(共20张PPT)
一、选择题
1. （河南洛阳新安县阶段练习）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史。下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
D
【解析】选项A，B，C均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形。故选D。
【解析】根据轴对称图形的性质可得：等边三角形有3条对称轴，直角三角形有1条或没有对称轴，圆有无数条对称轴，正方形有4条对称轴，故对称轴条数最多的图形是圆。故选C。
2. 下列图形中，对称轴条数最多的是 （ ）
A.等边三角形 B. 直角三角形 C. 圆 D. 正方形
C
【解析】如图，因为AB=BC，∠C=25°，
所以∠BAC=∠C=25°，
所以∠ABC=130°.因为l1 l2，∠1=60°，
所以∠ABE=∠1=60°.
所以∠2=130°-60°=70°. 故选A.
3. 如图，l1 l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB=BC，∠C=25°，∠1=60°. 则∠2的度数是 （ ）
A. 70° B. 65°
C. 60° D. 55°
A
4. 【新情境 生产生活】河南周口市城乡一体化示范区不断完善基础服务设施，着力打造“15分钟便民服务圈”。现在有三个小区位置呈三角形，若在该三角形区域内建立一个便民服务中心，使其到三个小区的距离相等，则应建在 （ ）
A. 三边垂直平分线的交点处 B. 三条角平分线的交点处
C. 三条中线的交点处 D. 三条高所在直线的交点处
A
【解析】因为线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，所以便民服务中心应建在三条边的垂直平分线的交点处。故选A。
5. 如图 1，四边形 ABCD 是长方形纸带，其中 AD BC，∠DEF=20°，将纸带沿 EF 折叠成图 2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE的度数是 （ ）
A. 110° B. 120°
C. 140° D. 150°
【解析】因为AD∥BC，
所以∠EFB=∠DEF=20°，
在图2中∠GFC=180°-2∠EFB=140°，
在图3中∠CFE=∠GFC-∠EFB=120°。故选B。
B
6. 如图，在长方形ABCD中进行如下作图，依据尺规作图的痕迹，则∠α的余角等于（ ）
A. 34° B. 44° C. 56° D. 68°
A
7. 【新趋势 动点探究题】如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC，AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为 （ ）
A. 7.5 B. 5 C. 4 D. 不能确定
B
【解析】如图，过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小.
因为等边△ABC中，BD=CD，所以AD⊥BC，
所以AD是BC的垂直平分线，所以C和B关于直线AD对称，
所以CF=BF，即BF+EF=CF+EF，
所以当C,E,F共线且CE⊥AB时，CF+EF有最小值CE.
因为AD⊥BC，CE⊥AB，所以∠ADB=∠CEB=90°.
在△ADB和△CEB中，因为∠ADB=∠CEB，∠ABD=∠CBE，AB=CB，
所以△ADB≌△CEB，
所以CE=AD=5，即BF+EF的最小值为5. 故选B.
8. （河南郑州阶段练习）如图，四边形 ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在 BC，CD 上分别找一点 M，N，使△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM 的度数为 （ ）
A. 60° B. 120° C. 90° D. 45°
B
【解析】如图，作点A关于BC和CD的对称点A'，A"，连接A'A"，
交BC于点M，交CD于点N，则A'A"即为△AMN的周长的最小值。
因为∠BAD=120°，
所以∠A'+∠A"=180°-120°=60°。
因为点A，A'关于BC对称，点A，A"关于CD对称，
所以∠A'=∠MAB，∠NAD=∠A"，
所以∠MAB+∠NAD=60°，
所以∠MAN=∠BAD-(∠MAB+∠NAD)=60°，
所以∠AMN+∠ANM=180°-∠MAN=120°。故选B。
9. 数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题。如图所示，∠1=∠2，若∠3=35°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1为________。
55°
【解析】因为∠2+∠3=90°，∠3=35°，
所以∠2=55°。
因为∠1=∠2，所以∠1=55°。
二、填空题
10. （河南商丘永城市期末）在如图所示的图中补一个小正方形，使其成为轴对称图形，共有______种补法.
4
【解析】如图所示，共有4种补法.
11. 如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC=______.
【解析】因为AC=AD=DB，
所以∠B=∠BAD，∠ADC=∠C.
设∠B=∠BAD=x°，则∠ADC=180°-∠ADB=∠B+∠BAD=2x°，
所以∠C=2x°，所以∠B+∠C=3x°.
因为∠BAC=102°，所以∠B+∠C=78°，所以3x=78，
解得x=26，所以∠ADC=52°.
52°
12. 如图，△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC=76°，则∠OBC=______.
【解析】如图，连接OA.
因为AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，
所以OA=OB，OA=OC，
所以∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，OB=OC，
所以∠OBA+∠OCA=∠BAC=76°.
所以∠OBC+∠OCB=180°-∠BAC-（∠OBA+∠OCA）=28°.
因为OB=OC，所以∠OBC=∠OCB=14°.
14°
【解析】因为AB=AC，∠BAC=124°，所以∠B=∠C=28°.
因为△ABD和△AFD关于直线AD对称，所以△ADB≌△ADF，
所以∠B=∠AFD=28°，∠ADB=∠ADF，AB=AF，∠BAD=∠FAD=θ，
所以AF=AC. 因为AG平分∠FAC，所以∠FAG=∠CAG.
在△AGF和△AGC中，因为AF=AC，∠FAG=∠CAG，AG=AG,
所以△AGF≌△AGC，所以∠AFG=∠C. 所以∠DFG=∠AFD+∠AFG=∠B+∠C=28°+28°=56°.
①当DF=GF时，∠FDG=∠FGD. 因为∠DFG=56°，所以∠FDG=∠FGD=62°.
因为∠ADG=180°-∠ADB=∠B+θ=28°+θ，所以∠ADF=∠ADG+∠GDF=28°+θ+62°=90°+θ，
所以∠ADB=90°+θ.因为∠ADB+∠B+θ=180°，所以90°+θ+28°+θ=180°，解得θ=31°.
②当DF=DG时，∠DFG=∠DGF=56°，所以∠GDF=180°-56°-56°=68°.
因为∠ADG=180°-∠ADB=∠B+θ=28°+θ，所以∠ADF=∠ADG+∠GDF=28°+θ+68°=96°+θ，
所以∠ADB=96°+θ.因为∠ADB+∠B+θ=180°，所以96°+θ+28°+θ=180°，解得θ=28°.
所以当θ=28°或31°时，△DFG是以DF为腰的等腰三角形.
13. （河南济源期末）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=124°，点 D 在 BC 边上，△ABD、△AFD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC边于点G，连接FG，∠BAD=θ，当θ的值等于________时，△DFG是以DF为腰的等腰三角形。
28°或31°
14. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，请分别在边AB，AC上找到点E，F，使四边形PEFQ的周长最小.
【解析】如图，分别作P关于AB，Q关于AC的对称点P′，Q′，连接P′Q′，交AB于E，交AC于F，则E，F即为所求.
三、解答题
15. 如图，△ABC中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；③连接PB，PC. 请你观察图形解答下列问题：
（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是____________；
（2）若∠ABC=70°，求∠BPC的度数.
解：因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=70°.
所以∠BAC=180°-2×70°=40°.
因为AM平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD=20°.
因为PA=PB=PC，
所以∠ABP=∠BAP=∠CAD=∠ACP=20°，所以∠PBC+∠PCB=2×70°-2×20°=100°，
所以∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-100°=80°
PA=PB=PC
16. （湖南永州冷水滩区期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，交CD于点F，过点E作EG CD，交AB于点G，连接CG。
（1）试说明：∠A+∠AEG=90°；
（2）试说明：EC=EG；
（3）若CG=4，BE=5，求四边形BCEG的面积。
【解析】（1）因为AE⊥BC，所以∠EAC+∠C=90°.
因为∠BAC=90°，所以∠B+∠C=90°，所以∠B=∠EAC.
因为将△ABD沿AD翻折后得到△AED，
所以∠B=∠E，所以∠EAC=∠E，所以DE AC .
17. 【新趋势 存在探究题】在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F. （友情提醒：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等. ）
（1）如图1，当AE⊥BC时，试说明：DE AC；
（2）若∠C-∠B=10°，∠BAD=x° .
①如图2，当DE⊥BC时，求x的值；
②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等？
若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.
（2）①因为∠B+∠C=90°，∠C-∠B=10°，
所以∠B=40°，∠C=50°.
因为DE⊥BC，所以∠EDF=90°.
因为将△ABD沿AD翻折后得到△AED，所以∠B=∠E=40°，∠BAD=∠EAD=x°，所以∠DFE=50°.
因为∠DFE=∠AFC=180°-∠AFB=∠B+∠BAF，所以2x+40=50，解得x=5.
②存在. ∠ADC=180°-∠ADB=∠B+∠BAD=40°+x°，∠ADB=∠ADE=140°-x°，
∠EDF=∠ADE-∠ADC=140°-x°-（40°+x°）=100°-2x°，
∠DFE=∠AFC=180°-∠AFB=∠B+∠BAF=40°+2x°.
