(共10张PPT)
典例1 如图，AB=DE，AB DE，BE=CF。
试说明：AC=DF。
类型1
平移模型
【规范解答】因为BE=CF，
所以BE+CE=CF+CE，即BC=EF。
因为AB DE，所以∠B=∠DEF。
在△ABC和△DEF中，因为AB=DE，∠B=∠DEF，BC=EF，所以△ABC≌△DEF，所以AC=DF。
变式训练
1. 如图，已知A，D，C，E在同一直线上，BC和DF相交于点O，AD=CE，AB DF，AB=DF。
（1）试说明：△ABC≌△DFE；
（2）连接CF，若∠BCF=54°，∠DFC=20°，求∠DFE的度数。
解：（1）因为AB DF，所以∠A=∠EDF。
因为AD=CE，所以AD+CD=CE+CD，即AC=DE。
在 △ ABC 和 △ DFE 中 ，因 为 AB=DF，∠A=∠FDE，AC=DE，所以△ABC≌△DFE。
（2）因为△ABC≌△DFE，所以∠ACB=∠E，所以BC FE，
所以∠CFE=∠BCF=54°，所以∠DFE=∠DFC+∠CFE=20°+54°=74°。
类型2
对称模型
【规范解答】因为ED⊥AB，所以∠ADE=∠ACB=90°。
在△ABC和△AED中，
因为∠A=∠A，∠ACB=∠ADE，BC=ED，
所以△ABC≌△AED，所以AB=AE，AC=AD，
所以AE-AC=AB-AD，即CE=DB。
典例2 如图 ，在△ABC中 ，∠ACB=90°，点E在 AC的延长线上，ED⊥AB 于点 D，若 BC=ED。试说明：CE=DB。
变式训练
2.如图，∠C=∠D，AC=BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB中点，连接OE。
（1）试说明：△AOC≌△BOD；
（2）判断OE和AB的位置关系，并说明理由。
解：（1）在△AOC和△BOD中，
因为∠AOC=∠BOD，∠C=∠D，AC=BD，
所以△AOC≌△BOD。
（2）OE⊥AB。理由如下：因为△AOC≌△BOD，所以AO=BO。
因为点E是AB中点，所以AE=BE。
在△AOE 和△BOE 中，因为 AO=BO，AE=BE，OE=OE，
所以△AOE≌△BOE，所以∠AEO=∠BEO=90°，所以OE⊥AB。
类型3
旋转模型
【规范解答】因为 AB⊥AC，AD⊥AE，
所以∠BAE+∠CAE=90° ，∠BAE + ∠BAD=90° ，
所 以 ∠CAE=∠BAD。
在 △ ABD 和 △ ACE 中 ，
因 为 ∠BAD=∠CAE，AB=AC，∠ABD=∠ACE，
所以△ABD≌△ACE，
所以BD=CE。
典例3 如图，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD=∠ACE。
试说明：BD=CE。
变式训练
3. 如图，△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE 交 CD 于点 F，BD 分别交CE，AE于点G，H。试猜测线段AE和BD的数量关系和位置关系，并说明理由。
解：AE=BD，AE⊥BD。理由如下：
因为∠ACD=∠BCE=90°，所以∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB。
因为△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，所以AC=CD，CE=CB。
在 △ ACE 和 △ DCB 中 ，
因 为 AC=DC，∠ACE=∠DCB，CE=CB，所以△ACE≌△DCB，
所以AE=BD，∠CAE= ∠CDB。 所 以 ∠CDB + ∠AFC= ∠CAE +∠AFC=90°，
又因为∠AFC=∠DFH，所以∠CDB +∠DFH=90°，所以∠DHF=90°，所以AE⊥BD。
类型4
“一线三等角”模型（特殊的旋转模型）
【规范解答】因 为 ∠BDA= ∠BAC= α，
所 以 ∠DBA +∠BAD=180°-α=∠BAD+∠CAE，
所以∠ABD=∠CAE。
在△ABD和△CAE中，因为∠BDA=∠AEC，∠ABD=∠CAE，AB=AC，
所以△ABD≌△CAE，所以AD=CE，BD=AE。
因为CE=a，BD=b，
所以DE=AD+AE=CE+BD=a+b。
典例4 如图，在△ABC中，AB=AC，点D，A，E都在直 线 l 上 ，并 且 ∠BDA=∠AEC=∠BAC=α。若 CE=a，BD=b，求 DE 的长度。（用含a，b的代数式表示）
4. 【新趋势 综合与实践】 数学模型学习与应用：
（1）【模型学习】如图1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥AC于点C，DE⊥AC于点E。由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D；又∠ACB=∠AED=90°，可以通过推理得到 △ABC≌△ DAE，进 而 得 到 AC=________，BC=________，我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型；
