2025新苏科版八年级数学上册第四章平面直角坐标系单元基础巩固测试卷（含解析）

2025新苏科版八年级数学上册第四章平面直角坐标系单元基础巩固测试卷
（考试时间：100分钟 试卷满分：100分）
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．如图，这是某动物园大门口展示的动物园平面示意图，若以大门所在的位置为原点建立平面直角坐标系，则其他4个景点大致用坐标表示错误的是（ ）
A．熊猫馆 B．驼峰 C．猴山 D．百鸟园
4．如图是象棋棋盘一部分示意图，建立平面直角坐标系，使“将”位于点，“相”位于点，若“相”走一步（“相”只能沿着棋盘走“田”字格），那么“相”的新位置位于点（ ）
A． B．或 C． D．或
5．在平面直角坐标系中，点的坐标是，作点关于轴的对称点，得到点，再将点向下平移4个单位，得到点，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
6．已知在第二象限内的点的坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．如图，将一个含角的直角三角板的斜边放在x轴上，O为坐标原点，观察尺规作图的痕迹，若点A的坐标为，则点C的横坐标为（ ）
A． B． C．1 D．
8．如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9．点到y轴的距离为 ．
10．写一个横纵坐标均为整数，并位于y轴正半轴的点坐标 ．
11．在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则的值是 ．
12．将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到点，则点的坐标为 ．
13．在平面直角坐标系中，已知点，长度为3的线段与x轴平行，则点Q的坐标是 ．
14．已知线段，轴，若点M坐标为，点N在第二象限，则N点的坐标为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，……，根据这个规律探索可得，第2025个点的坐标为 ．
三、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，这是厦门市部分简图，请以火车站为坐标原点建立平面直角坐标系，并分别写出各地的坐标（火车站除外）．
18．已知点，解答下列各题．
(1)若点P在y轴上，则______；
(2)点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标；
19．如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题：
(1)画出关于轴的对称图形；
(2)的面积为 ．
20．如图，已知的三个顶点坐标分别是．
(1)将向上平移个单位长度得到，请画出；
(2)请直接写出的坐标；
(3)求的面积．
21．在平面直角坐标系xOy中，点，若，则称点与点互为“神秘点”．例如，点，点，因为，所以点与点互为“神秘点”．
(1)若点的坐标是，且点与点互为“神秘点”，求的值．
(2)若点与“神秘点”互为“神秘点”，若m，n均为正整数，求点的坐标．
22．我们将四个全等的菱形按图（1）所示组合的图形称为一个基本图，将此基本图复制并向右平移，使得其中一个菱形重合，得到图（2），图（3），…．
(1)观察上图并完成下表：
基本图的个数 1 2 3 4 ．．．
菱形的个数 5 9 13 ①_____ ．．．
猜想：在图（n）中，菱形的个数为②_____个（用表示）；
(2)如图，将图（n）放在直角坐标系中，使得第一个基本图的对称轴为直线，第二个基本图的对称轴为直线，则其中第2025个基本图的对称轴是③_____，图（2025）的对称轴为④_____．
23．在平面直角坐标系中，已知点，，且a和b满足．
(1)请直接写出B点坐标：B______；
(2)请在x轴上找点C，使得，求出点C的坐标；
(3)点，，连接，交于点M，在线段上存在点P，使，求出点P的坐标．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到线段，连接；
(1)直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）．
(2)M，N分别是线段上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，假设运动时间为t，请写出M，N的坐标（用含t的式子表示），并求几秒后轴？
(3)点P是直线上一个动点，连接，当点P在直线上运动时，请画出图形并写出与的数量关系．
25．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足．
(1)求的面积；
(2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标；
(3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点，探究：如图3，连接．当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值．
答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：点，横坐标小于零，纵坐标大于零，它位于第二象限，
故选：B．
2．在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查了点在坐标轴上的坐标特征：点在x轴上，则纵坐标为0；点在y轴上，则横坐标为0；据此即可求解．
【详解】解：∵点在轴上，
∴，
解得：；
故选：A．
3．如图，这是某动物园大门口展示的动物园平面示意图，若以大门所在的位置为原点建立平面直角坐标系，则其他4个景点大致用坐标表示错误的是（ ）
A．熊猫馆 B．驼峰 C．猴山 D．百鸟园
【答案】D