（i）若∠EDF=∠DFE，可得100-2x=40+2x，解得x=15.
（ii）若∠EDF=∠E，可得100-2x=40，解得x=30.
（iii）若∠DFE=∠E，可得40+2x=40，解得x=0（舍去）.综上，x的值为15或30.(共20张PPT)
1. （湖南衡阳期中）6a2÷（-3a）的结果是 （ ）
A. 2a B. 3a C. -2a D. -3a
C
一、选择题
2. 新情境 传统文化 如图，这是河南省三门峡市虢（guó）国墓地虢季夫人墓中出土的凹弦纹罐，短直长束颈，造型精美，高仅 0.084 m。数据 0.084 用科学记数法表示正确的是 （ ）
A. 84×10-3 B. 8.4×10-2
C. 84×10-3 D. 0.84×10-2
B
C
4. 新定义 新运算问题 对于任意有理数a，b，现用“☆”定义一种运算:a☆b=a2-b2。根据这个定义，代数式（x+y）☆y可以化简为 （ ）
A. xy+y2 B. xy-y2 C. x2+2xy D. x2
C
5.（河南平顶山汝州市阶段练习）若（5x+2）（3-x）=-5x2+kx+p，则代数式（k-p）2的值为 （ ）
A. 98 B. 49 C. 14 D. 7
B
6. 如果 x2-（m+1）x+1 是完全平方式，则 m 的值为 （ ）
A. -1 B. 1 C. 1或-1 D. 1或-3
D
7. （河南郑州新郑市期末）利用图中面积的等量关系可以得到某些数学公式，根据下图能得到的数学公式是 （ ）
A.（a+b）（a-b）=a2-b2
B.（a-b）2=a2-2ab+b2
C. a（a+b）=a2+ab
D. a（a-b）=a2-ab
B
8. 如图，正方形ABCD和正方形ECGF的边长分别为a，b。如果a+b=16，ab=32，则阴影部分的面积为 （ ）
A. 112 B. 118 C. 124 D. 130
A
9. （河南周口淮阳区阶段练习）已知2×4a=23，则a=________。
1
二、填空题
10. 已知a2+a-1=0，则代数式a（2a+1）-（a-1）·（a+1）的值为________。
2
11. 若a=（π-3）0，b=193×195-1942，c=8202×（-0.125）203，则a，b，c的大小关系是________。（用“>”连接）
a>c>b
12. （x2+mx-1）与（x-2）的积中不含x2项，则m的值是________。
2
13. 新趋势 规律探究题 观察等式：2+22=23-2，2+22+23=24-2，2+22+23+24=25-2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100=m，用含m的代数式表示这组数的和是________。
m2-m
解：原式=2+1+3=6。
三、解答题
解：原式=4x2-25-4x2+3x
=3x-25。
解：原式=9x4y2·6xy3÷9x3y4
=54x5y5÷9x3y4
=6x2y。
16. （11分）（1）已知2a=5，2b=1，求2a+b+3的值；
（2）已知 2n=a，5n=b,20n=c，则 a，b，c 之间有什么等量关系？说明理由。
解：（1）2a+b+3=2a×2b×23=5×1×8=40。
（2）c=a2b。理由如下：
c=20n=（4×5）n=4n×5n=（22）n×5n=（2n）2×5n=a2b。
17. （11 分）小虎同学在计算一个多项式 A 乘（1-2x）时，因抄错运算符号，算成了加上（1-2x），得到的结果是x2-x+1。
（1）这个多项式A是多少？
（2）正确的计算结果是多少？
解：（1）A=x2-x+1-（1-2x）=x2-x+1-1+2x=x2+x。
（2）（x2+x）（1-2x）=x2-2x3+x-2x2=-2x3-x2+x。
18. （12分）新趋势 过程性学习 利用完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，可以解决很多数学问题。
例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值。
解：因为a+b=3，所以（a+b）2=9，所以a2+b2+2ab=9。
因为ab=1，所以a2+b2+2×1=9，得a2+b2=7。
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若m-n=4，mn=12，求m2+n2的值；
（2）若（112-m）2 +（111-m）2=3，求（112-m）（111-m）的值。
解：（1）因为m-n=4，所以（m-n）2=16，所以m2+n2-2mn=16。
因为mn=12，所以m2+n2-2×12=16，所以m2+n2=40。
（2）因为［（112-m）-（111-m）］2=1，
所以（112-m）2+（111-m）2-2（112-m）（111-m）=1。
因为（112-m）2+（111-m）2=3，
所以3-2（112-m）（111-m）=1，解得（112-m）（111-m）=1。(共20张PPT)
1. （湖南衡阳衡东县期末）如果锐角α的余角是48°，那么锐角α的补角是 （ ）
A. 132° B. 42° C. 48° D. 138°
D
【解析】因为锐角α的余角是48°，
所以∠α=90°-48°=42°，
所以锐角α的补角是180°-42°=138°。故选D。
一、选择题
2. （河南郑州新郑市期中）下列说法不正确的是 （ ）
A. ∠1与∠4是同位角
B. ∠3与∠5是同旁内角
C. ∠3与∠4是内错角
D. ∠3与∠6是同位角
D
【解析】A. ∠1与∠4是同位角，不符合题意；B. ∠3与∠5是同旁内角，不符合题意；C. ∠3与∠4是内错角，不符合题意；D. ∠3与∠6不是同位角，符合题意。故选D。
3. （河南郑州巩义市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，若∠2=115°，则∠1+∠3= （ ）
A. 65° B. 120° C. 130° D. 150°
【解析】因为∠2=115°，
所以∠1=∠3=180°-115°=65°，
所以∠1+∠3=65°+65°=130°。故选C。
C
4. 下列图形中，根据∠1=∠2，一定能得到 AB CD的是 （ ）
【解析】A. 根据∠1+∠2=180°，得AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)，
而∠1=∠2，不一定能得到AB∥CD，故该选项不符合题意；
B. 如图所示，因为∠1=∠2，∠3=∠2，所以∠1=∠3，
所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)，故该选项符合题意；
C. 根据∠1=∠2，得AC∥BD(内错角相等，两直线平行)，故该选项不符合题意；
D. ∠1=∠2，不一定能得到AB∥CD，故该选项不符合题意。故选B。
B
5. （山西太原小店区期中）如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段 PN，理由是 （ ）
A. 经过两点有且只有一条直线
B. 两点之间的所有连线中线段最短
C. 垂线段最短
D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已
知直线垂直
C
【解析】因为PN⊥QM，所以要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是垂线段最短。故选C。
6. 直线m外的一点P到直线m 上三点 A，B，C 的距离分别是 4 cm，3 cm，6 cm，则点P到直线m的距离为 （ ）
A. 3 cm B. 4 cm C. 6 cm D. 不大于3 cm
D
【解析】因为垂线段最短，所以点P到直线m的距离≤3cm。故选D。
7. 如图，点 O 是直线 AB 上一点，OE 平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=110°，添加一个条件，仍不能判定AB CD，添加的条件可能是 （ ）
A. ∠BOE=55° B. ∠DOF=35°
C. ∠BOE+∠AOF=90° D. ∠AOF=35°
C
【解析】因为OE平分∠BOD，∠BOE=55°，所以∠BOD=
2∠BOE=110°。因为∠D=110°，所以∠BOD=∠D，所以AB∥CD，故A不符合题意。
因为OF⊥OE，∠DOF=35°，所以∠DOE=∠EOF-∠DOF=90°-35°=55°。
因为OE平分∠BOD，所以∠BOD=2∠DOE=110°。因为∠D=110°，所以∠BOD=∠D，
所以AB∥CD，故B不符合题意。
因为∠BOE+∠AOF=90°，所以∠EOF=90°，但不能判断AB∥CD，故C符合题意。
因为OF⊥OE，∠AOF=35°，所以∠BOE=180°-∠EOF-∠AOF=180°-90°-35°=55°。
因为OE平分∠BOD，所以∠BOD=2∠BOE=110°。因为∠D=110°，所以∠BOD=∠D，
所以AB∥CD，故D不符合题意。故选C。
D
9. 如图，∠1=55°，∠2=35°，点O在直线a上，且OA⊥OB，则a与b的位置关系是________。
a b
【解析】因为OA⊥OB，所以∠AOB=90°。
因为∠2=35°，所以∠3=180°-90°-35°=55°，
因为∠1=55°，所以∠1=∠3，
所以a∥b。
二、填空题
10. 如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论中，一定正确的为________。（填序号）
①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD的长度；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段 CD 是点 C 到 AD 的距离；⑦AD>BD。
①④⑤
【解析】因为∠BAC=90°，所以AB⊥AC，所以①正确；因为∠DAC≠90°，所以AD与AC不互相垂直，所以②错误；因为AB⊥AC，所以点C到AB的垂线段是线段AC，点B到AC的距离是线段AB的长度，所以③错误，⑤正确；因为AD⊥BC，所以点A到BC的距离是线段AD的长度，点C到AD的距离是线段CD的长度，所以④正确，⑥错误；AD与BD的长度无法比较，所以⑦错误。所以结论正确的为①④⑤。
11. 如图，AB与CD交于点O，OE 平分∠COB，OF 平分∠AOE，若∠AOD=∠AOF+10°，则∠BOF=________。
110°