（2）【模型应用】如图 2，△ABC 为等边三角形，BD=CF，∠EDF=60°，试说明：BE=CD；
（3）【模型改编】如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE 于点 E，AD⊥CE 于点 D，DE=5 cm，AD=8 cm，则BE=________。
变式训练
解：（1）DE AE
（2）因为△ABC是等边三角形，所以∠B=∠C=60°，
所以∠B=∠EDF=60°。
因为∠BDE+∠B+∠BED=180°，∠BDE+∠EDC=180°，
所以∠EDC=∠B+∠BED=∠EDF+∠CDF，
DE
AE
3 cm
所以∠BED=∠CDF。
又因为BD=CF，
所以△BDE≌△CFD，所以BE=CD。
（3）因为BE⊥CE，AD⊥CE，
所以∠E=∠ADC=∠ACB=90°，
所以∠ACD+∠BCE=∠ACD+∠CAD=90°，
所以∠BCE=∠CAD。
又因为AC=BC，
所以△ACD≌△CBE，
所以AD=CE=8 cm，BE=CD，
所以BE=CD=CE-DE=3 cm。(共12张PPT)
典例1 如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连接CD，则∠BCD的度数是___________.
类型1
涉及分类讨论的角度计算问题
10°或100°
变式训练
1. 一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则此三角形顶角度数为___________.
【解析】如图，当△ABC是锐角三角形时，
∠ACD=36°，∠ADC=90°，所以∠A=54°.
如图，当△ABC是钝角三角形时，
∠ACD=36°，∠ADC=90°，
所以∠BAC=180°-∠DAC=∠ADC+∠ACD=126°.
所以此三角形顶角度数为54°或126°.
54°或126°
2. （浙江绍兴中考）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连接AP，则∠BAP的度数是___________.
变式训练
15°或75°
类型2
等腰三角形的存在性问题
典例2 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=45°，当∠A=_________________时，△AOP为等腰三角形.
45°或67.5°或90°
变式训练
3.（河南洛阳期末节选）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=30°，点O在BC边上运动（O不与B，C重合），点D在线段AB上，连接AO，OD. 点O运动时，始终满足∠AOD=∠B.
（1）当OD AC时，判断△AOB的形状并说明理由；
（2）在点O的运动过程中，△AOD的形状是等腰三角形时，请求出此时∠BDO的度数.
类型3
等腰三角形的分割问题
【解析】如图所示：
当AC=CD，AB=BG，AF=CF，AE=BE时，
都能得到符合题意的等腰三角形. 故选B.
典例3 已知△ABC的三边长分别为4，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 （ ）
A. 3条 B. 4条 C. 5条 D. 6条
B
变式训练
【解析】如图1，①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②如图2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③如图3，以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 （ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
类型4
等腰三角形与线段垂直平分线的综合问题
典例4 （湖南衡阳校级期中）如图，已知∠B=20°，∠C=25°，若PM和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ=________。
90°
【解析】如图，
因为PM和QN分别垂直平分AB和AC，
所以AP=PB，AQ=QC，
所以∠2=∠B，∠1=∠C。
因为∠B=20°，∠C=25°，
所以∠3=180°-2(∠B+∠C)=90°。
变式训练
5. 如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交AB于点D，交AC于点E，连接BE。
（1）若AB=12，△BEC的周长是20，求BC的长；
（2）若∠A=42°，求∠EBC的度数。
类型5
等腰三角形与线段垂直平分线的综合问题
典例5 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.
（1）若∠C=42°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF AC交AD的延长线于点F. 试说明：∠BAD=∠F.