【分析】本题考查了用坐标确定位置，解题关键是掌握四个象限内点的坐标符号．
根据各象限点的符号特征解答即可．
【详解】解∶以大门为坐标原点建立直角坐标系，
则下列坐标符号分别是：
熊猫馆，猴山，百鸟园，驼峰，
所以D错误，
故选∶D．
4．如图是象棋棋盘一部分示意图，建立平面直角坐标系，使“将”位于点，“相”位于点，若“相”走一步（“相”只能沿着棋盘走“田”字格），那么“相”的新位置位于点（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了点的坐标，点的平移规律：上加下减，左减右加，先根据“将”位于点，“相”位于点，建立平面直角坐标系，再结合“相”的走法，即可作答．
【详解】解：∵“将”位于点，“相”位于点，
∴建立平面直角坐标系，如图所示：
∵“相”位于点，“相”走一步（“相”只能沿着棋盘走“田”字格）
∴那么“相”的新位置位于点或，
故选：D
5．在平面直角坐标系中，点的坐标是，作点关于轴的对称点，得到点，再将点向下平移4个单位，得到点，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质以及平移变换，正确掌握相关平移规律是解题关键．直接利用关于轴对称点的性质得出点坐标，再利用平移的性质得出答案．
【详解】解：点的坐标是，作点关于轴的对称点，得到点，
，
将点向下平移4个单位，得到点，
点的坐标是：．
故选：C．
6．已知在第二象限内的点的坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第二象限内的点的坐标特点，第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正，则，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，则，据此求解即可．
【详解】解：∵在第二象限内的点的坐标为，
∴，
∵点到两坐标轴的距离相等，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标是，
故选：A．
7．如图，将一个含角的直角三角板的斜边放在x轴上，O为坐标原点，观察尺规作图的痕迹，若点A的坐标为，则点C的横坐标为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】本题考查角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，勾股定理，根据题意可知，是的平分线，得出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，得出，进而可得出答案；
【详解】解：根据题意可知，是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点C的横坐标为，
故选：A
8．如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了规律型－点的坐标，分析粒子在第一象限的运动规律得到数列的递推关系式是本题的突破口，对运动规律的探索知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动是解题的关键．
设粒子运动到时所用的时间分别为，则由，则，以上相加得到的值，进而求得，再找到运动方向的规律即可求解．
【详解】解：由题意，设粒子运动到时所用的时间分别为，则，
∴，
相加得：，
．
∵，
∴运动了1980秒时它到点；
又由运动规律知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动．
故达到时向左运动43秒到达点，
∴运动了2023秒．所求点应为．
故选：A．
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9．点到y轴的距离为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，点到y轴的距离为该点到横坐标的绝对值，据此求解即可．
【详解】解；点到y轴的距离为，
故答案为：3．
10．写一个横纵坐标均为整数，并位于y轴正半轴的点坐标 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，位于轴上的点的横坐标是，纵坐标是正数，写一个符合要求的点的坐标即可．
【详解】解：横纵坐标均为整数，并位于轴正半轴的坐标可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
11．在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标，根据y轴上的点的横坐标为列出方程求解得到a的值，即可得解．
【详解】解：∵点在轴上，
∴，
解得，
故答案为：．
12．将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到点，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律，分别对横坐标和纵坐标进行平移计算，从而得到点的坐标．
本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移规律，熟练掌握“右加左减，上加下减”（横坐标右移加、左移减；纵坐标上移加、下移减 ）是解题的关键．
【详解】解：点向右平移个单位长度，横坐标变为；再向下平移个单位长度，纵坐标变为，所以点的坐标为 ，
故答案为：．
13．在平面直角坐标系中，已知点，长度为3的线段与x轴平行，则点Q的坐标是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了坐标与图形．先根据点的坐标为，且轴，得出点和点的纵坐标相同，为4，再根据，分两种情况当点在点的左边时，当点在点的右边时，分别求出横坐标即可得解．
【详解】解：点的坐标为，且轴，
点和点的纵坐标相同，为4，
，
当点在点的左边时，横坐标为，此时点Q的坐标是，