12. 如图，某工件要求 AB ED，质 检 员 小 李 量 得 ∠ABC=146° ，∠BCD=60° ，∠EDC=154°，则此工件________。（填“合格”或“不合格”）
【解析】如图，作∠BCF=∠ABC，并延长FC，
则可得AB∥CF。
因为∠ABC=146°，所以∠BCF=146°，
所以∠1=180°-∠BCF=34°。
因为∠BCD=60°，所以∠2=∠BCD-∠1=26°。
因为∠EDC=154°，所以∠2+∠EDC=180°，
所以CF∥ED，所以AB∥ED，所以此工件合格。
合格
F
G
1
2
13. （河南焦作温县期中）根据要求画图，并回答问题：如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点O。
（1）过点O作直线MN，使得MN⊥AB；
（2）点 F 为直线 MN 上任意一点（不与点 O 重合），
已知∠BOD=46°，求∠EOF的度数。
解：（1）如图，直线 MN 即为所求作。
（2）当点 F 在射线 OM 上时，如图所示。
因为 OE⊥CD，MN⊥AB，所以∠EOD=∠BOM=90°，
三、解答题
所以∠DOF+∠EOF=∠DOF+∠BOD，即∠EOF=∠BOD。
因为∠BOD=46°，所以∠EOF=46°。
当点F在射线ON上时，如图所示。
因为OE⊥CD，∠BOD=46°，
所以∠AOE=180°-∠EOD-∠BOD=44°。
因为MN⊥AB，所以∠AOF=90°。
所以∠EOF=∠AOE+∠AOF=134°。
综上所述，∠EOF的度数为46°或134°。
14. 如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连接OF。
（1）判断OC与OD是否垂直，并说明理由；
（2）若∠D与∠1互余，判断ED与AB是否平行，并说明理由。
15. 如图1，直线MN与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1与∠2互补。
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠AEF+∠EFC=180°，∠AEF与∠EFC的平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG于点G，试说明：PF GH；
（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 PH，K 是 GH上一点，使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，求∠HPQ的度数。
(共18张PPT)
1. 如图，直线a b，∠1=50°，则∠2的度数为 （ ）
A. 50° B. 120° C. 130° D. 140°
C
【解析】因为∠1与∠3是对顶角，∠1=50°，
所以∠3=∠1=50°。
因为a∥b，
所以∠2=180°-∠3=180°-50°=130°。故选C。
一、选择题
3
2. 将一个直角三角尺和一个直尺按如图所示的方式摆放（60°角的顶点在直尺的边上），若∠1=55°，则∠2= （ ）
A. 45° B. 50° C. 35° D. 30°
C
【解析】因为AB∥CD，∠1=55°，
所以∠3=∠1=55°。
因为∠4=90°，
所以∠2=180°-∠3-∠4=35°。故选C。
3
4
3. 如图，若∠A+∠ABC=180°，则下列结论正确的是 （ ）
A. ∠1=∠2
B. ∠2=∠3
C. ∠1=∠3
D. ∠2=∠4
【解析】因为∠A+∠ABC=180°，
所以AD∥BC，
所以∠2=∠3。
B
4. （山西晋中榆次区模拟）某城市湿地公园的湖中有两个小岛A，B，湖边有一观景台C（如图），其中观景台C在小岛A的南偏东30°方向，在小岛B的南偏西50°方向，则∠ACB的度数是 （ ）
A. 20° B. 50° C. 80° D. 90°
【解析】如图，作CD∥AE，则CD∥AE∥BF。
因为观景台C在小岛A的南偏东30°方向，在小岛B的南偏西50°方向，
所以∠CAE=30°，∠CBF=50°。
因为CD∥AE∥BF，
所以∠DCA=∠CAE=30°，∠DCB=∠CBF=50°，
所以∠ACB=∠DCA+∠DCB=80°。故选C。
C
D
E
F
C
D
A
C
B
3
6. （河南周口西华县阶段练习）如图，已知∠1=∠BDC，∠2+∠3=180°。若 DM 平分∠BDC，CE⊥ME于点E，∠1=78°，则∠5的度数为 （ ）
A. 41° B. 51° C. 61° D. 45°
B
【解析】因为CE⊥ME，所以∠MEC=90°。
因为∠1=∠BDC=78°，所以MB∥CD，所以∠2=∠4。
因为∠2+∠3=180°，所以∠3+∠4=180°，
所以MD∥CE，所以∠AMD=∠MEC=90°。
因为DM平分∠BDC，所以∠4=∠BDC=39°，
所以∠2=∠4=39°，所以∠5=90°-39°=51°。故选B。
D
8. （山西运城新绛县期中）如图，∠AOB的一边OA是平面镜，∠AOB=40°，点 C 是 OB 上一点，一束光线从点C射出，经过平面镜OA上的点D反射后沿射线DE射出。已知∠ODC=∠ADE，要使反射光线 DE OB，则∠CDE的度数是________°。
100
【解析】因为DE∥OB，∠AOB=40°，
所以∠ADE=∠AOB=40°。
又因为∠ODC=∠ADE，
所以∠ODC=40°，
所以∠CDE=180°-∠ODC-∠ADE=180°-40°-40°=100°。
二、填空题
9. （河南焦作温县期中）如图，AB CD，OM 平分∠COF，ON⊥OM，OE⊥CD，∠EFO=40°，给出下列结论：①∠DON=70°；②ON平分∠DOF；③∠MOE= ∠DON；④∠MOF= ∠NOE。 其中正确 的 是___________。（填序号）
①②③④
因为OE⊥CD，所以∠COE=∠DOE=90°，
所以∠MOE=∠COE-∠COM=90°-20°=70°，
所以∠MOE=∠DON，故③正确。
因为∠NOE=∠DOE-∠DON=90°-70°=20°，
所以∠MOF=∠NOE=20°，故④正确。
说法正确的是①②③④。
10. 如图，AB CD，∠FEN=2∠BEN，∠FGH=2∠CGH，则∠F与∠H的数量关系是_______________。
∠F=3∠H-180°
【解析】如图所示，分别过点F，H作CD的平行线FP，HQ。
设∠BEN=α，∠CGH=β，则∠FEN=2α，∠FGH=2β。
因为AB∥CD，所以AB∥CD∥HQ，所以∠AEH=∠QHE，∠CGH=∠QHG，
所以∠EHG=∠QHE+∠QHG=∠AEH+∠CGH=∠BEN+∠CGH=α+β。
因为AB∥CD，FP∥CD，所以AB∥CD∥FP，
所以∠PFG=∠CGF=3β，∠PFE=∠AEF=180°-3α，
所以∠EFG=∠PFG-∠PFE=3β-(180°-3α)=3β+3α-180°，
所以∠EFG=3∠EHG-180°，即∠F=3∠H-180°。
11. 【新趋势 过程性学习】请将下列解题过程补充完整（括号中填写推理的依据）：
如图，已知∠1=∠2，∠D=60°，求∠B的度数。
解：因为∠1=∠2（已知），
∠2=∠3（______________），
所以∠3=∠1（等量代换），
所以________ ________（________________________），
所以∠D+∠B=180°（______________________________）。
又因为∠D=60°（已知），
所以∠B=________。
对顶角相等
AB
CD
两直线平行，同旁内角互补
120°
同位角相等，两直线平行
三、解答题
12. 如图，AB CD，EF分别交AB，CD于点M，N，∠EMB=50°，MG平分∠BMF，MG交CD于G，求∠MGC的度数。
13. （山西运城平陆县期末）如图，AD BC，∠1=∠C，∠B=60°，DE平分∠ADC交BC于点E。
（1）求∠C的度数；
（2）试说明：AB DE。
解：（1）因为EF CD，∠E=45°，
所以∠CDE=∠E=45°，
所以∠CDF=∠CDE+∠EDF=45°+90°=135°。
（2）①当 BC DE 时，如图，延长 AC 交 MN 于
点 P，延长 BC交MN于点Q。
因为BC DE，所以∠PDE=∠PQB。
因为GH MN，∠EDF=∠ACB=90°，∠BAC=30°，
所以∠APD=∠BAC=30°，∠PQB=∠ABC=60°，
14. 【新趋势 探究性问题】综合与探究：
如图，一副三角尺，其中∠EDF=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=30°。
（1）若这副三角尺如图1所示摆放，EF CD，求∠CDF的度数；
（2）将一副三角尺如图 2 所示摆放，直线 GH MN，保持三角尺 ABC 不动，现将三角尺 DEF绕点D以每秒3°的速度顺时针旋转，设旋转时间为 t s，且 0≤t≤60，求当边 BC 与三角尺 DEF的一条直角边（边 DE，DF）平行时，所有满足条件的t的值。
所以∠PDE=60°，所以∠FDM=180°-∠EDF-∠PDE=30°。
由题意得∠FDM=（3t）°，所以3t=30，解得t=10。
②当BC DF时，如图，延长BC交MN于点T。
因为BC DF，所以∠FDN=∠BTN。
因为GH MN，∠EDF=∠ACB=90°，∠BAC=30°，
所以∠BTN=∠ABC=60°，所以∠FDN=60°，
所以∠FDM=180°-∠FDN=120°。
由题意得∠FDM=（3t）°，所以3t=120，解得t=40。
综上所述，所有满足条件的t的值为10或40。(共8张PPT)
1. 下列作图属于尺规作图的是 （ ）
A. 用量角器画出∠AOB的平分线OC
B. 借助直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠α
C. 画线段AB=3 cm
D. 用三角尺过点P作AB的垂线
础
基
练
知识点 尺规作角
B
2. （教材P55做一做改编）数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，作一个角等于已知角.如图，用尺规过∠AOB的边OB上一点C（图1）作∠DCB=∠AOB（图2）.我们可以通过以下步骤作图：
①作射线CD；
②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M；
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P.
