2025新苏科版七年级数学上册第二章有理数知识点讲解及练习题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025新苏科版七年级数学上册第二章有理数知识点讲解及练习题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-03 20:06:08 | ||
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文档简介
2025新苏科版七年级数学上册第二章有理数知识点讲解及练习题
知识点
知识点1：正数与负数意义
1.具有相反意义的量包括三个要素：具有同类性；具有相反意义；具有数量。
2.正数、负数可以表示两个相反意义的量。
知识点2：有理数及其分类
有理数的概念：有理数是整数和分数的统称。
有理数的四种表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数。判断一个数是不是有理数，只要看看这个数是不是这四种就行了，如果是这四种中一个，那这个数一定是有理数；如果不是这四种中的任何一种，那它一定不是有理数。
有理数的分类方法：
（1）按概念分类： （2）按正负分类：
知识点3：数轴
1.数轴是规定了原点，正方向，单位长度的直线。
2.数轴的三要素：原点，正方向，单位长度。
知识点4：有理数的大小比较方法
有理数的大小关系：
对于两个有理数，下列三种关系有且仅有一种成立：。
有理数的大小关系的比较方法：方法1：借助数轴比较；方法2：借助绝对值比较。
4.有理数的大小关系具有传递性：
（1）如果,那么就有。（2）如果,那么就有。
知识点5：绝对值与相反数
1.绝对值的定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|.
3.绝对值的代数意义：
（1）一个正数的绝对值是它本身；
（2）一个负数的绝对值是它的相反数；
（3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：
4.绝对值的几何意义：
一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。
5.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即
6.相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.
7.相反数的表示方法：的相反数为。
8.相反数的性质：
（1）位置关系：互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等.
（2）和的关系：互为相反数的两数和为0.
知识点6：有理数的加法法则
1.加法法则
加数类型 加法法则 典型范例
同号两数相加 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
异号两数相加 异号两数相加，绝对值相等时，和为0
异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
一数与0相加 一个数同0相加，仍得这个数
知识点7：有理数的加法运算律
1.加法运算律：
（1）加法交换律：
（2）加法结合律：
名师点拨：
（1）加法运算律的作用：简化运算，凑整，凑同号；
（2）交换加数的位置时，不要忘记符号．
知识点8：有理数的减法法则
有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．
名师点拨：
（1）将减法转化为加法时，注意“两变”，一变是减号变加号；二变是把减数变为它的相反数”．
（2）灵活使用减法法则，比较熟练的同学也可以不按步骤，直接写结果，提高效率。
知识点9：有理数的乘法法则
有理数的乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘，都得0．
名师点拨：
（1）不为0的两数相乘，先定符号，再把绝对值相乘．
（2）当乘数中有负数时，必须用括号括起来：
如5与-3的乘积，应列为5×(-3)，不应该写成5×-3．
2.有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，
即：．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．
即：．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
即：．
知识点10：有理数的除法法则
1.有理数除法法则：
（1）法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。
（2）法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
2. 倒数的概念： 乘积是1的两个数互为倒数．
名师点拨：
（1）0不能当除数；
（2）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
知识点11：有理数的乘方
1.乘方的概念：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有：.
底数：在中，叫做底数，
指数：叫做指数.
典型例子：此处2叫做底数，3是指数，表示2的个数；
2.特例：当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。
知识点12：科学记数法（这是一个很小，但非常非常重要的知识点，要牢记）
科学记数法的定义：
把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法.
名师点拨：
（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样；
（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.