当点在点的右边时，横坐标为，此时点Q的坐标是，
综上所述，点的坐标为或，
故答案为：或．
14．已知线段，轴，若点M坐标为，点N在第二象限，则N点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查点的坐标与图形性质，在求解过程中，要将不符合题意的解舍去．
根据点的坐标及平行于轴，可以得出点横坐标，利用可以求出点的坐标，根据点在第二象限，求出最终答案．
【详解】解：点，轴，
点的横坐标为，
，
，，
或，
点在第二象限，
点坐标为，
故答案为：．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形的面积及坐标与图形性质，先根据点A，B，C的坐标求出和的面积，再结合四边形的面积是的面积的得出的面积，据此求出a的值即可．
【详解】解：由题知，
∵的顶点坐标分别为，，，
∴，．
又∵四边形的面积是的面积的，
∴四边形的面积为，
∴，
则，
解得，
所以点P的坐标为．
故答案为：．
16．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，……，根据这个规律探索可得，第2025个点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题的考查了对平面直角坐标系的熟练运用能力，用“从特殊到一般”的方法入手寻找规律是解答本题的关键．从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点，通过加法计算算出第2025个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．
【详解】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点．…第n列有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，
∵，，
∴第2025个点在第64列上，
∴奇数列的坐标为 ；
偶数列的坐标为 ，
∴第2025个点在第64列自上而下第55行，
∴第2025个点为）即，
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，这是厦门市部分简图，请以火车站为坐标原点建立平面直角坐标系，并分别写出各地的坐标（火车站除外）．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了建立平面直角坐标系确定点的位置，熟练掌握平面直角坐标系里点表示的坐标意义是解题关键．
以火车站为坐标原点建立平面直角坐标系，根据坐标系表示各地的坐标即可．
【详解】解：如图，以火车站为坐标原点建立平面直角坐标系，
各点的坐标为：
体育场：，文化宫：，医院：，宾馆：，超市：，市场：．
18．已知点，解答下列各题．
(1)若点P在y轴上，则______；
(2)点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查坐标轴上点的坐标特征，与坐标轴平行的直线上点的坐标特征，解题的关键是：
（1）根据y轴上点的横坐标为0求出a的值即可；
（2）根据与y轴平行的直线上的点的横坐标相同求出a的值，再计算出纵坐标即可．
【详解】（1）解∶点在y轴上，
，
，
故答案为：1；
（2）解∶，点Q的坐标为，直线轴，
，
，
，
．
19．如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题：
(1)画出关于轴的对称图形；
(2)的面积为 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质，画出图形即可；
（2）利用割补法求出三角形面积即可．
【详解】（1）解：
如图，即为所求；
（2）解：的面积．
故答案为：．
20．如图，已知的三个顶点坐标分别是．
(1)将向上平移个单位长度得到，请画出；
(2)请直接写出的坐标；
(3)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)，，
(3)的面积为
【分析】（1）根据图形平移的方法即可求解；
（2）图形结合，根据坐标与图形的关系即可求解；
（3）运用割补法将补成梯形，根据几何图形面积的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：向上平移个单位长度，
∴根据图形平移的规律，如图所示，
∴即为所求图形．
（2）解：由（1）中的图形的位置可得，，，．
（3）解：如图所示，将补成梯形，
∴，，，，，
∴，，，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握画平移图形，点坐标的性质以及三角形面积的求法，正确得出平移后的对应点是解答本题的关键．
21．在平面直角坐标系xOy中，点，若，则称点与点互为“神秘点”．例如，点，点，因为，所以点与点互为“神秘点”．
(1)若点的坐标是，且点与点互为“神秘点”，求的值．
(2)若点与“神秘点”互为“神秘点”，若m，n均为正整数，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)当时，，点的坐标为；当时，，点的坐标为．
【分析】本题考查了坐标系与图形的性质，理解新定义“神秘点”是解题的关键．
（1）根据题意得到，然后求解即可；
（2）根据题意得到，求出，然后分情况求解即可．
【详解】（1）根据定义可得，
得；
（2）根据题意得，
化简，得．
均为正整数，
当时，，此时点的坐标为；
当时，，此时点的坐标为．
22．我们将四个全等的菱形按图（1）所示组合的图形称为一个基本图，将此基本图复制并向右平移，使得其中一个菱形重合，得到图（2），图（3），…．
(1)观察上图并完成下表：
基本图的个数 1 2 3 4 ．．．
菱形的个数 5 9 13 ①_____ ．．．
猜想：在图（n）中，菱形的个数为②_____个（用表示）；
