点1 角平分线的性质
1. ［教材P133随堂练习T1 改编 ］如图，点P在∠AOB的平分线上，过点P作PC⊥OA，交OA于点C，且PC=8，则P到OB的距离为 （ ）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
C
2. 下列各点中，到∠AOB两边距离相等的是 （ ）
A. 点P
B. 点Q
C. 点M
D. 点N
B
3. 【新趋势 动点探究题】如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD=1.5 cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为______cm.
1.5
5. （河南南阳唐河阶段练习）如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E.
（1）求∠EDA的度数；
（2）若AB=10，AC=8，DE=3，求S△ABC.
F
6. 如图，由作图痕迹作出如下判断，其中正确的是 （ ）
A. FH>HG B. FH=HG
C. FH
知识点2 角平分线的画法
A
B
8. 【原创题 生产生活】近年来，我国快递企业不断加大枢纽节点建设力度，投用智慧科技、电商物流产业园，启用分拨、仓储中心，推动产业设施升级。如图，两条公路相交，在 A，B 两处是两个居民区，某快递企业要在居民区旁边修建一个快递点，为了使快件取送方便，要使快递点到两条公路的距离相等，并且到两个居民区的距离也相等，请你通过尺规作图找到一个这样的点。
解：如图，点P为所求作的点.
9. 如图，点O是直线MN上的点，点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，
则以下结论错误的是 （ ）
A. AD+BC=AB B. ∠AOB=90°
C. 与∠CBO互余的角有2个 D. 点O是CD的中点
【解析】由角平分线的性质易得AD=AE，BC=BE，所以AB=AD+BC，A项正确.
由点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，易得∠AOB=90°，B项正确.
与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE，共4个，C项错误.
易得OC=OD=OE，所以点O是CD的中点，D项正确. 故选C.
升
提
练
C
10. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是 （ ）
A. 24
B. 30
C. 36
D. 42
B
D
12. （山西太原期中）如图，在△ABC 中，∠B=80°，点 D 在△ABC 内部，且到三边的距离相等，则∠ADC=________。
130°
13. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=AD。求作：求作一点 P，使点 P 在 BC 上，且△ABP≌△ADP。
解：如图，点P即为所求。
养
素
练