知识点13：有理数的混合运算
1.有理数的混合运算顺序：（混合运算三原则）
(1)先乘方，再乘除，最后加减；
(2)同级运算，从左到右进行；
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
2.合理运用运算律简化运算
1.加法运算律：
加法交换律：
加法结合律：
2.乘法交换律：
乘法交换律：
乘法结合律：
乘法分配律：
3.灵活选用适当的运算律，可以简化计算，减少错误。运用乘法分配率时要根据自己的基础情况选用。
典型例题
教材习题第66页复习题第7（3）题 计算： 解题方法指导 解法1：直接通分计算 解法2：可以使用分配率计算
【分析】 解法1：直接通分计算 解法1：直接通分计算
教材习题69页复习题探索研究第18题 如果的绝对值和相等，那么满足什么条件？ 如果的绝对值比大，那么满足什么条件？ 解题方法指导 举出各种类型的数，比如负数，0，正数，通过对特例的研究，发现其中的规律； 从特殊到一般是我们研究一些较难问题的一般方法
【分析】 先举出一些特殊的各种类型的数，进行研究判断： 第（1）题：为正数时，发现 为负数时，发现，不符合题意 时，，发现 总结：当为非负数时，。 第（2）题：可以采用类似的方法解决： 根据上题可以知道，为正数时 ，不符合题意； 为负数时，发现，符合题意 时，，发现，不符合题意 总结：当为负数时，。
题型训练
题型1 有理数的混合运算问题
1．计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
2．计算：
(1) (2)
(3) (4)
3．计算：
(1) (2)
(3) (4)
4．计算．
(1)； (2)；
(3)； (4)．
5．解决下列问题：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
题型2 有理数简便运算
简便运算：
简便计算：．
简便计算：；
4．用简便方法计算：
(1) ； (2) ．
5．简便计算：
（1） （2）
题型3 有理数混合运算的新定义问题
1．对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：．
(1)求的值；
(2)求的值．
2．我们定义一种新运算：．例如：．
(1)求的值；
(2)求的值．
3．若定义一种新的运算“”，规定有理数，如．
(1)求的值；
(2)求的值．
4．定义新运算：当时，；当时，；当其中，是实数，如．计算：
(1)；
(2)．
5．定义一种新的运算：，如：，
求：
(1)；
(2)．
题型4 与有理数混合运算有关的程序图问题
1．嘉琪同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序．
(1)若开始输入为，请你根据程序列出算式并计算出输出结果；
(2)嘉琪发现将一个小于的数输入，得到的结果总是正数．请验证这个结论．
2．小鹏做了一个如图所示的程序图，按要求完成下列各小题．
(1)当小鹏输入的数为6时，求输出的结果n；
(2)若小鹏某次输入数m后，输出的结果n为．请你写出m可能的2个值．
3．有三种运算程序如下图所示，按要求完成下列各题：
(1)如图，当输入数时，输出数_____；
(2)如图，第一个带？号的运算框内，应填_____；第二个带？号的运算框内，应填_____；第三个带？号的运算框内，应填_____．
(3)如图，当输入时，则输出结果为_____．
4．按照如图和图所示的程序，进行计算．
(1)如果输入，求输出结果；
(2)若在图基础上增加一个计算程序“”，如图，重新输入，第一次运算得到，求输出结果．
5．如图所示、淇淇做了一个程序图，按要求完成下列问题．
（1）当淇淇输入的数为6时，则输出的结果
（2）若淇淇某次输入数m后，输出的结果n为，请你写出m的两个可能值
题型5 有理数混合运算的实际应用
1．南部县是一座历史文化悠久、人口众多的大县，出租车是重要的交通工具，出租车的计价标准为：行程不超过2千米收费5元，超过2千米的部分按每千米1.5元收费（不足1千米的按1千米计算)一出租车公司坐落于南北方向的南铁大道边，驾驶员张师傅从公司出发，在此大道上连续接送5批客人，行驶记录如下：（注；一批次的客人指的是一次可坐1到4位客人，规定向北为正，向南为负，单位：千米）
第一批 第二批 第三批 第四批 第五批
(1)送完第五批客人后，张师傅在公司的 边（填南或北）距离公司 千米的位置．
(2)张师傅的车平均每千米消耗压缩天然气0.09升，则送完第五批客人后，张师傅用了多少升压缩天然气？
(3)在整个过程中，张师傅共收到车费多少元？
2．科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富，小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况：
星期 一 二 三 四 五 六 日
柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克）
(1)求小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克．
(2)求小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？
(3)若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为2元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？
3．某仓库原有商品件，现记录了天内该类商品进出仓库的件数如下所示（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，，，，．
(1)请问经过天之后，该仓库内的商品是增加了还是减少了？此时仓库还有多少商品？
(2)如果商品每次进出仓库需要人工搬运费是每件元，请问这天要付多少人工搬运费？
4．为巩固脱贫攻坚成果，助力乡村振兴快速发展．我县所略乡推行“发展茶油产业，加快脱贫的步伐”．某种植户新鲜采摘了20筐茶果，以每筐25千克为标准重量，超过或不足千克数分别用正，负数来表示，记录如下：
与标准重量的差值（单位：千克） 0 1
筐数 1 4 2 3 2 8
(1)与标准重量比较，20筐茶果总计超过或不足多少千克？
(2)若该种植户采摘生茶果每千克售价元，则出售这20筐茶果可获得多少元？
5．正值中秋佳节，小梦和妈妈一块去购买月饼，妈妈买了一盒某品牌月饼共计8枚．小梦将8枚月饼的质量称重后统计表如下（单位：克）：