下列排序正确的是 （ ）
A. ①②③④ B. ④③①②
C. ③②④① D. ②④③①
D
3. 【新情境 生产生活】如图,打台球时，小球由A点出发撞击到台球桌边CD的点O处，已知球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等，请用尺规作图的方法作出小球反弹后的运动方向. （要求：不写作法，但要保留作图痕迹）
解:如图，OE即为所求.
4. （安徽宿州泗县期中）如图所示，过点C作CN OA，其作图依据是 （ ）
A. 同位角相等，两直线平行
B. 内错角相等，两直线平行
C. 同旁内角相等，两直线平行
D. 同旁内角互补，两直线平行
升
提
练
【解析】根据图中直线CN，OA被OB所截形成的内错角相等，可得依据为内错角相等，两直线平行. 故选B.
B
B
【解析】如图，有两种可能：
∠AOB=∠AOC或
∠AOC=3∠AOB.
故选D.
5. （易错题）如图∠AOB，以OB为边作∠BOC，使∠BOC=2∠AOB，那么下列说法正确的是 （ ）
A. ∠AOC=3∠AOB
B. ∠AOC=∠AOB
C. ∠AOC>∠BOC
D. ∠AOB=∠AOC或∠AOC=3∠AOB
解：（1）如图，∠EBC及∠E′BC即为所求.
（2）EB与AD不一定平行. 理由如下：
①当所作的角在BC上方时，EB与AD平行.
因为∠EBC=∠A，所以EB AD.
②当所作的角在BC下方时，EB与AD不平行.
6. （广东茂名化州校级期中）如图，以点B为顶点，射线BC为一边，利用尺规作∠EBC，使得∠EBC=∠A.
（1）用尺规作出∠EBC；（不写作法，保留作图痕迹，要写结论）
（2）EB与AD一定平行吗？简要说明理由.
7. 如图，已知∠1和∠2，求作∠AOC=2∠1-∠2.
（不写作法，但需保留作图痕迹）
解：如图，作∠AOB=2∠1，∠BOC=∠2，
∠AOC即为所求.(共23张PPT)
1. （山西晋中介休市期中）计算x3·x4的结果是 （ ）
A. x7 B. x12 C. 2x7 D. 2x12
A
一、选择题
2. 下列计算结果为27的是 （ ）
A. 27×24 B.（23）2 C.（2×3）3 D. 211÷24
D
3. （河南驻马店新蔡县阶段练习）我们学习的“幂的运算”有四种：①同底数幂的乘法，②同底数幂的除法，③幂的乘方，④积的乘方。在“（a3b）2=（a3）2b2=a6b2”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的 （ ）
A. ①② B. ③④ C. ①③④ D. ①②③④
B
4. 下列运算正确的是 （ ）
A.（a2）3=a6 B. a8÷a2=a4
C. a2·a3=a6 D.（2ab）3=6a3b3
A
5.已知10x=m，10y=n，则102x+3y= （ ）
A. 2m+3n B. m2+n2 C. 6mn D. m2n3
D
6. （河南郑州金水区期末）河南封丘有1 500多年的中草药金银花种植历史。金银花别名二花、双花，为我国名贵中药材，花粉粒多呈黄色球形，直径约为 65 微米（μm）。已知 1 μm=1 ×10-6m，数据65μm用科学记数法表示为 （ ）
A. 65×10-6 m B. 6.5×10-5 m
C. 6.5×10-4 m D. 6.5×10-7 m
B
D
B
9. 计算：（-a）3·a2·（-a2）3=________。
a11
二、填空题
3101
11. 当x+2y-4=0，则4y×2x-2的值为________。
4
12. 电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1 GB=210 MB，1 MB=210 KB，1 KB=210 B。若某视频文件的大小约为 2 GB，则 2 GB=________B。
231
13. （河南周口商水县阶段练习）若 xa=3，xb=8，xc=72，则 xa-b+c的值为________，a,b,c 之间的数量关系为________。
27
2a+b=c
14. 新趋势 规律探究题 观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2 187。解答下面问题：32 017-27×32 021的末位数字是________。
8
15. 计算：
三、解答题
16. 一个长方形的长是4.2×104 cm,宽是2×104 cm，则此长方形的面积及周长分别是多少？
解：4.2×104×2×104=8.4×108（ cm2）。
2×（4.2×104+2×104）=12.4×104=1.24×105（ cm）。
因此，长方形的面积为 8.4×108 cm2，周长为1.24×105 cm。
17. 已知（9m+1）2=316，32n+1+9n=324，求m+n的值。
解：因为（9m+1）2=［（32）m+1］2=34m+4=316，
32n+1+9n=3×32n+32n=32n×（3+1）=324，32n=81=34，
所以4m+4=16，2n=4，解得m=3，n=2，
所以m+n=3+2=5。
18. 新趋势 过程性学习 以下是小明计算（b-a）3·（a-b）n-（a-b）n+1·（b-a）2
的过程。
（1）小明运算过程是否正确，如果不正确，请指出从哪一步开始出现错误；
（2）写出正确的过程。
解：（1）不正确，从第①步开始出现错误。
（2）正确的解答过程如下：
原式=［-（a-b）］3·（a-b）n-（a-b）n+1·（a-b）2
=-（a-b）3·（a-b）n-（a-b）n+1·（a-b）2
=-（a-b）n+3-（a-b）n+3
=-2（a-b）n+3。
19. 新趋势 阅读理解题 （湖南衡阳雁峰区期末）先阅读下列材料，再回答下面的问题。
（1）计算以下各对数的值：
log24=________，log216=________，log264=________。
（2）观察（1）中的三个数 4，16，64 之间满足怎样的关系？log24，log216，
log264 之间又满足怎样的关系？
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？并给出说明。
2
4
6
解：（2）4×16=64。log24+log216=2+4=6，log264=6，则log24+log216=log264。
（3）logaM+logaN=logaMN（a>0且a≠1，M，N>0）。
设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an。
因为MN=am·an=am+n，所以logaMN=logaam+n=m+n，
所以logaM+logaN=logaMN。(共19张PPT)
一、选择题
1. 新情境 传统文化“二十四节气”是中华民族农耕文明的智慧结晶，如图四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“小满”，其中是轴对称图形的是 （ ）
A
【解析】A选项是轴对称图形，B，C，D选项均不是轴对称图形。故选A。
【解析】因为△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
所以∠C=∠C′=38°，
在△ABC中，因为∠A=65°，
所以∠B=180°-∠A-∠C=180°-65°-38°=77°。故选A。
2. （河南信阳一模）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称。若∠A=65°，∠C′=38°，则∠B的度数为 （ ）
A. 77° B. 38° C. 74° D. 68°
A
3. 如图，∠B=30°，以Rt△ABC的顶点B为圆心，以直角边 BC 的长为半径作弧，与斜边 AB 交于点D，则∠ADC的度数为 （ ）
A. 95° B. 100° C. 105° D. 110°
C
4. （河南周口郸城县期末）如图，四边形ABCD关于直线l是对称的，有下面的结论：
①AB CD；②AC⊥BD；③AO=CO；④AB⊥BC。
其中正确的结论有 （ ）
A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②
D
【解析】因为四边形ABCD关于直线l对称，所以AC⊥BD，故②正确；只有AD=CD时，AB∥CD，AO=CO，故①③错误；仅由图形无法证明AB⊥BC，故④错误，所以正确的结论是②。故选D。
5. 如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，∠B=25°，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度数是（ ）
A. 72° B. 65° C. 50° D. 36°
【解析】因为AB=AC，AD是△ABC的中线，
所以AD⊥BC，所以∠ADB=90°。
因为∠B=25°，所以∠BAD=90°-25°=65°。故选B。
B
6. 如图，由5个“○”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是 （ ）
A. l1 B. l2 C. l3 D. l4
【解析】由图可知，该图形关于直线l3对称。故选C。
C
7. 已知等腰三角形ABC的周长为16，其中一边长为6，AD为底边BC上的高，则BD的长为 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4或6 D. 2或3
D
8. 已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上一点，若在射线OA上存在点E使△OPE是等腰三角形，则∠OEP的度数不可能是 （ ）
A. 120° B. 75° C. 60° D. 30°
C
9. （河南开封期末）2024 年 4 月 25 日，长征二号 F遥十八运载火箭搭载神舟十八号载人飞船在酒泉发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站。如图1是中国空间站上机械臂的一种工作状态，且两臂相等，抽象为数学问题如图2，AB，AC是两臂，且AB=AC，若两臂的夹角∠BAC=100°，连接BC，则∠B的度数为________°。
