2025新苏科版八年级数学上册第三章勾股定理单元基础巩固测试卷（含解析）

2025新苏科版八年级数学上册第三章勾股定理单元基础巩固测试卷
（考试时间：100分钟 试卷满分：100分）
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）．
A．1，，2 B．3，4，5.5
C．5，12，13 D．1，，3
2．已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边的长度为（　　）
A． B． C． D．或
3．如图，一旗杆在离地面处折断，旗杆顶部距底部，求旗杆原有多长（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，在 中，，分别以 为边向外作正方形，若其中两个正方形的面积分别为 ，则 的长为（ ）
A．625 B．175 C．600 D．25
5．如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（ ）
A． B．3 C． D．
6．如图1为圆柱形笔筒，图2为其模型，已知模型底面半径为，高为（壁厚不计），在笔不漏出笔筒的前提下，能放入的铅笔最长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．则线段的长为（ ）
A．1 B． C． D．3
8．如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）
A． B． C．3 D．2
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9．中，，，则 ．
10．若直角三角形两条边长分别为和，则它第三边长为 ．
11．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D均在格点（网格线的交点）上，以点A为圆心，的长为半径作弧，交线段于点C，则的长为 ．
12．如图，在3×3的网格上标出了和，则 ．
13．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一名学生正对门，缓慢走到离门米的C处时，感应门自动打开．已知感应器离地面的高度为米，这名学生身高为米，则人头顶离感应器的距离等于 米．
14．如图，图①中的直角三角形斜边长为5，将四个图①中的直角三角形分别拼成如图②所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为 ．
15．如图，在中，，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则 ．
16．如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点处，不计线头，细线的最短长度为 ．
三、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.如图，在中，．
(1)求的长；
(2)求边上高线的长．
18．如图，每个小正方形的边长为1，四边形是一个凹四边形．
(1)求凹四边形的周长；
(2)连接，是直角吗？ 求出凹四边形的面积．
19．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
20．《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10尺，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇的长度．
21．如图，在中，，．
(1)在线段上找一点D，使得点D到边的距离等于的长（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，求的长．
22．如图，已知，点分别为的中点，，．求的长．
23．如图，已知线段的长度为1，以为直角边作等腰直角，，以为直角边作等腰直角，；以为直角边作等腰直角，；以为直角边作等腰直角，；以为直角边作等腰直角，；……，照此方法一直作图下去．
【填空】______；______；______；______；______；______；
【猜想】______；（用含的式子表示）
【应用】（1）______；（化简）
（2）求的值．
24．在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动．
(1)特例感知
如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点．
①求的度数．
②求证：为等边三角形．
(2)性质梳理
如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积．
(3)深度探究
如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：．
25．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
(1)【问题发现】如图1，D是等边的边上的一动点，其中等边的边长为10，以为边在上方作等边，小明认为有最小值，那么的最小值是__________．
(2)【问题探究】如图2，若和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段之间的数量关系并说明理由．
(3)【问题解决】如图3，在四边形中，，求四边形面积的最大值．
答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）．
A．1，，2 B．3，4，5.5
C．5，12，13 D．1，，3
【答案】C
【分析】本题考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义．勾股数指满足勾股定理的三个正整数，即，其中 a、b为直角边，c为斜边．
根据勾股数的定义分别对各组数据进行分析即可．
【详解】解：A、B、D选项中存在不是整数的数，都不符合题意，
C选项中都是整数且， 所以是勾股数；
故选C．
2．已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边的长度为（　　）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．
根据勾股定理即可求直角三角形的斜边长度．
【详解】解：直角三角形的两直角边长分别为和，
此直角三角形的斜边的长度为．
故选：A．
3．如图，一旗杆在离地面处折断，旗杆顶部距底部，求旗杆原有多长（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据实际情况找出直角三角形是解题关键．
利用勾股定理求得的长，从而求得旗杆折断前的高度．