第枚 1 2 3 4 5 6 7 8
质量 56 55 54.8 56.2 55.3 55.3 54.7 54.3
(1)小梦为了简化运算，选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，小梦把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出表格（不完整）．请根据表格计算这个标准质量_______克，下面表格中第3枚月饼的质量是________克；
第枚 1 2 3 4 5 6 7 8
质量 ________ ________ ________ ________ ________
当小梦看到说明书上标记的总质量为克时，小梦妈妈买的月饼在总质量上是否合格？请你通过计算说明为什么．
过关训练
一、选择题
1．下面两个量中，不具有相反意义的是（ ）
A．盈利和亏损元 B．浪费水和节约水
C．进三个球和输三场比赛 D．上升和下降
2．下列四个数中，属于负数的是（ ）
A．1.2 B．1 C． D．0
3．在，，0，1.2，2，中，非负整数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列各图中，数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．2025的相反数是（ ）
A． B． C． D．2025
7．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．2
8．算筹我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用算筹（小棍形状的记数工具）来表示正负数，其中正放表示正数，斜放表示负数，例如图①表示的是的运算过程．按照这种方法，可推算图②中的算式为（ ）
A． B．
C． D．
9．比低的温度是（ ）
A． B． C． D．
10．如果，，那么下列成立的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
二、填空题
11．数轴上与点2相距3个单位长度的点表示的数为 ．
12．比较大小： （填“”或“”）
13．计算： ．
14． ，
15．计算：（1） ；
（2） ．
16．若，，，则的绝对值是 ．
17．的倒数是 ．
18．华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行次运算，用科学记数法表示为
19．定义一种新运算：，则 ．
20．根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ．
三、解答题
21．计算：
(1)；
(2)．
22．计算：
(1)；
(2)．
23．探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
；
；
；
；
；
；
；
；
；
．
归纳*运算的法则(用文字语言叙述)
(1)绝对值不同的两数进行*运算时，结果的绝对值如何确定？_________．
特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，_____．
(2)计算：
(3)是否存在两个非零有理数m，n，使得，若存在，求出m，n满足的关系，若不存在，请说明理由．
24．一辆汽车沿着一条南北向的公路来回行驶，某一天早晨从A地出发，晚上最后到达B地.约定向北为正方向（如：+7.4表示汽车向北行驶7.4千米，－6则表示汽车向南行驶6千米），当天的行驶记录如下（单位：千米）：+18.3，－9.5，+7.1，－14，－6.2，+13，－6.8，－8.5.请你根据计算回答以下问题：
（1）B地在A地何方，相距多少千米？
（2）若汽车行驶每千米耗油0.0642升，那么这一天共耗油多少升？（结果保留两位有效数字）
25．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“”．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程（）
(1)这天里路程最多的一天比最少的一天多走______km；（答案直接填写在答题卡的横线上）
(2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？
(3)小明家原来的汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升．现在的新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元．请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱？
答案解析
题型练习
题型1 有理数的混合运算问题
1．计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)1
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查有理数的含有乘方的混合运算．解题关键是熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）有理数的加减运算法则计算即可；
（2）根据乘法分配律计算即可；
（3）将除法转化为乘法，根据乘法计算即可；
（4）先算乘方和绝对值，再算乘除法，再算加法
【详解】（1）解：
；
（2）解：
+
；
（3）解：
；
（4）解：
；
2．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查的是求一个数的绝对值，加法的运算律，乘法的运算律，含乘方的有理数的混合运算，掌握有理数加减乘除，乘方运算的运算法则与运算顺序是解题的关键.
（1）利用加法的运算律，把分母相同的两个数先加，从而可得答案；
（2）利用乘法的分配律把原式化为：，再计算乘法，最后计算加减运算即可；
（3）先计算括号内的运算，同步计算乘方运算，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可；
（4）先计算乘方运算，同步计算除法与绝对值，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可.
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
.