40
【解析】因为∠BAC=100°，
所以∠B+∠C=180°-∠BAC=80°。
因为AB=AC，
所以∠B=∠C=40°。
二、填空题
10. 在△ABC 中，AB=AC，∠ABC 的平分线与 AC 边所夹的锐角为60°，则∠A=__________。
20°或100°
11. 已知一个等腰三角形ABC，AB=AC，过点A作直线AD交BC边于点D。若△ABD和△ACD都是等腰三角形，则∠C的度数为______________。
【解析】如图，AD=BD=CD。因为AB=AC，BD=CD，所以AD⊥BC，
所以△ADC是等腰直角三角形，所以∠C=45°。
如图，AB=BD，AD=CD。因为AB=AC，所以∠B=∠C，
因为AB=BD，AD=CD，所以∠BAD=∠BDA，∠C=∠DAC，
所以∠CDA=180°-∠C-∠DAC=180°-2∠C，
所以∠BDA=180°-∠CDA=180°-(180°-2∠C)=2∠C，
所以∠BAD=∠BDA=2∠C。
因为∠B+∠BAC+∠C=180°，所以∠C+2∠C+∠C+∠C=180°，
所以∠C=36°。
如图，AD=BD，AC=CD，同理可得，∠C=36°。
综上所述，∠C=45°或36°。
45°或36°
12. 【新趋势 开放性问题】 如图，已知 AB=CB，要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是________________________。（只需写一个，不添加辅助线）
【解析】要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，则△ABD≌△CBD。依据三角形全等的判定条件（已知两边相等可用SSS、SAS）添加合适的条件即可。
AD=CD（答案不唯一）
13. 如图，在等边三角形ABC中，CD⊥AB于点D，点E是线段CD上一点，点F是AC边上一点，且满足BE=EF，点G是AF的中点，连接EG，则下列四个结论：①AD=BD；②∠BEF=150°；③∠AFE=∠CBE；④当∠ABE=15°时，EG=FG。其中正确的有________。（填序号）
①③④
因为∠ABE=15°，∠BAC=60°，
所以∠BAE=∠ABE=15°，
所以∠FAE=∠BAC-∠BAE=60°-15°=45°。
因为∠FAE=∠AFE，所以∠AFE=45°。
因为AE=EF，点G是AF的中点，
所以EG⊥AF，所以∠CGE=90°，
所以∠GEF=90°-∠AFE=45°，
可得EG=FG，故④正确。
正确的有①③④。
14. （河南安阳林州市阶段练习）下面每个图形都是由4个同样大的正方形组成的，请在每个图形上添加一个同样大的正方形，使其成为轴对称图形。
解：如图所示。
三、解答题
15. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的角平分线。以点 A 为圆心，以 AD 的长为半径作弧，与 AB，AC 分别交于点 E，F，连接 DE，DF。若∠BAC=80°，求∠BDE的度数。
16. 【问题背景】如图，在△ABC中，点D，E分别在 AC，BC 上，连接 BD，DE。已知∠ABC=2∠C，BD=CD。
【问题探究】（1）若∠A=∠DEC，试说明：AB=EC；
（2）若AB=BD，求∠A的度数。
17. （河南郑州中原区校级期中）小琳想要说明：等腰三角形两腰上的中线相等。请你将该结论的已知与试说明补充完整，并完成说明过程。
已知：如图，△ABC 中，AB=________，MC，NB分别为AB边与AC边上的中线。
试说明：________。(共22张PPT)
1. 化简x（x+3）= （ ）
A. 2x+3x B. x2+3 C. 2x+3 D. x2+3x
D
一、选择题
2. 下列式子中，不能用平方差公式运算的是 （ ）
A.（2-a）（-a-2） B.（3x+2y）（2y-3x）
C.（4m-2n）（4m+2n） D.（x-3）（3-x）
D
3. 下列计算正确的是 （ ）
A.（x+y）2=x2+y2
B.（x-y）2=x2-2xy-y2
C.（x+2y）（x-2y）=x2-2y2
D.（-x+y）2=x2-2xy+y2
D
A
5.小羽制作了如图所示的卡片A类，B类，C类各50张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，现要拼一个长为（5a+7b），宽为（7a+b）的大长方形，那么所准备的 C 类卡片的张数 （ ）
A. 够用，剩余4张
B. 够用，剩余5张
C. 不够用，还缺4张
D. 不够用，还缺5张
C
6. 代数式 ac（bc + 1）- c（3abc + b + a）+ 2abc2 的值 （ ）
A. 只与a，b有关 B. 只与a，c有关
C. 只与b，c有关 D. 与a，b，c都有关
C
7. 已知 x2-2x +1=0，则代数式 x（2-x）-3 的值为 （ ）
A. 0 B. -1 C. -2 D. -3
C
8. 若（x-100）2 +（x-102）2=6，则（x-101）2 的值为 （ ）
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
B
9. 计算：（x-2y+1）2=__________________________。
x2-4xy+4y2+2x-4y+1
二、填空题
10. 若（x-3）（x+m）=x2+2x-n，则m-n=________。
-10
11. 设A=（x-3）（x-6），B=（x-2）（x-7），则代数式A，B的大小关系为：A________B。（填“>”“<”或“=”）
>
12. 若 m2-n2=-8，m-n=-2，则代数式 m+n 的值是________。
4
13. 若（x-2）（x2-mx+1）的展开式中不含 x 的二次项，则化简后的一次项系数是________。
-3
14. （6分）已知a+b=5，ab=-6。计算：
（1）a2+b2； （2）（a-b）2。
解：因为a+b=5，ab=-6，
所以a2+b2=（a+b）2-2ab
=52-2×（-6）
=25+12
=37。
三、解答题
解：因为a+b=5，ab=-6，
所以（a-b）2=（a+b）2-4ab
=52-4×（-6）
=25+24
=49。
15. （9分）计算：
（1）（3x-2y）2-（3x+2y）2；
（2）（a-2b+1）（a+2b-1）-（a+2b）（a-2b）；
解：原式=9x2-12xy+4y2-（9x2+12xy+4y2）
=9x2-12xy+4y2-9x2-12xy-4y2=-24xy。
解：原式=［a-（2b-1）］［a+（2b-1）］-（a2-4b2）
=a2-（2b-1）2-a2+4b2=4b2-（4b2-4b+1）
=4b2-4b2+4b-1=4b-1。
解：原式=2 0252-（2 025+1）×（2 025-1）
=2 0252-（2 0252-1）
=2 0252-2 0252+1=1。
解：原式=2022+2×202×98+982
=（202+98）2=3002=90 000。
17. （10 分）如图，某中学校园内有一块长为（x+2y）m，宽为（2x+y）m的长方形地块，学校计划在中间留下一块“T”形的地块（阴影部分）用来修建一个文化广场。
（1）用含 x，y 的式子表示“T”形图形的面积并化简；
（2）当x=20，y=30时，求文化广场的面积。
解：（1）（2x+y）（x+2y）-2y2=2x2+4xy+xy+2y2-2y2=2x2+5xy。
（2）当 x=20，y=30 时，2x2 +5xy=2×202+5×20×30
=800+3 000=3 800（m2）。
因此，文化广场的面积为3 800 m2。
18. （10分）在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了 6，得到的结果是 2x2+8x-24；乙错把 a 看成了-a，得到的结果是2x2+14x+20，求a，b的值。
解：因为甲错把b看成了6，则（2x+a）（x+6）=2x2+（12+a）x+6a
=2x2+8x-24，可得a=-4。
因为乙错把a看成了-a，则（2x-a）（x+b）=（2x+4）（x+b）
=2x2+（2b+4）x+4b=2x2+14x+20，得b=5。
(共16张PPT)
一、选择题
1. 下列事件中是必然事件的是 （ ）
A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B. 随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数
C. 打开电视机，正在播放广告
D. 从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级
D
【解析】A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件；
B. 随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数，是随机事件；
C. 打开电视机，正在播放广告，是随机事件；
D. 从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件。故选D。
【解析】A. 概率很小的事情也可能发生，故A错误；
B. 投掷一枚质地均匀的硬币1 000次，正面朝上的次数不一定是500次，故B错误；
C. 13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件，故C正确；
D. 从1，2，3，4，5中任取一个数是奇数的可能性比较大，故D错误。故选C。
2. （河南郑州郑东新区期末）下列说法正确的是 （ ）
A. 概率很小的事情不可能发生
B. 投掷一枚质地均匀的硬币1 000次，正面朝上的次数一定是500次
C. 13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件
D. 从1，2，3，4，5中任取一个数是偶数的可能性比较大
C