【规划解答】（1）因为AB=AC，AD⊥BC于点D，
所以∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°.
又∠C=42°，所以∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°.
（2）由（1）知∠BAD=∠CAD.
因为EF AC，所以∠F=∠CAD.
所以∠BAD=∠F.
变式训练
解：（1）因为EA=EC，所以设∠A=∠2=x°。
因为CE平分∠ACB，所以∠ACB=2x°。
因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=2x°，
所以x+2x+2x=180，所以x=36，所以∠A=36°。
（2）因为∠A=∠2，所以∠2=36°。
因为BD⊥AC，所以∠DFC=90°-36°=54°，
所以∠1=∠DFC=54°。
6. 如图，在△ABC 中，AB=AC，CE 平分∠ACB，EC=EA。
（1）求∠A的度数；
（2）若BD⊥AC，垂足为D，BD交EC于点F，求∠1的度数。(共11张PPT)
典例1 【新趋势 规律探究题】如图，△ABC 的面积为1，第一次操作：分别延长 AB，BC，CA 至点 A1，B1，C1，使 A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1。第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…，按此规律，第 n 次操作后，得到△AnBnCn，要使△AnBnCn的面积超过 2 025，则至少需要操作 （ ）
A. 6次 B. 5次 C. 4次 D. 3次
类型1
三角形中线的应用
【解析】如图，连接A1C。
因为AB=A1B，所以△ABC与△A1BC的面积相等，三角形A1BC的面积为1。
因为BB1=2BC，所以△A1B1B的面积等于△A1BC的面积的2倍，等于2。
同理可得，△C1B1C的面积为2，△AA1C1的面积为2，所以△A1B1C1的面积等于2+2+2+1=7。
同理可得，第二次操作后，△A2B2C2的面积为△A1B1C1的面积的7倍，等于7×7=72=49。
第三次操作后，△A3B3C3的面积为△A2B2C2的面积的7倍，等于73=343。
第四次操作后，△A4B4C4的面积为△A3B3C3的面积的7倍，等于74=2 401。
故按此规律，要使三角形的面积超过2 025，至少需要操作4次。故选C。
C
变式训练
1. 如图，D，E分别是△ABC的AB，BC边上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADF 的面积为 S1，△CEF 的面积为S2，已知S△ABC=6，求S1-S2的值。
类型2
三角形角平分线的应用
【规范解答】（1）因为AD平分∠BAC，所以∠EAD=∠CAD。
因为∠EAD=∠EDA，所以∠CAD=∠EDA，所以DE AC。
（2）因为∠B+∠C+∠BAC=180°，
所以∠C=180°-100°-36°=44°。
因为DE AC，所以∠EDF=∠C=44°。
因为EF⊥BC，所以∠EFD=90°，
所以∠DEF=90°-∠EDF=90°-44°=46°。
典例2 如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，E 为 AB 边上一点，连接DE，∠EAD=∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F。
（1）试说明：DE AC；
（2）若∠BAC=100°，∠B=36°，求∠DEF的度数。
变式训练
2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在AB上，EF AD，连接DE。
（1）试说明：∠BEF=∠CAD；
（2）若DE AC，试说明：EF平分∠BED。
类型3
三角形高的应用
典例3 如图，在△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D和E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F。若AB=5，BC=4，AC=6，则CE∶AD∶BF的值为________________。
12 ∶15 ∶10
变式训练
3. 如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=6 cm，AC=8 cm，BC=10 cm，∠CAB=90°。试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差。