3．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了有理数的混合运算；
（1）利用加法交换律和结合律进行计算，即可解答；
（2）利用乘法分配律进行计算，即可解答；
（3）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答；
（4）先算乘方，再算乘法，后算加减，有括号先算括号里，即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
（4）解：
4．计算．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)2
(4)15
【分析】本题考查了有理数的四则混合运算和含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．
（1）先计算绝对值和有理数的乘除，再计算有理数的加减，即得答案；
（2）先计算有理数的乘方，然后计算两个括号中的加减，再计算有理数的乘法，最后计算有理数的加减，即得答案．
（3）先算括号，再算除法即可；
（4）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
5．解决下列问题：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)3
(2)
(3)3
(4)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）把减法统一成加法，再按加法法则计算；
（2）利用乘法分配律计算即可；
（3）先算乘方，再算除法，后算加减；
（4）先算乘方、除法、绝对值，再算乘法，后算加减
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
题型2 有理数简便运算
简便运算：
【答案】
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数乘法分配律，先把原式变形为，再利用乘法结合律变形得到，据此利用乘法分配律求解即可．
【详解】解：
．
简便计算：．
【答案】25
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律的简便运算等知识点，掌握相关运算法则和运算律成为解题的关键．
运用有理数的乘法运算律进行简便运算即可．
【详解】解：
．
简便计算：；
【答案】
【分析】先确定积的符号，再逆用乘法分配律进行简便运算即可；
【详解】解：
；
4．用简便方法计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把改写成，把改写成，然后把除法转化为乘法，再按乘法分配律计算即可；
（2）先算乘方，然后把一、四项结合，二、三项结合，逆用乘法分配律计算．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
5．简便计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据逆用乘法分配率进行计算即可；
（2）先计算括号内的，再根据乘法分配律简便运算即可．
【详解】（1）
（2）
题型3 有理数混合运算的新定义问题
1．对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)49；
(2)109．
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键．
（1）直接根据新定义的法则，结合有理数的相应的运算法则进行运算即可．
（2）先根据新定义计算，再计算即可求解．
【详解】（1）解：
．
所以的值为49．
（2）解：
；
．
所以的值为109．
2．我们定义一种新运算：．例如：．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)1
(2)4
【分析】本题主要考查了新定义，含乘方的有理数混合计算：
（1）根据新定义得到，据此代值计算即可；
（2）根据新定义得到，再根据，进行计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
；
（2）解：
．
3．若定义一种新的运算“”，规定有理数，如．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)21
(2)40
【分析】本题考查了新定义和有理数的混合运算，正确理解新定义和有理数的运算法则解题的关键．
（1）按照新定义法则把原式转化为有理数运算，再计算即可；
（2）按照新定义法则把原式转化为有理数运算，再计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：，
∴．
4．定义新运算：当时，；当时，；当其中，是实数，如．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（）根据新定义列出算式，然后根据运算法则即可求解；
（）根据新定义列出算式，然后根据运算法则即可求解；
本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）
解：
；
（2）
解：
，
则
．
5．定义一种新的运算：，如：，
求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了新定义运算和有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
（1）把原式利用题中的新定义计算转换为有理数运算，即可得到结果；
（2）先计算，求得，再计算，即可得到结果．
【详解】（1）解：由题意得：
；
（2）解：由题意得：
．
题型4 与有理数混合运算有关的程序图问题
1．嘉琪同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序．
(1)若开始输入为，请你根据程序列出算式并计算出输出结果；
(2)嘉琪发现将一个小于的数输入，得到的结果总是正数．请验证这个结论．
【答案】(1)；
(2)见解析
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，不等式的性质，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（1）首先用开始输入的数乘，求出积是多少；然后用所得的积除以2，求出商是多少；最后用所得的商减去即可．