【解析】根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%，他明天将参加一场比赛，小亮明天有可能进球。故选C。
3. 小亮是一名职业足球运动员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是 （ ）
A. 小亮明天的进球率为10%
B. 小亮明天每射球10次必进球1次
C. 小亮明天有可能进球
D. 小亮明天肯定进球
C
B
5. 在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别。其中红球若干，白球 5 个，袋中的球已搅匀。若从袋中随机取出1个球，取出红球的概率大，则红球的个数是 （ ）
A. 4个 B. 5个
C. 不足4个 D. 6个或6个以上
【解析】因为布袋中白球有5个，且从袋中随机取出1个球，取出红球的概率大，所以红球的个数比白球个数多，所以红球个数为6个或6个以上。故选D。
D
A
A
8. 在一个不透明的盒子中装有a个黑、白两种颜色的球，小明又放入了 5 个红球，这些球大小相同。若每次将球充分搅匀后，任意摸出 1 个球记下颜色再放回盒子。通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为 （ ）
A. 15 B. 20 C. 25 D. 30
【解析】根据题意，得20%×(5+a)=5，解得a=20。故选B。
B
9. 排队时，3 个人站成一横排，其中小亮“站在中间”的可能性________小亮“站在两边”的可能性。（填“大于”“小于”或“等于”）
小于
二、填空题
10. （河北中考）如图，某校运动会百米预赛用抽签方式确定赛道。若琪琪第一个抽签，她从1～8 号中随机抽取一签，则抽到 6号赛道的概率是________。
11. 【新定义 新概念问题】定义：反向排列后与原来一样的数叫作“回文数”。若从所有的三位数中随机抽取一个数，则恰好是“回文数”的概率是________。
12. （山西阳泉平定县期末）如图是扫雷游戏的一部分（说明：图中数字 2 表示在以该数字为中心的8个方格中有2个地雷）。小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A，B，C三个方格未被探明，其他地方为安全区（包括有数字的方格）。
（1）现在还剩下几个地雷？
（2）A，B，C三个方格中有地雷的概率分别是多大？
三、解答题
13. （易错题）投掷一枚普通的正方体骰子24次。
（1）你认为下列四种说法中哪几种是正确的？
①出现1点的概率等于出现3点的概率；
②投掷24次，2点一定会出现4次；
③投掷前默念几次“出现4点”，投掷结果出现4点的可能性就会加大；
④连续投掷6次，出现的点数之和不可能等于37。
（2）求出现5点的概率。
（3）出现6点大约有多少次？
不可能
1
15. 小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘平均分成9等份，分别标上1至9九个号码，随意转动一次转盘，若转到 2 的倍数，小亮去参加活动；若转到3的倍数，小芳去参加活动；转到6或者其他号码，则重新转动转盘。
（1）转盘转到2的倍数的概率是多少？
（2）你认为这个游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请重新设计
一个对双方都公平的游戏。(共15张PPT)
1. 骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，因变量是 （ ）
A. 体温 B. 时间 C. 沙漠 D. 骆驼
A
【解析】因为骆驼的体温随时间的变化而变化，所以自变量是时间，因变量是骆驼的体温.故选A.
一、选择题
2. （河南郑州高新区期末）长方形周长为30，设长为x，宽为y，则y与x的关系式为（ ）
A. y=15-x B. y=15-2x C. y=30-x D. y=30-2x
A
【解析】因为长方形的周长是30cm，所以长方形的一组邻边的和为15cm，所以y=15-x。故选A。
3. （山东青岛中考）地表以下岩层的温度y（℃）随着所处深度x（km）的变化而变化，在某个地点y与x之间的关系可以近似地用关系式y=35x+20来表示，也可用表格表示，其中表格的部分数据如下表所示，则其中的m，n分别是 （ ）
A. m=7，n=70 B. m=6，n=70 C. m=7，n=90 D. m=6，n=90
【解析】把x=2，y=n代入y=35x+20，得n=35×2+20=90；把x=m，y=230代入y=35x+20，得35m+20=230，解得m=6.故选D.
D
x/km 1 2 4 m 9 10
y/℃ 55 n 160 230 335 370
4. 【新趋势 五育文化】“1 000 米跑”是体育中考男生必考项目，体育老师一声令下，小明立即开始慢慢加速，途中一直保持匀速，最后400米时奋力冲刺跑完全程，下列最符合小明跑步时的速度 y（单位：m/min）与时间x（单位：min）之间的大致图象的是 （ ）
B
【解析】由小明立即开始慢慢加速，此时速度随时间的增大而增加；途中一直保持匀速，此时速度不变，图象与横轴平行；最后400m时奋力冲刺跑完全程，此时速度随时间的增大而增加，且图象比开始一段更陡。故选项B符合题意。故选B。
5. 如图反映了巫山春季某天一段时间的气温T（单位：℃）随时间变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ）
A. 该段时间内的最低气温为18 ℃
B. 从6：00至15：00，气温一直上升
C. 该段时间内15：00达到最高气温
D. 从6：00至20：00，气温一直下降
D
【解析】解析：观察图象可知从0：00到6：00，温度逐渐下降，最低温度是18℃，可得A正确，不符合题意；
从6：00到15：00，温度逐渐上升，15：00气温达到最高温度26℃，可得B，C正确，不符合题意；
从15：00到20：00，温度逐渐下降，可得D错误，符合题意。故选D。
6. 如图，图象描述了甲、乙两人越野登山比赛。（x表示甲从起点出发所行的时间，y 甲表示甲的路程，y 乙表示乙的路程）下列 4 个说法：①越野登山比赛的全程为 1 000 m；②甲比乙 晚 出 发40 min；③甲在途中休息了 10 min；④乙追上甲时，乙跑了750 m。其中正确的说法有 （ ）
A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
7. （河南平顶山丰县期末）小红种了一棵树苗，开始时树苗高为80 cm，栽种后树苗每个月平均长高约 3 cm，x 月后这棵树苗的高度为 h cm，则 h与x的关系式为____________。
h=3x+80
二、填空题
8. 一空水池现需注满水，水池深 4.9 m，现以不变的流量注水，数据如下表。可以推断注满水池所需的时间是________。
3.5h
【解析】由表格知，注水时间每增加0.5h，水的深度增加0.7m，4.9÷0.7×0.5=3.5(h)。所以注满水池所需的时间是3.5h。
9. （山西临汾洪洞县期末）如图所示的程序框图，当输入x为-1和7时，输出y的值相等，则b的值是________。
2
【解析】由题意知，当x=-1时，
y=3x+b=3×(-1)+b=-3+b；
当x=7时，y=6-x=6-7=-1。
由题意得，-3+b=-1，解得b=2。
10. 甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面 100 m 处 ，同时出发去距离甲 1 300 m的目的地，其中甲的速度比乙的速度快。设甲、乙之间的距离为 y m，乙行驶的时间为 x s，y与 x 之间的关系如图所示。则甲的速度为________m/s。
6
11. 【新情境 生产生活】夏天蚊虫肆虐，许多家庭会使用蚊香进行灭蚊。为了测试某品牌一盘蚊香的燃烧时间t （单位：h）与蚊香长度s（ 单位：cm）的关系，数学小组的同学通过试验得到下列一组数据：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）在这个变化过程中，哪个是自变量？哪个
是因变量？
（2）当蚊香的燃烧时间为3 h时，蚊香长度为多少？
解：（1）在这个变化过程中，蚊香燃烧的时间是自变量，蚊香长度是因变量。
（2）85-2×(105-100)=75(cm)。所以当蚊香的燃烧时间为3h时，蚊香长度为75cm。
三、解答题
12. （河南焦作中站区期中）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过12 t，按每吨 1.5 元收费。如果超过 12 t，未超过的部分仍按每吨1.5元收费，超过部分按每吨3元收费。设某户每月用水量为x t，应收水费为y元。
（1）分别写出当每月用水量未超过12 t和超过12 t时，y与x之间的关系式；
（2）若该城市某用户6月份和7月份共用水30 t，且6月份的用水量不足12 t，两个月一共缴水费60元，求该用户7月份用水多少吨？
解：（1）当0
当x>12时，y=12×1.5+（x-12）×3=3x-18。
（2）设6月份的用水量为m t，7月份用水为（30-m）t，
依题意可得1.5m+3（30-m）-18=60，
解得m=8，30-m=30-8=22，
所以该用户7月份用水22 t。
13. 小张和小王是同一单位在A，B两市的同事，已知A，B两市相距400 km，周六上午小王从B市出发，开车匀速前往A市的公司开会，1小时后小张从A市的公司出发，沿同一路线开车匀速前往B市，小张行驶了一段路程后，得知小王要到A市的公司开会，便立即加速返回公司（折返的时间忽略不计）. 已知小张返回时的速
度比去时的速度每小时快20 km. 两人距B市的距离y（km）与小张
行驶时间x（h）间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）小王的速度为______km/h，a的值为______；
（2）小张加速前的速度为______km/h，b的值为______；
（3）在小张从出发到回到A市的公司的过程中，当x为多少时，两人相距20 km？
解：（1）由图象可得，小王的速度为80÷1=80（km/h），a=400÷80-1=4.