类型4
三角形的高、中线和角平分线的综合应用
典例4 【新趋势 探究性问题】（1）如 图 1，在 △ABC中，∠C>∠B，AD⊥BC 于点 D，AE 平分∠BAC，你能找出∠EAD 与∠B，∠C 之间的数量关系吗？并说明理由；
（2）如图2，AE平分∠BAC，F为AE上一点，FM⊥BC于点M，这时∠EFM 与∠B，∠C 之间又有何数量关系？并说明理由。
变式训练(共12张PPT)
典例1 如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC 的平分线 BD 交AC 于点 D，CE⊥BD，交 BD 的延长线于点E，若BD=8，则CE=________。
类型1
利用“角平分线”构造全等三角形
【解析】如图，延长BA，CE相交于点F。
因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD。
因为CE⊥BD，所以∠BEC=∠BEF=90°。
在△BFE和△BCE中，因为∠ABD=∠CBD，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，
所以△BFE≌△BCE，所以EF=CE。
因为∠BAC=90°，CE⊥BD，
所以∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，
所以∠ABD=∠ACF。
在△ABD和△ACF中，因为∠ABD=∠ACF，AB=AC，∠BAC=∠CAF=90°，所以△ABD≌△ACF，所以BD=CF。
因为CF=CE+EF=2CE，所以BD=2CE=8。 所以CE=4。
F
4
变式训练
1. 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP⊥BP，垂足为P，连接PC，若△ABC的面积为1 cm2，则△PBC的面积为 （ ）
A. 0.4 cm2 B. 0.5 cm2 C. 0.6 cm2 D. 0.7 cm2
E
B
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，AD 平分∠CAB 交 BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点 ，则CE+EF的最小值为________。
类型2
利用“倍长中线”构造全等三角形
【解析】如图，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC。
在△ABD和△ECD中，因为BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=ED，
所以△ABD≌△ECD，所以AB=EC。
因为AB=5，AC=3，所以CE=5。
因为AD=m，所以AE=2m，所以由三边关系得2<2m<8，
所以1
典例2 △ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________。
1 变式训练
3.（河南郑州中原区期中）如图，在△AEC中，点B，D在EC上，∠E=∠CAD，点D是BC的中点，若AB平分∠DAE，试说明：AC=BE。
解：延长 AD 至 F，使 DF=AD，连接CF，如图所示。
因为点D是BC的中点，所以BD=DC。
在△ABD和△FCD中，
因为BD=CD，∠ADB=∠FDC，AD=FD，
所以△ABD≌△FCD，所以∠BAD=∠CFD，AB=FC。
因为AB平分∠DAE，所以∠BAD=∠EAB，
所以∠CFD=∠EAB。
在△FCA和△ABE中，
因为∠CFD=∠BAE，∠CAD=∠E，CF=BA，
所以△FCA≌△ABE，所以AC=BE。
4.如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，DE=2AM，点M为BC的中点，连接AM。 试说明：AD⊥AC。
解：如图，延长AM至N，使MN=AM，连接BN，则AN=2AM=DE。
因为点M为BC的中点，所以CM=BM。
在△AMC和△NMB中，因为AM=NM，∠AMC=∠NMB，CM=BM，
所以△AMC≌△NMB，
所以AC=BN=AD，∠C=∠NBM，所以AC BN。
在△EAD和△ABN中，因为AE=BA，AD=BN，ED=AN，所以△EAD≌△ABN，
所以∠EAD=∠ABN。
因为AC BN，所以∠CAM=∠N，
所以∠BAC+∠EAD=∠BAM+∠N+∠ABN=180°，
所以∠BAE+∠DAC=180°。
又因为AB⊥AE，所以∠BAE=90°，所以∠DAC=90°，即AD⊥AC。