（2）这个数是x，得出程序的结果为，再令，代入验证即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：设这个数是x，则，
，
，
，即得到的结果总是正数．
2．小鹏做了一个如图所示的程序图，按要求完成下列各小题．
(1)当小鹏输入的数为6时，求输出的结果n；
(2)若小鹏某次输入数m后，输出的结果n为．请你写出m可能的2个值．
【答案】(1)
(2)或0.5
【分析】本题考查程序流程图与有理数运算：
（1）根据流程图，列出算式进行计算即可；
（2）分或两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
，
，
，
；
（2），
当时，，
当时，；
故m可能为或0.5．
3．有三种运算程序如下图所示，按要求完成下列各题：
(1)如图，当输入数时，输出数_____；
(2)如图，第一个带？号的运算框内，应填_____；第二个带？号的运算框内，应填_____；第三个带？号的运算框内，应填_____．
(3)如图，当输入时，则输出结果为_____．
【答案】(1)
(2)，，
(3)
【分析】（1）利用图中公式计算得出答案；
（2）利用最后的代数式推出空格中的式子；
（3）根据图中计算公式及判断条件分别计算得出答案．
【详解】（1）解：如图，当输入数时，输出数，
故答案为：；
（2）解：第一个带？号的运算框内，应填：，
第二个带？号的运算框内，应填：，
第三个带？号的运算框内，应填：，
故答案为：，，；
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
输出结果为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了程序流程图与有理数计算，有理数四则混合运算，代数式表示的实际意义，程序流程图与代数式求值等知识点，看懂程序流程图并得出正确信息是解题的关键．
4．按照如图和图所示的程序，进行计算．
(1)如果输入，求输出结果；
(2)若在图基础上增加一个计算程序“”，如图，重新输入，第一次运算得到，求输出结果．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了流程图，有理数的混合运算，解分式方程等知识点，根据流程图正确列式是解题的关键．
（）根据程序中的运算法则列式计算即可；
（）根据程序中的运算法则列出分式方程，求出的值，再根据运算法则列式计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
，
∴，
经检验，是原分式方程的解，
∴
．
5．如图所示、淇淇做了一个程序图，按要求完成下列问题．
（1）当淇淇输入的数为6时，则输出的结果
（2）若淇淇某次输入数m后，输出的结果n为，请你写出m的两个可能值
【答案】 ，（答案不唯一）
【分析】本题考查程序流程图和有理数的运算，按照程序流程图准确的进行计算是解题的关键．
（1）根据所给的程序图代入相应的值进行运算即可；
（2）根据所给的程序图代入相应的值进行运算即可．
【详解】解：（1）当时，
，，，，，
故答案为：；
（2）当时，，
解得：；
当，，即：时，
解得：．
故答案为：，（答案不唯一）．
题型4 有理数混合运算的实际应用
1．南部县是一座历史文化悠久、人口众多的大县，出租车是重要的交通工具，出租车的计价标准为：行程不超过2千米收费5元，超过2千米的部分按每千米1.5元收费（不足1千米的按1千米计算)一出租车公司坐落于南北方向的南铁大道边，驾驶员张师傅从公司出发，在此大道上连续接送5批客人，行驶记录如下：（注；一批次的客人指的是一次可坐1到4位客人，规定向北为正，向南为负，单位：千米）
第一批 第二批 第三批 第四批 第五批
(1)送完第五批客人后，张师傅在公司的 边（填南或北）距离公司 千米的位置．
(2)张师傅的车平均每千米消耗压缩天然气0.09升，则送完第五批客人后，张师傅用了多少升压缩天然气？
(3)在整个过程中，张师傅共收到车费多少元？
【答案】(1)南，0.4
(2)送完第五批客人后，王师傅用了升压缩天然气
(3)在整个过程中，张师傅共收到车费34元
【分析】本题主要考查了正数和负数的应用，有理数的混合运算，熟练掌握正负数的作用，绝对值的意义，分段计费，是解答本题的关键．
（1）将表格中的数据相加，再根据正负数的意义即可解答；
（2）先计算出在整个过程的总路程，然后乘以每千米消耗压缩天然气0.09升，即可解答；
（3）根据表格中的数据是超过2千米的分段计费，取总和，可以计算出送完第五批客人后，张师傅共收到的车费．
【详解】（1）解：（千米），
即送完第五批客人后，张师傅在公司的南边，距离公司0.4千米的位置；
故答案为：南，0.4；
（2）解：（升，
送完第五批客人后，王师傅用了升压缩天然气；
（3）解：由题可知：
（元，
在整个过程中，张师傅共收到车费34元．
2．科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富，小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况：
星期 一 二 三 四 五 六 日
柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克）
(1)求小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克．
(2)求小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？
(3)若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为2元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？
【答案】(1)小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售千克
(2)小王第一周实际销售柚子的总量是千克
(3)小王第一周销售柚子一共收入元
【分析】本题考查了正负数的实际应用，涉及了有理数的混合运算，注意计算的准确性．
（1）用周六柚子的销量减去周五柚子的销量即可；
（2）计算即可求解；