（2）设小张加速前的速度为x km/h，
由题意得2.4x=（x+20）×（4.4-2.4），
解得x=100，b=400-2.4×100=160，
即小张加速前的速度为100 km/h，b的值是160.
80
4
100
160(共23张PPT)
1. （河南郑州经开区期末）若一个三角形的三边长分别为 3，5，a，则 a 的值可能是 （ ）
A. 2 B. 5 C. 8 D. 10
B
【解析】根据三角形的三边关系，得5-3一、选择题
2. 如图，在△ABC中，BC边上的高为 （ ）
A. BE B. CF C. BD D. AF
D
【解析】根据三角形高的定义，得BC边上的高为AF。故选D。
3. （山西晋中平遥县模拟）在实践活动中，李明和王刚进行角的探究，他们将一副三角尺按如图所示方式摆放，使有刻度的两边互相垂直，则∠1= （ ）
A. 45° B. 60° C. 50° D. 75°
【解析】在图中标上∠2，∠3，如图所示。
因为∠2=30°，∠3=180°-90°-45°=45°，
所以∠1=∠2+∠3=30°+45°=75°。故选D。
D
2
3
4. （河南郑州中牟县期末）如图，AD是△ABC的中线，DE 是△ADC 的中线，若 S△DCE=3，则 S△ABC是 （ ）
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
A
A
6. 若 a，b，c 分 别 是 △ ABC 三 边 的 长 ，化 简：| a+b-c| +| b-a-c| - |c-a-b | = （ ）
A. a+b-c B. a-b+c C. b-a+c D. 2a-b+c
【解析】因为a，b，c是△ABC三边的长，
所以a+b-c>0，b-a-c<0，c-a-b<0，
所以|a+b-c|+|b-a-c|-|c-a-b|
=a+b-c-(b-a-c)+(c-a-b)
=a+b-c-b+a+c+c-a-b
=a-b+c。故选B。
B
7. 如图，∠MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点 C。若已知∠BAO=45°，则∠C=（ ）
A. 45° B. 60° C. 75° D. 80°
A
8. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：①BF=AF；②∠AFG=∠AGF；③ ∠FAG=2 ∠ACF ；④ S△ABE=S△BCE ；⑤ BH=CH ；⑥AD·BC=AB·AC；⑦S△BHF=S△CHE。
其中结论正确的有 （ ）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
【解析】因为BE是△ABC的中线，
所以S△ABE=S△BCE，故④正确，符合题意。
因为CF是角平分线，所以∠ACF=∠BCF。
因为AD⊥BC，所以∠BCF+∠CGD=90°。
因为∠BAC=90°，所以∠ACF+∠AFG=90°，所以∠CGD=∠AFG。
因为∠CGD=∠AGF，所以∠AGF=∠AFG，故②正确，符合题意。
因为AD⊥BC，∠BAC=90°，所以∠FAG=∠ACB=2∠ACF，故③正确，符合题意。
由已知条件不能确定∠HBC=∠HCB，
所以BH与CH的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意。
因为F不一定是AB的中点，无法说明BF=AF，故①错误，不符合题意。
B
9. 已知，在△ABC 中，∠A=3∠B=6∠C，这个三角形按角来分是________三角形。
钝角
二、填空题
10. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=6，AD=4，BC=2，CD=10，则对角线 BD 的长度可能是____________________。（写出一个即可）
9（答案不唯一）
【解析】在△ABD中，
根据三角形的三边关系，得AB-AD6-4在△BCD中，根据三角形的三边关系，
得CD-BC所以811. （河南信阳浉河区阶段练习）如图，AD是△ABC的中线，点E，F在AD上，且AE=EF=DF，连接BE，CF，若S△ABC=18，则阴影部分的面积为________。
6
12. 【新趋势 规律探究题】 如图，在△ABC中，A1，A2，A3，…，An为边AC上不同的n个点，从B点首先连接BA1，图中有3个不同的三角形；再连接BA2，图中有6个不同的三角形……如此继续下去，连接 BAn 后，共有_____________个不同的三角形。
13. 图1、图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC，要求：
（1）在图1中画一个直角三角形，在图2中画一个锐角三角形，在图3中画一个钝角三角形；
（2）点C在格点上。
三、解答题
解：如图，△ABC即为符合条件的三角形(答案不唯一)。
14. 已知一个三角形的两条边长分别为4 cm，8 cm，设第三条边长为x cm。
（1）求x的取值范围；
（2）若此三角形为等腰三角形，求该等腰三角形的周长。
解：（1）根据三角形三边关系，得8-4即4（2）因为三角形是等腰三角形，且4所以第三边只能是8 cm，
所以周长为4+8+8=20（cm）。
15. 如图，在△ABC中，点D在边BC上。
（1）若∠1=∠2=35°，∠3=∠4，求∠DAC的度数；
（2）若 AD 为△ABC 的中线，△ABD 的周长比△ACD的周长大3，AB=9，求AC的长。
解：（1）因为∠1=∠2=35°，所以∠ADB=180°-∠1-∠2=110°，
所以∠3=180°-∠ADB=70°，所以∠4=∠3=70°，
所以∠DAC=180°-∠3-∠4=40°。
（2）因为AD为△ABC的中线，所以BD=CD。
因为△ABD的周长比△ACD的周长大3，
所以AB+AD+BD-（AC+AD+CD）=3，
所以AB+AD+BD-AC-AD-CD=3，所以AB-AC=3。
因为AB=9，所以AC=6。
16. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，∠B=70°，∠C=30°。
（1）求∠DAE的度数；
（2）探究：如果条件∠B=70°，∠C=30°改成∠B-∠C=40°，能不能求出∠DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由。
17. 【新定义 新概念问题】 定义：在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形称为“和谐三角形”。例如，△ABC中，∠A=100°，∠B=50°，则∠A和∠B互为“和谐角”，△ABC为“和谐三角形”。
（1）△ABC 中 ，∠A=105° ，∠B=50° ，则 △ABC________（选填“是”或“不是”）和谐三角形；
（2）若△ABC为和谐三角形，∠A>∠B>∠C，∠C=30°，求∠A的度数；
（3）△ABC 中，∠B=30°，高线 AD 交直线 BC 于点 D，若△ABD 和△ACD 均为和谐三角形，请直接写出∠BAC的度数：__________________________________。
解：（1）因为△ABC中，∠A=105°，∠B=50°，
所以∠C=180°-105°-50°=25°，
所以∠B=2∠C，所以△ABC是和谐三角形。
15°或30°或90°或105°或120°
是
（2）分三种情况讨论：
①设∠A和∠B互为“和谐角”，因为∠A>∠B>∠C，所以∠A=2∠B。
因为∠C=30°，∠A+∠B+∠C=180°，所以2∠B+∠B+30°=180°，解得∠B=50°，
所以∠A=100°；
②设∠A和∠C互为“和谐角”，因为∠A>∠B>∠C，∠C=30°，所以∠A=2∠C=60°，
所以∠B=180°-60°-30°=90°，所以∠B>∠A，不符合条件∠A>∠B>∠C，舍去；
③设∠B和∠C互为“和谐角”，因为∠A>∠B>∠C，∠C=30°，所以∠B=2∠C=60°，
所以∠A=180°-60°-30°=90°。
综上所述，∠A的度数为100°或90°。
（3）当AD在三角形内部时，如图，
此时∠B=30°，∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=90°- ∠B=60°=2∠B，
所以△ABD为和谐三角形，
因为△ACD为和谐三角形，
所以∠ADC=2∠C或∠ADC=2∠DAC或∠DAC=2∠C或∠C=2∠DAC。
(共18张PPT)
1. 如图，△AOC≌△DOB，C，B是对应点，下列结论错误的是 （ ）
A. ∠C和∠B是对应角
B. ∠AOC和∠DOB是对应角
C. OA与OB是对应边
D. AC和DB是对应边
C
【解析】因为△AOC≌△DOB，所以∠C和∠B是对应角，∠AOC和∠DOB是对应角，AC和BD是对应边，OA和OD是对应边，故A，B，D不符合题意；C符合题意。故选C。
一、选择题
2. （河南郑州新郑市期末）下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是 （ ）
A. ∠A=∠B=∠C=60° B. AB=1 cm，AC=4 cm，BC=5 cm
C. AB=5 cm，AC=6 cm，∠C=30° D. BC=3 cm，AC=5 cm，∠C=60°
D
【解析】A，C选项所给条件均不满足三角形全等的判定条件，B选项所给的三条边不符合三角形三边关系，D选项所给条件满足SAS，可利用SAS作出三角形。故选D。
3. 3 如图，点B在线段AD上，△ABC≌△EBD，AB=2，BD=5，则求三角形CED的面积为 （ ）
A. 7.5 B. 8 C. 8.5 D. 9