N
5. 【新趋势 探究性问题】（1）方法呈现
如图 1，在△ABC 中，若 AB=6，AC=4，点 D 为 BC边的中点，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围。解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接 BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边 的 关 系 即 可 判 断 中 线 AD 的 取 值 范 围 是____________（直接写出范围即可）。这种解决问题的方法我们称为倍长中线法。
（2）探究应用
如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并说明理由；
（3）问题拓展
如图3，在四边形ABCD中，AB CD，AF与DC的延长线交于点 F，点 E 是 BC 的中点，如果 AB=AF+CF，那么∠FAE=∠BAE吗？请说明理由。
1＜AD＜5
解：（1）1因为D是BC的中点，所以CD=BD，因为∠ADC=∠BDE，AD=ED，所以△ACD≌△EBD，
所以BE=AC=4。
在△ABE中，AB-BE（2）BE+CF>EF。理由如下：
延长FD至点M，使DM=DF，连接BM，EM，如图所示。由（1）得，△BMD ≌△CFD，
所以BM=CF。因为DE⊥DF，所以∠MDE=∠FDE=90°，又因为DE=DE，DM=DF，
所以△MDE≌△FDE，所以EM=EF。
在△BME中，由三角形的三边关系，得BE+BM> EM，所以BE+CF>EF。
（3）如图，延长AE，DF交于点G，
因为AB∥CD，所以∠BAG=∠G。
在△ABE和△GCE中，
因为CE=BE，∠BAG=∠G，∠AEB=∠GEC，
所以△ABE≌△GCE，
所以CG=AB，AE=GE。
因为AB=AF+CF，CG=CF+FG，
所以AF=FG。
连接FE，在△AFE和△GFE中，
因为AF=GF，FE=FE，AE=GE，
所以△AFE≌△GFE，所以∠FAE=∠G，
所以∠FAE=∠BAE。
类型3
利用“截长补短”构造全等三角形
【规范解答】截长法：如图1，在AB上截取AN=AC,连接PN。
在△APN和△APC中，因为AN=AC,∠1=∠2,AP=AP,
所以△APN≌△APC，所以PN=PC。
在△BPN中,PB-PNPB-PC。
补短法：如图2,延长AC至点M，使AM=AB,连接PM。
在△ABP和△AMP中，因为AB=AM，∠1=∠2，AP=AP，
所以△ABP≌△AMP，所以PB=PM。
在△PCM中,CM>PM-PC,所以AM-AC>PB-PC,所以AB-AC>PB-PC。
典例3 如图，在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点（不与点A，D重合）。试说明：AB-AC>PB-PC。
变式训练
3. 如图，AB CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，试说明：BC=AB+CD。
解：如图，在BC上取点F，使BF=BA，连接EF。
因为BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，所以∠1=∠2，∠3=∠4。
在△ABE和△FBE中，因为AB=FB，∠1=∠2，BE=BE，
所以△ABE≌△FBE，所以∠A=∠5。
因为AB CD，所以∠A+∠D=180°，
所以∠5+∠D=180°。
因为∠5+∠6=180°，所以∠6=∠D。
在△CDE和△CFE中，因为∠6=∠D，∠3=∠4，CE=CE，
所以△CDE≌△CFE，所以CD=CF。
因为BC=BF+CF，所以BC=AB+CD。(共19张PPT)
1. 如果27x÷81=311，求x的值。
类型1
利用幂的运算性质求未知数的值
2. 已知8×2m÷16m=26，求m的值。
D
类型2
利用幂的运算性质进行简便计算
5. 已知10a=3，10b=2，求102a-b+1的值。
类型3
逆用幂的运算性质求代数式的值
6. 若n为正整数，且x2n=7，求（3x3n）2-13（x2）2n的值。
7. 若 am=an （a>0，a≠1，m，n 都是正整数），则 m=n。
利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果2x×23=25，求x的值；
（2）如果2÷8x×16x=25，求x的值；
（3）若x=5m-2，y=3-25m，用含x的代数式表示y。