（3）收入=（售价－运费）×总量，据此即可求解．
【详解】（1）解：周六销售柚子最多，销售量为（千克），
最少的是周五，销售量为（千克），
所以最多的一天比最少的一天多销售（千克）
答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克；
（2）解：（千克），
答：小王第一周实际销售柚子的总量是千克；
（3）解：（元），
答：小王第一周销售柚子一共收入元．
3．某仓库原有商品件，现记录了天内该类商品进出仓库的件数如下所示（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，，，，．
(1)请问经过天之后，该仓库内的商品是增加了还是减少了？此时仓库还有多少商品？
(2)如果商品每次进出仓库需要人工搬运费是每件元，请问这天要付多少人工搬运费？
【答案】(1)经过天之后，该仓库内的商品是增加了件，此时仓库还有商品；
(2)这天要付元搬运费．
【分析】本题主要考查了有理数的加法、绝对值，解决本题的关键是根据有理数的加法法则进行计算．
把这天进出仓库的商品件数相加，所得结果为，所以经过天之后，该仓库内的商品增加了件，此时仓库的商品还有件；
【详解】（1）解：（件），
经过天之后，该仓库内的商品件数为：（件），
答：经过天之后，该仓库内的商品是增加了件，此时仓库还有商品；
（2）解：（件），
这天要付给工人的搬运费为：（元），
答：这天要付元搬运费．
4．为巩固脱贫攻坚成果，助力乡村振兴快速发展．我县所略乡推行“发展茶油产业，加快脱贫的步伐”．某种植户新鲜采摘了20筐茶果，以每筐25千克为标准重量，超过或不足千克数分别用正，负数来表示，记录如下：
与标准重量的差值（单位：千克） 0 1
筐数 1 4 2 3 2 8
(1)与标准重量比较，20筐茶果总计超过或不足多少千克？
(2)若该种植户采摘生茶果每千克售价元，则出售这20筐茶果可获得多少元？
【答案】(1)20筐茶果的总质量比标准质量超过8千克
(2)出售这20筐茶果可获得元
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，熟知正负数的实际意义是解题的关键．
（1）根据表格中的数据求出这20筐茶果的重量，若结果为正，则超过标准质量，若为负，则不足，若为0，这等于标准质量，据此求解即可；
（2）用每千克的售价乘以茶果总质量即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得：千克，
答：20筐茶果的总质量比标准质量超过8千克；
（2）解：由题意得：（元）
答：出售这20筐茶果可获得元．
5．正值中秋佳节，小梦和妈妈一块去购买月饼，妈妈买了一盒某品牌月饼共计8枚．小梦将8枚月饼的质量称重后统计表如下（单位：克）：
第枚 1 2 3 4 5 6 7 8
质量 56 55 54.8 56.2 55.3 55.3 54.7 54.3
(1)小梦为了简化运算，选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，小梦把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出表格（不完整）．请根据表格计算这个标准质量_______克，下面表格中第3枚月饼的质量是________克；
第枚 1 2 3 4 5 6 7 8
质量 ________ ________ ________ ________ ________
(2)当小梦看到说明书上标记的总质量为克时，小梦妈妈买的月饼在总质量上是否合格？请你通过计算说明为什么．
【答案】(1)55；
(2)合格，理由见详解
【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的加减混合运算，正确理解本题中正数和负数的意义是解答本题的关键．
（1）根据题意可知，标准质量为55克，据此可得结果；
（2）求出8次记录的数的和，判断其是否在至之间即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意，得标准质量为55克，；
故答案为：55；；
（2）解：由题意得：，
，即，
这盒月饼在总质量上是合格的．
过关练习
一、选择题
1．下面两个量中，不具有相反意义的是（ ）
A．盈利和亏损元 B．浪费水和节约水
C．进三个球和输三场比赛 D．上升和下降
【答案】C
【分析】此题考查了相反意义的量．根据相反意义的量的定义进行判断即可．
【详解】解：A、盈利和亏损元，是互为相反意义的量，故选项不符合题意；
B、浪费水和节约水，是互为相反意义的量，故选项不符合题意；
C、进三个球和输三场比赛，不是互为相反意义的量，故选项符合题意；
D、上升和下降，是互为相反意义的量，故选项不符合题意；
故选：C．
2．下列四个数中，属于负数的是（ ）
A．1.2 B．1 C． D．0
【答案】C
【分析】本题考查负数的概念，解题的关键是明确负数的定义，即小于0的数是负数．
明确正数，负数和0的性质，逐一分析选项中的数与0的大小关系．
【详解】A、1.2是正数，A项错误；
B、1是正数，B项错误；
C、小于0，根据负数的定义：小于0的数是负数，所以是负数，C项正确；
D、0既不是正数也不是负数，D项错误．
故选：C．
3．在，，0，1.2，2，中，非负整数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查有理数，理解有理数、非负整数的定义是正确解答的关键．
根据有理数，非负整数的定义进行判断即可．
【详解】解：在，，0，1.2，2，中，非负整数有0，2，共2个，
故选：B．
4．下列各图中，数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素：原点，单位长度，正方向，即可得到答案．
【详解】解：A、缺少正方形，数轴表示不正确，不符合题意；
B、缺少原点，数轴表示不正确，不符合题意；
C、单位长度不统一，数轴表示不正确，不符合题意；
D、是数轴，符合题意；
故选：D．
5．在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查数轴的性质以及有理数的大小比较，解题的关键是根据数轴上点的位置判断出a，b的正负性和绝对值大小关系．
先根据数轴判断a，b的正负性与绝对值大小．再根据相反数的性质得到的正负性，最后比较的大小．
【详解】从数轴可知，，且，