(2)如图，将图（n）放在直角坐标系中，使得第一个基本图的对称轴为直线，第二个基本图的对称轴为直线，则其中第2025个基本图的对称轴是③_____，图（2025）的对称轴为④_____．
【答案】(1)①17；②
(2)③直线；④直线
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，坐标与图形，正确找到图形之间的规律是解题的关键．
（1）观察可知每多一个基本图，则多4个菱形，据此规律求解即可；
（2）观察可知，第n个基本图的对称轴为直线，图（n）一共有n个基本图，据此规律可得第一空答案；对于第二空，图（2025）一共有2025个基本图，那么其对称轴即为第2013个基本图的对称轴，据此可得答案．
【详解】（1）解：第1个图有个菱形，
第2个图有个菱形，
第3个图有个菱形，
……，
以此类推可知，第n个图有个菱形，
∴第4个图有个菱形；
（2）解：第一个基本图的对称轴为直线，
第二个基本图的对称轴为直线，
第三个基本图的对称轴为直线，
……，
以此类推可得，第n个基本图的对称轴为直线，
∴第2025个基本图的对称轴是直线；
∵图（1）有1个基本图，
图（2）有2个基本图，
图（3）有3个基本图，
……，
以此类推，图（n）有n个基本图，
∴图（2025）一共有2025个基本图，
∴图（2025）的对称轴即为第个基本图的对称轴，
∴图（2025）的对称轴为直线．
23．在平面直角坐标系中，已知点，，且a和b满足．
(1)请直接写出B点坐标：B______；
(2)请在x轴上找点C，使得，求出点C的坐标；
(3)点，，连接，交于点M，在线段上存在点P，使，求出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查了平面直角坐标系与几何综合；能熟练利用割补法求三角形的面积，同时能根据点的位置不同进行分类讨论是解题的关键．
（1）由非负数的和为零得，，即可求解；
（2）过作轴交于，过作轴交于，由割补法得；设，①当时，过作轴，过作轴交于，交的延长线于，由割补法得，即可求解；②当时，由割补法得，即可求解；③当时，由割补法得，即可求解；
（3）过作轴，过作轴交于，过作轴交于，由割补法得，求出，即可求解．
【详解】（1）解：，
，，
解得：，，
；
故答案为：；
（2）解：过作轴交于，过作轴交于，
；
设，
①当时，
如图，过作轴，过作轴交于，交的延长线于，
，
，
，
，
解得：，
；
②当时，
如图，过作轴，过作轴交于，交的延长线于，
，
，
，
，
解得：（不符合题意），
故此种情况不存在；
③当时，过作轴，过作轴交于，交的延长线于，
，
，
，
，
解得：；
；
综上所述：的坐标为或；
（3）解：过作轴，过作轴交于，过作轴交于，
，
，
解得：，
，
，
，
，
解得：，
．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到线段，连接；
(1)直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）．
(2)M，N分别是线段上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，假设运动时间为t，请写出M，N的坐标（用含t的式子表示），并求几秒后轴？
(3)点P是直线上一个动点，连接，当点P在直线上运动时，请画出图形并写出与的数量关系．
【答案】(1)；
(2)， ，
(3)见解析
【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）利用平移变换的性质求解；
（2）设t秒后轴，构建方程求解；
（3）分三种情形：①如图1中，当点P在直线的左侧时，②如图2中，当点P在直线的左侧或直线上且在直线的右侧时，③如图3中，当点P在直线的右侧时，分别求解即可．
【详解】（1）解：由题意知：；，
故答案为：；；
（2）解：设运动时间t秒：则， ，
∵轴，
∴，
解得，
∴时，轴；
（3）解：①如图1中，当点P在线段上时，．
②如图2中，当点P在的延长线上时，．
③如图3中，当点P在的延长线上时，．
25．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足．
(1)求的面积；
(2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标；
(3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点，探究：如图3，连接．当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值．
【答案】(1)7
(2)或
(3)的大小不变，为定值
【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性质得，，则，，进而得，，然后由三角形面积公式列式计算即可；
（2）分两种情况，①点在第一象限时，②点在第四象限时，过点作轴于点，过点作于点，证，得，，即可解决问题；
（3）过点作于点，于点，证，得，则是的角平分线，即可解决问题．
【详解】（1）解：，
，，
，，
，，
，，
；
（2）解：分两种情况：
①如图1，点在第一象限时，过点作轴于点，过点作于点，
则，，，
，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
点的坐标为；
②如图，点在第四象限时，过点作轴于点，过点作于点，
同①得：，
，，
，
，
，
，
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或；
（3）解：的大小不变，为定值，理由如下：
如图3，过点作于点，于点，
则，
，
，
由①可知，，，
，
，
是的角平分线，
，
即的大小不变，为定值．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、绝对值和偶次方的非负性质、角平分线的判定、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．