A
4. 新情境 生产生活 如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM=EM，则弹簧 M 在向上滑动的过程中，总有（ ）
A. AD=DM B. AE=AM C. AM平分∠BAC D. MD⊥AB
C
5. 如图，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点 B 作 BC⊥BA 交 AN 于点 C，且 BC=AB。动点 E 从点 A 出发，沿射线 AN 运动，作 BD⊥BE，交直线AM于点D。关于BD和BE的关系，下列说法正确的是 （ ）
A. 点E只有在线段AC上运动时，BD和BE才相等
B. 点E只有在线段AC的延长线上时，BD和BE才相等
C. 点E在运动过程中，BD和BE一直相等
D. 无法判断
C
【解析】①如图，点E在线段AC上运动时，
因为BD⊥BE，BC⊥BA，AM⊥AN，
所以∠MAN=∠DBE=∠ABC=90°，
即∠DBA+∠ABE=∠ABE+∠EBC，
所以∠DBA=∠EBC。
因为AB平分∠MAN，所以∠DAB=∠EAB=45°，
所以∠ACB=45°，所以∠DAB=∠ECB。
在△DAB和△ECB中，
因为∠DAB=∠ECB，AB=CB，∠DBA=∠EBC，
所以△DAB≌△ECB，所以BD=BE。
②点E在线段AC的延长线上时，
同理可得，∠DBA=∠EBC，∠DAB=∠ECB=135°，
又因为AB=CB，所以△DAB≌△ECB，
所以BD=BE。
综上可知，点E在运动过程中，BD和BE一直相等。故选C。
D
7. 若△ABC≌△DEF，∠ABC=20°，∠ACB=30°，则∠EDF=________。
130°
【解析】因为∠ABC=20°，∠ACB=30°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
所以∠BAC=130°。
因为△ABC≌△DEF，
所以∠EDF=∠BAC=130°。
二、填空题
8. 新趋势 开放性问题 如 图 ，∠1=∠2，AD=AB，要 使△ADE≌△ABC，则可添加的一个条件是____________________（写出一个即可）。
【解析】因为∠1=∠2，
所以∠1+∠BAE=∠BAE+∠2，
即∠DAE=∠BAC，
因为AD=AB，
所以当添加AE=AC时，△ADE≌△ABC（SAS），
当添加∠E=∠C时，△ADE≌△ABC（AAS），
当添加∠D=∠B时，△ADE≌△ABC（ASA）。
AE=AC（答案不唯一）
9. （河南郑州经开区期末）小明与爸妈在公园里荡秋千。如图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA
与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1 m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他。若妈妈与爸爸到 OA 的水平距离BD，CE分别为1.5 m和2.0 m，∠BOC=90°。爸爸在 C 处接住小明时，小明距离地面的高度是________。
1.5m
【解析】由题意可知：EC⊥OA，BD⊥OA，OB=OC，
所以∠CEO=∠BDO=90°。
又因为∠BOC=90°，所以∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°。
所以∠COE=∠OBD。在△COE和△OBD中，因为∠COE=∠OBD，
∠CEO=∠ODB，OC=OB，所以△COE≌△OBD，所以CE=OD，OE=BD。
因为水平距离BD，CE分别为1.5 m和2.0 m，所以DE=OD-OE=CE-BD=2.0-1.5=0.5(m)，
因为AD=1 m，所以AE=AD+DE=1.5 m。
10. 如图，AB CD，AE平分∠BAD，AE⊥ED，下列结论：
①DE平分∠ADC；②AD=AB+DC；③AE=CE；④S△AED=S△ABE+S△DEC。
其中正确的是________。
①②④
【解析】①因为AB∥CD，所以∠BAD+∠ADC=180°。
因为AE平分∠BAD，所以∠BAD=2∠EAD。
因为AE⊥ED，所以∠EAD+∠ADE=90°，
所以2∠EAD+2∠ADE=180°，所以∠ADE=∠ADC，
所以DE平分∠ADC，故①正确。
②在AD上截取AF=AB，连接EF，
因为AE平分∠BAD，所以∠BAE=∠FAE。
在△ABE和△AFE中，因为AB=AF，∠BAE=∠FAE，AE=AE，
所以△ABE≌△AFE，所以∠AFE=∠B。
因为AB∥CD，所以∠B+∠C=180°，所以∠AFE+∠C=180°。
因为∠AFE+∠DFE=180°，所以∠DFE=∠C。
在△DEF和△DEC中，因为∠FDE=∠CDE，∠DFE=∠C，DE=DE，
所以△DEF≌△DEC，所以DF=DC。因为AD=AF+DF，所以AD=AB+DC，故②正确。
③因为△ABE≌△AFE，△DEF≌△DEC，所以BE=EF，EF=EC，若AE=CE，
则BE=AE=EF=CE，不恒成立，故③错误。
④因为△ABE≌△AFE，△DEF≌△DEC，所以S△ABE=S△AFE，S△DEF=S△DEC，
所以S△ABE+S△DEC=S△AFE+S△DEF=S△AED，故④正确。
综上所述，正确的结论是①②④。
11. 如图，已知点A，F，C，D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，AB DE，连接BC，BF，CE。试说明：△ABC≌△DEF。
解：因为 AF=CD，
所以 AF+FC=CD+CF，所以AC=DF。
因为AB DE，所以∠A=∠D。
在△ABC和△DEF中，因为AC=DF，∠A=∠D，AB=DE，
所以△ABC≌△DEF。
三、解答题
12. 如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE。试判断 BD 和 CE 的数量关系和位置关系，并说明理由。
解：BD=CE，BD⊥CE。理由：
如图，设AB，BD与CE分别交于点O，Q。
因为AB⊥AC，AD⊥AE，所以∠BAC=∠DAE=90°，
所以∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，即∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中，因为AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
所以△ABD≌△ACE，所以∠ABD=∠ACE，BD=CE。
因为∠ACO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOQ，所以∠OBQ+∠BOQ=90°，
所以∠BQO=90°，所以BD⊥CE。
13. 如图所示，点M是线段AB上一点，ED是过点M的一条直线，连接AE，BD，过点B作BF AE交ED于F，且M为AB中点。
（1）若AE=5，求BF的长；
（2）若∠AEC=90°，∠DBF=∠CAE，试说明：CD=FE。
解：（1）因为BF∥AE，所以∠EAM=∠FBM，∠E=∠BFM，
因为M为AB中点，所以AM=BM。在△AEM和△BFM中，
因为∠E=∠BFM，∠EAM=∠FBM，AM=BM，所以△AEM≌△BFM，所以AE=BF=5。
（2）因为BF∥AE，所以∠AEC=∠BFM=90°，所以∠BFD=180°-90°=90°，
所以∠AEC=∠BFD。由（1）知，AE=BF。在△ACE和△BDF中，
∠CAE=∠DBF，AE=BF，∠AEC=∠BFD，所以△ACE≌△BDF，
所以CE=DF，所以DF-CF=CE-CF，即CD=FE。
14. 【新趋势 综合与实践】【操作探索】
在生活中，我们常用实物体验图形变换的过程。小颖同学利用一块风筝纸片完成了如下的操作：
如图1，已知四边形ABDC，AB=AC，BD=CD。
（1）操作一：沿 AD 所在的直线对折，如图 1。你认为左右两侧对折后能完全重合吗？并说明理由。
（2）操作二：对折后，将风筝纸片剪成两个三角形（△ABD 和△ACD′），摆成如图 2 所示的图形，BD与AD′相交于点E，AD与CD′相交于点F。试说明：BE=CF。
【应用拓展】
（3）如图 3，在△ABC 中，AB=AC，AB>BC，点 D在边 BC 上，BD=3CD，点 E，F 在线段 AD 上，∠AEB=∠AFC=130°，∠BAC=50°，若△ABC的面积为24，求△ABE与△CDF的面积之和。
解：（1）能完全重合。理由如下：
在△ABD与△ACD中，因为AB=AC，BD=CD，AD=AD，
所以△ABD≌△ACD，所以对折后能完全重合。
（2）同理得出△ABD≌△ACD′，所以∠B=∠C，∠BAD=∠CAD′，
所以∠BAD-∠D′AD=∠CAD′-∠D′AD，即∠BAE=∠CAF。
在△ABE和△ACF中，因为∠B=∠C，AB=AC，∠BAE=∠CAF，所以△ABE≌△ACF，
所以BE=CF。
（3）因为∠AEB=130°，所以∠EAB+∠ABE=180°-∠AEB=50°。
因为∠BAC=∠EAB+∠CAF=50°，所以∠ABE=∠CAF。
在△ABE和△CAF中，因为∠AEB=∠CFA，∠ABE=∠CAF，AB=CA，所以△ABE≌△CAF，所以S△ABE=S△CAF，所以S△ABE+S△CDF=S△CAF+S△CDF=S△CAD
因为BD=3CD，所以CD∶BC=1∶4，所以S△CAD∶S△ABC=1∶4。
因为S△ABC=24，所以S△CAD=6，即S△ABE+S△CDF=6。