根据相反数的性质，的相反数的相反数，
所以，
故选：C．
6．2025的相反数是（ ）
A． B． C． D．2025
【答案】A
【分析】本题考查了求一个数的相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行作答即可．
【详解】解：2025的相反数是，
故选：A．
7．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴的绝对值是，
故选：A．
8．算筹我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用算筹（小棍形状的记数工具）来表示正负数，其中正放表示正数，斜放表示负数，例如图①表示的是的运算过程．按照这种方法，可推算图②中的算式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据题意列式计算得，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得，
故选：B．
9．比低的温度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数减法的应用，用减去即可求解．
【详解】解：由题意，得
．
故选D．
10．如果，，那么下列成立的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数的加法、除法运算法则，熟知两种运算的法则是正确解答此题的关键．
根据有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，依此即可作出判断．
【详解】解：，
，同为正或同为负，
，
，同为负，即：，；
故选：C．
二、填空题
11．数轴上与点2相距3个单位长度的点表示的数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
分两种情况讨论：①当点在表示2的点的左边时；②当点在表示2的点的右边时，根据数轴上两点间的距离，即可得到答案．
【详解】解：分为两种情况：
①当点在表示2的点的左边时，与点2相距3个单位长度的点表示的数为；
②当点在表示2的点的右边时，与点2相距3个单位长度的点表示的数为；
故答案为：或．
12．比较大小： （填“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
【详解】解：，，，
，
故答案为：．
13．计算： ．
【答案】3
【分析】本题考查绝对值的计算，解题的关键是理解绝对值的定义和运算规则．
先计算括号内的运算，再根据绝对值的定义求出结果．
【详解】，
，
故答案为：3．
14． ，
【答案】 /
【分析】本题考查的是化简绝对值及化简多重符号，熟练掌握绝对值性质及化简多重符号的方法是解题关键，根据绝对值及相反数定义直接计算即可．
【详解】解：；
；
；
，
故答案为：，，，．
15．计算：（1） ；
（2） ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的加法运算，根据有理数的加法法则求解即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
故答案为：，．
16．若，，，则的绝对值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值的定义，有理数加法，首先依据绝对值的定义求得、，结合条件，进行分两种情况计算即可，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴；；
∵，
∴当，时，；
当，时，；
故答案为：．
17．的倒数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴的倒数是，
故答案为：．
18．华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行次运算，用科学记数法表示为
【答案】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可．
【详解】解：，
故答案为：．
19．定义一种新运算：，则 ．
【答案】12
【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．按照定义的新运算进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：12．
20．根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
先根据流程图的程序列出算式，再计算出结果，根据输出的条件得出结论即可．
【详解】解：把代入，得，
再把代入，得，
∴输出y的值为7．
故答案为：7．
三、解答题
21．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)16
(2)
【分析】本题考查了有理数的混合运算：先算乘方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先算括号．
（1）先算乘方和乘除，再算加减即可；
（2）先把除法运算转化为乘法运算，然后利用乘法分配律进行计算．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
22．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)23
(2)
【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．
（1）根据乘法分配律进行计算即可；
（2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
23．探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
；
；
；
；
；
；
；
；
；
．
归纳*运算的法则(用文字语言叙述)
(1)绝对值不同的两数进行*运算时，结果的绝对值如何确定？_________．
特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，_____．
(2)计算：