8. 已知 a=240，b=332，c=424，则 a，b，c 的大小关系为 （ ）
A. aB
类型4
利用幂的运算性质比较大小
9. （河南周口商水县期中）已知a=1631，b=841，c=461，则a，b，c的大小关系是________。（用“<”连接）
c10. 新趋势 过程性学习 设 m=2100，n=375，为了比较 m与n的大小，小明想到了如下方法：m=2100=（24）25=1625，即25个16相乘的积；n=375=（33）25=2725，即25个27相乘的积，显然m
5
类型5
幂的运算中的新定义问题
12. 我们规定一个新数 i，使其满足 i2=-1，并且进一步规定：一切有理数可以与新数i进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=-1，i3=i2·i=（-1）·i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1 那么i+i2+i3+ +i2 024+i2 025=________。
i
13. 若 3n的个位数字是 9，则 92 025n的个位数字是多少？
类型6
利用幂的运算性质判断个位数字
14. 817-279-913能被45整除吗？请说明理由。
类型7
利用幂的运算性质说明整除问题
15. （河南南阳宛城区校级阶段练习）已知3x=2，32y=18，3z=6，试探索 x，y，z 之间的数量关系，并说明理由。
类型8
利用幂的运算性质解决探究性问题
225
（3）计算：33+63+93+123。(共14张PPT)
【方法指导】步骤：①将要求值的代数式化到最简；②将已知字母的值代入化简后的式子；③计算得出结果。
类型1
化简后直接代入求值
1. 先化简，再求值：（2m+n）2-4（m-2n）（m+2n），其中m=-2，n=-1。
2. （河南郑州二七区期末）先化简，再求值：
[ （2x3y）2-（x-y）（x+y）-3x（x-2y）]÷（-2y），其中x=-1，y=2。
【方法指导】当单个字母的值不能或不易求出，且要求值的代数式化到最简后出现已知条件中存在的式子时，可把该式子看作一个整体，从已知条件中找出与其相等的数或字母，然后进行整体代换，最后计算得出结果。
类型2
整体代入求值
3. 先化简，再求值：（2+a）（2-a）+a（a-5b）+3a5b3÷（-a2b）2，其中ab=-1 011。
4. 已知 m=2n+1，那么（m-n）（m-3n）+（m-2n）n2的值是多少？
【方法指导】当已知条件给出的等式由绝对值或偶次方组成时，可以考虑依据绝对值和偶次方的非负性求出字母的值，再化简代入即可。
类型3
特征条件求值
【方法指导】步骤：①将要求值的代数式化到最简；②将已知条件中的等式进行变形整理，得到可以代入的字母或式子的值；③代入，计算得出结果。
类型4
变形后代入求值
【方法指导】关键步骤：①将代数式进行化简，并合并同类项；②根据化简后与代数式的值无关的字母所在的项的系数为0或不含某项时此项系数为0列出方程；③解方程求出该字母的值。
类型5
利用“无关”或“不含”求值
8. 已知M=x2+2x+a，N=x，P=x3+2x2-5x+2，且M·N-P的值与x无关，则a的值是多少？
【方法指导】此类问题的解题关键在于利用平方差公式或完全平方公式将式子进行化简，再把化简得出的式子整体代入求值。
类型6
利用公式变形求值
10. 已知a+b=3，ab=-12，求下列各式的值。
（1）a2-ab+b2； （2）（a-b）2。
【方法指导】对于新定义问题中的化简求值问题，理解新运算并熟练掌握运算法则是解答此类问题的关键。
类型7
化简求值新考法
(共12张PPT)
典例1 如图，直线l1，l2，l3交于一点，l2⊥l3，l4 l1。若∠1=50°，求∠2的度数。
类型1
直接求角度
【规范解答】如图所示。
因为l2⊥l3，所以∠3=90°。
因为l4∥l1，∠1=50°，
所以∠4=∠3+∠1=90°+50°=140°，
所以∠2=∠4=140°。
变式训练
1. （河南平顶山汝州市期中）如图，点O在直线AB上，CO⊥AB，∠1=28°，OE 是∠AOD 的平分线，OF⊥OE。
（1）求∠AOE的度数；
（2）找出图中与∠BOF 互补的角，并求出∠BOF补角的度数。
（2）因为OF⊥OE，CO⊥AB，
所以∠EOF=90°，∠AOC=90°，
所以∠AOF=∠EOF-∠AOE=31°，∠EOC=∠AOC-∠AOE=31°，所以∠AOF=∠EOC。
因为∠AOF+∠BOF=180°，所以与∠BOF 互补的角有∠AOF，∠EOC，且∠AOF=∠EOC=31°。
类型2
平行线+角平分线模型中求角度
典例2 如图，AB CD，∠1=40°，MN平分∠EMB，则∠2的度数是______。