【详解】解：如图，根据题意，得：在中，，，，
在中，，
，
．
旗杆原有长．
故选：D．
4．如图，在 中，，分别以 为边向外作正方形，若其中两个正方形的面积分别为 ，则 的长为（ ）
A．625 B．175 C．600 D．25
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键．
根据勾股定理的计算得到，由此即可求解．
【详解】解：根据图示得到，，
∴（负值舍去），
故选：D ．
5．如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
利用勾股定理即可直接得出答案．
【详解】解：根据题意可得该阴影正方形的边长为：，
故选：A．
6．如图1为圆柱形笔筒，图2为其模型，已知模型底面半径为，高为（壁厚不计），在笔不漏出笔筒的前提下，能放入的铅笔最长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将圆柱侧面展开，利用勾股定理，把圆柱的高和底面直径作为直角边，求出斜边长度，即能放入铅笔的最长长度．
本题主要考查圆柱的性质与勾股定理的应用，熟练掌握圆柱底面直径与高和最长线段构成直角三角形，运用勾股定理计算是解题的关键．
【详解】解：圆柱底面半径为，
∴底面直径为 ，圆柱高 ．
能放入的最长铅笔长度为底面直径与高构成直角三角形的斜边，
根据勾股定理（， ），可得 ，
故选：C．
7．如图，中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．则线段的长为（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查了尺规作图—作垂线、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握垂直平分线的作法和性质是解题关键．首先根据勾股定理解得的值，由作图可知，垂直平分，易得；设，则，在中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
由作图可知，垂直平分，
∴，
设，则，
在中，可有，
∴，解得，
∴．
故选：C．
8．如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）

A． B． C．3 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理和翻折的性质即可求解．
【详解】解：点是边的中点，
，
由翻折的性质得，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
故选：A．
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9．中，，，则 ．
【答案】4或
【分析】本题考查了勾股定理，熟知任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
由于直角三角形的斜边不能确定，故分是斜边与直角边两种情况进行解答．
【详解】解：当是直角边时，，
当是斜边时，，
故答案为：4或．
10．若直角三角形两条边长分别为和，则它第三边长为 ．
【答案】3或
【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解题意，掌握勾股定理的计算是关键．
根据勾股定理分类讨论计算即可．
【详解】解：当斜边是5，一直角边为4，则第三边长为；
当两直角边分别为4，5时，第三边，即斜边长为；
故答案为：或 ．
11．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D均在格点（网格线的交点）上，以点A为圆心，的长为半径作弧，交线段于点C，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理与网格，理解网格特点，掌握勾股定理求线段长度的计算是解题的关键．
【详解】解：根据题意，，
∵以点A为圆心，的长为半径作弧，交线段于点C，
∴，
∴，
故答案为： ．
12．如图，在3×3的网格上标出了和，则 ．
【答案】/45度
【分析】通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质将、转化为、，再通过计算三角形边长，判断三角形形状，进而求出的度数 ．本题主要考查了平行线的性质、勾股定理及其逆定理，熟练掌握平行线性质实现角的转化，运用勾股定理及其逆定理判断三角形形状是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
设每个小正方形的边长为a，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，即 ．
故答案为：．
13．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一名学生正对门，缓慢走到离门米的C处时，感应门自动打开．已知感应器离地面的高度为米，这名学生身高为米，则人头顶离感应器的距离等于 米．
【答案】
【详解】解：如图，过点D作于点E，
∵米，米，米，
∴（米），
在中，由勾股定理得：（米）．
故答案为：米．
14．如图，图①中的直角三角形斜边长为5，将四个图①中的直角三角形分别拼成如图②所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为 ．
【答案】25
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．根据题意设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，根据勾股定理可得，根据图形面积可得，即可求得答案．
【详解】解：设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，
∴
故答案为：25．
15．如图，在中，，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则 ．
【答案】
【分析】本题主要查了勾股定理．根据勾股定理可得，再由，即可求解．
【详解】解：在中，，，
∴，
∴．
故答案为：
16．如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点处，不计线头，细线的最短长度为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查勾股定理、两点之间线段最短、几何体的展开图等知识点，掌握勾股定理“”是解题的关键．把长方体沿边剪开，利用两点之间线段最短，再根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，把长方体沿边剪开，连接，
根据题意：，，
在中，由勾股定理得：.