110°
变式训练
2. 如图，AB CD，直线l分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF交直线CD于点G。若∠1=68°，则∠EGF的度数为 （ ）
A. 34° B. 36°
C. 38° D. 68°
A
类型3
借助学具的特征求角度
【规范解答】如图，过点O作OF AB。
因为AB CD，所以AB OF CD，
所以∠BOF=∠B，∠DOF=∠D。
因为∠B=30°，∠C=∠D=45°，
所以∠BOD=∠BOF+∠DOF=∠B+∠D=75°。
典例3 将一副直角三角尺按照如图所示的方式摆放，其中∠A=60°，∠B=30°，∠C=∠D=45°。 若AB CD，求∠BOD的度数。
F
变式训练
3. 已知EF BC，BE CF，现将直角三角尺OAB（∠OAB=45°）和直角三角尺OCD（∠OCD=30°）按如图所示放置，直角顶点O重合，点A，D在EF上。已知∠1+∠2=30°，∠3∶∠4=3∶2，则∠DAB的度数为 （ ）
A. 85° B. 90° C. 95° D. 100°
B
类型4
折叠问题中角度的计算
B
变式训练
【解析】因为MD NG BC，
所以∠M=∠MEF，∠N=∠NFE。
因为ME FG，所以∠MEF=∠GFC。
由翻折可知，∠B=∠M，∠GFC=∠NFG，∠N=∠C。
所以∠NFE=∠ACB，∠NFG=∠GFC=∠B，
所以∠NFE+∠GFC+∠NFG=∠ACB+2∠ABC=180°。
因为∠ABC+∠ACB=α，所以∠NFE=∠ACB=2α-180°。
4.如图，在三角形ABC中，∠ABC+∠ACB=α，按图进行翻折，使MD NG BC，ME FG，则∠NFE的度数是_________。
2α-180°
类型5
动点问题中角度的计算
【规范解答】当点P在线段AB上时，如图1所示。
因为PE BC，∠ABC=84°，所以∠APE=∠ABC=84°。
因为∠CPE=20°，所以∠APC=∠APE+∠CPE=84°+20°=104°。
当点P在线段AB的延长线上时，如图2所示。
因为PE BC，∠ABC=84°，
所以∠APE=∠ABC=84°。因为∠CPE=20°，
所以∠APC=∠APE-∠CPE=84°-20°=64°。
综上所述，∠APC的度数为104°或64°。
典例5 【新趋势 动点探究题】如图，P是射线AB上一动点，连接CP，过点P作PE BC，若∠ABC=84°，∠CPE=20°，求∠APC的度数。
变式训练
5. 【新趋势 动点探究题】如图，AC BD，BC平分∠ABD，设∠ACB为α，点E是射线BC上的一个动点，若∠BAE∶∠CAE=3∶1，则∠CAE的度数为________________（用含α的代数式表示）。
【解析】因为AC BD，
所以∠CBD=∠ACB=α，∠CAB+∠ABD=180°。
因为BC平分∠ABD，所以∠ABD=2∠CBD=2α，
所以∠CAB=180°-2α。
①当点E在直线AC上方时，如图，
因为∠BAE∶∠CAE=3∶1，
所以∠CAB∶∠CAE=2∶1，
所以∠CAB=2∠CAE=180°-2α，
所以∠CAE=90°-α。(共13张PPT)
典例1 如图，已知AB DE，∠1=25°，∠C=45°，则∠2的度数为 （ ）
A. 70° B. 50°
C. 20° D. 35°
类型1
燕尾模型
【解析】如图，过点C作CF AB，
因为AB DE，所以AB DE CF，
所以∠1=∠BCF，∠FCE=∠2。
因为∠BCF+∠FCE=∠1+∠2=∠BCE=45°，
所以∠2=∠BCE-∠1=45°-25°=20°。 故选C。
C
变式训练
类型2
铅笔模型
【解析】如图，过点E作EF AB。
因为EF AB，AB CD，
所以AB CD EF，
所以∠B+∠BEF=180°，∠D+∠FED=180°，
所以∠B+∠BEF+∠D+∠FED=360°，
即∠B+∠BED+∠D=360°。
又因为∠BED=55°，
所以∠B+∠D=360°-55°=305°。故选D。
典例2 如图，AB CD，若∠E=55°，则∠B+∠D等于 （ ）
A. 125° B. 180° C. 250° D. 305°
D
F
变式训练
2.【新趋势 规律探究题】（1）如图1，MA1 NA2，则∠A1+∠A2=______；
如图2，MA1 NA3，则∠A1+∠A2+∠A3=______；
如图3，MA1 NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=______；
如图4，MA1 NA5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=______；
（2）如图5，MA1 NAn，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=___________。
180°
360°
540°
720°
（n-1）180°
【解析】（1）如图1，因为MA1 NA2，所以∠A1+∠A2=180°。
如图2，过点A2作A2C1 A1M，
因为MA1 NA3，所以A2C1 A1M NA3，
所以∠A1+∠A1A2C1=180°，∠C1A2A3+∠A3=180°，
所以∠A1+∠A1A2A3+∠A3=360°。
如图3，过点A2作A2C1 A1M，过点A3作A3C2 A1M，
因为MA1 NA4，所以A2C1 A3C2 A1M NA4，
所以∠A1+∠A1A2C1=180°，
∠C1A2A3+∠A2A3C2=180°，
∠C2A3A4+∠A4=180°，
所以∠A1+∠A1A2A3+∠A2A3A4+∠A4=540°。
如图4，过点A2作A2C1 A1M，过点A3作A3C2 A1M，过点A4作A4C3 A1M，
因为MA1 NA5，所以A2C1 A3C2 A4C3 NA5，
所以∠A1+∠A1A2C1=180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2=180°，
∠C2A3A4+∠A3A4C3=180°，∠C3A4A5+∠A5=180°，
所以∠A1+∠A1A2A3+∠A2A3A4+∠A3A4A5+∠A5=720°。
（2）因为∠A1+∠A2=180°=1×180°，
∠A1+∠A2+∠A3=360°=2×180°，
∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°=3×180°，
所以∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=（n-1）180°。
类型3
拐角模型
解：∠B=∠D+∠E。理由如下：
如图1，过点E作EF AB。
因为AB CD，所以AB EF CD，
所以∠B+∠FEB=180°，∠D+∠FED=180°，
所以∠B+∠FEB=∠D+∠FED，
即∠B+∠FEB=∠D+∠FEB+∠BED，
所以∠B=∠D+∠BED，即∠B=∠D+∠E。
如图2，过点E作EF AB。因为AB CD，所以AB EF CD，
所以∠B=∠BEF，∠D=∠DEF。因为∠BED=∠BEF-∠DEF，所以∠BED=∠B-∠D，
所以∠B=∠D+∠BED，即∠B=∠D+∠E。
典例3 已知，AB CD，如图1、图2，∠B，∠D和∠E分别有何种关系？请说明理由。
F
F
变式训练
3. 【新趋势 跨学科融合】善思的雯雯发现大写的英文字母“F”中某一个部分也可以抽象成一个数学问题：如图，已知AB CD，∠B=97°，∠D=136°，求∠E的度数。
解：如图，过点E作EF AB。
因为AB CD，所以AB EF CD，
所以∠B+∠BEF=∠D+∠DEF=180°，
所以∠B+∠BED+∠DEF=∠D+∠DEF，
所以∠B+∠BED=∠D。
因为∠B=97°，∠D=136°，所以∠BED=∠D-∠B=39°。
类型4
其他模型
【解析】如图，过点E作EF AB，
因为AB CD，所以AB EF CD，
所以∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠DEF，
所以∠AEF=180°-∠α，
所以∠β=∠AEF+∠DEF=180°-∠α+∠γ，
即∠α+∠β-∠γ=180°。 故选C。
典例4 （河南信阳平桥区阶段练习）如图，若AB CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是 （ ）
A. ∠α+∠β+∠γ=180° B. ∠α-∠β+∠γ=180°
C. ∠α+∠β-∠γ=180° D. ∠α+∠β+∠γ=270°
C
F
4.如图，AB CD，则∠1，∠2，∠3，∠4的关系是 （ ）
A. ∠1-∠2+∠3+∠4=180° B. ∠1+∠2+∠3=∠4
C. ∠1+∠2-∠3+∠4=180° D. ∠2+∠3+∠4-∠1=180°
变式训练
【解析】如图，过点E作EG AB，
因为EG AB，所以∠1=∠AEG。
因为∠AEG-∠2=∠FEG，所以∠1-∠2=∠FEG。
因为EG AB，AB CD，所以EG CD，所以∠4+∠EGC=180°。
因为∠EGF+∠3+∠FEG=180°，∠EGC+∠EGF=180°，
所以∠EGC=∠3+∠FEG，
所以∠3+∠FEG+∠4=180°，
所以∠1-∠2+∠3+∠4=180°。故选A。
G
A