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在中，．
(1)求的长；
(2)求边上高线的长．
【答案】(1)3
(2)
【分析】本题考查了勾股定理，等面积法求高，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
（1）根据勾股定理求解，即可解题；
（2）由三角形面积公式建立等式求解，即可解题．
【详解】（1）解：在中，
（2）解：由面积得，，
即：，
解得，．
18．如图，每个小正方形的边长为1，四边形是一个凹四边形．
(1)求凹四边形的周长；
(2)连接，是直角吗？ 求出凹四边形的面积．
【答案】(1)
(2)是直角，凹四边形的面积为
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，求多边形的周长，求四边形的面积，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解．
（1）先求出凹四边形的各条边长，即可求出长凹四边形的周长；
（2）先求出，，，再利用勾股定理的逆定理验证，再根据凹四边形的面积等于丙个三角形的面积差求解．
【详解】（1）解：，
，
，，
凹四边形的周长为
；
（2）解：∵，，，
∴，
∴是直角，
∴凹四边形的面积等于
．
19．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，连接，由勾股定理可得，再证明得到，再由，列式计算即可．
【详解】解：如图所示，连接，
，
为直角三角形，
，，
∴根据勾股定理得：，
又，，
，，
．
为直角三角形，
，
∴．
20．《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10尺，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇的长度．
【答案】芦苇的长度为13尺
【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理得： ，
解得：，
芦苇的长度（尺），
答：芦苇的长度为13尺．
21．如图，在中，，．
(1)在线段上找一点D，使得点D到边的距离等于的长（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查作图——复杂作图，勾股定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用面积法求线段的长．
（1）作的角平分线交于点D，点D即为所求作．
（2）作于E，根据角平分线的性质定理可得，然后利用面积法求解即可．
【详解】（1）解：如图，点D即为所求；
（2）解：如图，过点D作于点E，
∵， ，
∴，
由作法得：平分，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：．
22．如图，已知，点分别为的中点，，．求的长．
【答案】5
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，连接，由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，进而由等腰三角形的性质可得，，再利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，点是的中点，，
，
同理可得，
，
∵点是中点，
，，
．
23．如图，已知线段的长度为1，以为直角边作等腰直角，，以为直角边作等腰直角，；以为直角边作等腰直角，；以为直角边作等腰直角，；以为直角边作等腰直角，；……，照此方法一直作图下去．
【填空】______；______；______；______；______；______；
【猜想】______；（用含的式子表示）
【应用】（1）______；（化简）
（2）求的值．
【答案】[填空]；[猜想]；[应用]（1）；（2）
【分析】本题考查了勾股定理，列代数式，图形的规律型探究，等腰直角三角形，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解题的关键；
[填空] 根据等腰直角三角形中，斜边为直角边的倍，依次求值即可；
[猜想] 观察填空中的数值，发现规律，写出代数式，即可求解；
[应用]（1）借助猜想中的公式化简即可;
（2）借助公式求前项的和．
【详解】[填空] ；，
根据等腰直角三角形中，斜边为直角边的倍，同理可得，
，
故答案为：．
[猜想]由以上规律可得：
[应用] （1）
故答案为：．
（2）
24．在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动．
(1)特例感知
如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点．
①求的度数．
②求证：为等边三角形．
(2)性质梳理
如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积．
(3)深度探究
如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：．
【答案】(1)①；②见解析；
(2)；
(3)见解析．
【分析】（1）①根据等边三角形的性质即可解答；
②根据等边三角形的判定即可得证；
（2）根据等腰三角形的性质、折叠的性质及角的等量代换，得到，设，则，利用勾股定理列方程求解即可；
（3）先证明，得到，同理可得，即可解答．
【详解】（1）解：①等边三角形，点为的中点，
，
，
；
，
②证明：，
同理①得，
为等边三角形；
（2），
，
折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，解得，
，，
．
（3）如图，作，，，分别交于，，．
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，同理可得：，
．
【点睛】本题考查了几何变换的综合应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质是解题的关键．
25．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
(1)【问题发现】如图1，D是等边的边上的一动点，其中等边的边长为10，以为边在上方作等边，小明认为有最小值，那么的最小值是__________．
(2)【问题探究】如图2，若和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段之间的数量关系并说明理由．
(3)【问题解决】如图3，在四边形中，，求四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)，，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据垂线段最短可得当时，有最小值，再利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可；
（2）先证明，再利用证明即可得到，，根据等边三角形的性质和平角的定义得到，根据等腰直角三角形的性质得到，进由此可得；再证明，即可得到．
（3）如图：将绕点A顺时针旋转，得到对应的，连接，证明是等边三角形，得到，则当C，B，E三点共线时，最大，即的最大值是9，如图：过A作于H，则、，再根据四边形面积的面积进行求解即可．
【详解】（1）解：∵D是等边的边上的一动点，
∴当时，有最小值，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
（2）解：，理由如下：
∵和均为等腰直角三角形，
∴，，
∴，即，
在和中，
，
，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
（3）解：如图：将绕点A顺时针旋转，得到对应的，连接，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴当C，B，E三点共线时，最大，
∴的最大值是9，
如图：过A作于H，
∴，
∴，
∴四边形面积的面积．
∴四边形面积的最大值为．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．