(3)是否存在两个非零有理数m，n，使得，若存在，求出m，n满足的关系，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)绝对值较大数的平方减去绝对值较小数的平方，得这个数的平方
(2)
(3)存在，或
【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，绝对值的性质，理解材料中关于“*”运算方法，掌握绝对值的性质，含有乘方的有理数的混合运算法则是解题的关键．
（1）阅读材料，根据材料提示，总结归纳即可求解；
（2）运用材料提示的运算法则进行计算即可；
（3）根据材料提示得到，由此计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：绝对值不同的两数进行*运算时，结果的绝对值的确定方法是：绝对值较大数的平方减去绝对值较小数的平方，绝对值为正；0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果都等于这个数的平方；
故答案为：绝对值较大数的平方减去绝对值较小数的平方，绝对值为正；结果都等于这个数的平方；
（2）解：
；
（3）解：存在，理由如下，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴存在两个非零有理数m、n,使得．
24．一辆汽车沿着一条南北向的公路来回行驶，某一天早晨从A地出发，晚上最后到达B地.约定向北为正方向（如：+7.4表示汽车向北行驶7.4千米，－6则表示汽车向南行驶6千米），当天的行驶记录如下（单位：千米）：+18.3，－9.5，+7.1，－14，－6.2，+13，－6.8，－8.5.请你根据计算回答以下问题：
（1）B地在A地何方，相距多少千米？
（2）若汽车行驶每千米耗油0.0642升，那么这一天共耗油多少升？（结果保留两位有效数字）
【答案】（1）B地在A地正南方，与A地相距6.6千米.（2）这一天共耗油约为5.4升
【详解】（1）把所给的数值相加，求出结果，若为正，则说明B在A的北边，若为负，则说明B在A的南边；
（2）先求出所有数值绝对值的和，再乘以0.0642即可．
25．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“”．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程（）
(1)这天里路程最多的一天比最少的一天多走______km；（答案直接填写在答题卡的横线上）
(2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？
(3)小明家原来的汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升．现在的新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元．请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱？
【答案】(1)
(2)千米
(3)元
【分析】本题主要考查了有理数的减法应用，解题的关键是掌握有理数的加减运算，有理数的乘除运算，根据有理数的混合运算，进行解答，即可．
（1）根据有理数的减法列式计算即可；
（2）将天的里程求和，即可得解；
（3）用汽油车的费用减去电车的费用，即可得解．
【详解】（1）解：由表格可知，，
∴这 天里路程最多的一天比最少的一天多走．
故答案为：．
（2）解：，
答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了千米．
（3）解：
答：小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省元．
知识点
知识点1：正数与负数意义
1.具有相反意义的量包括三个要素：具有同类性；具有相反意义；具有数量。
2.正数、负数可以表示两个相反意义的量。
知识点2：有理数及其分类
有理数的概念：有理数是整数和分数的统称。
有理数的四种表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数。判断一个数是不是有理数，只要看看这个数是不是这四种就行了，如果是这四种中一个，那这个数一定是有理数；如果不是这四种中的任何一种，那它一定不是有理数。
有理数的分类方法：
（1）按概念分类： （2）按正负分类：
知识点3：数轴
1.数轴是规定了原点，正方向，单位长度的直线。
2.数轴的三要素：原点，正方向，单位长度。
知识点4：有理数的大小比较方法
有理数的大小关系：
对于两个有理数，下列三种关系有且仅有一种成立：。
有理数的大小关系的比较方法：方法1：借助数轴比较；方法2：借助绝对值比较。
4.有理数的大小关系具有传递性：
（1）如果,那么就有。（2）如果,那么就有。
知识点5：绝对值与相反数
1.绝对值的定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|.
3.绝对值的代数意义：
（1）一个正数的绝对值是它本身；
（2）一个负数的绝对值是它的相反数；
（3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：
4.绝对值的几何意义：
一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。
5.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即
6.相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.
7.相反数的表示方法：的相反数为。
8.相反数的性质：
（1）位置关系：互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等.
（2）和的关系：互为相反数的两数和为0.
知识点6：有理数的加法法则
1.加法法则
加数类型 加法法则 典型范例
同号两数相加 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
异号两数相加 异号两数相加，绝对值相等时，和为0
异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
一数与0相加 一个数同0相加，仍得这个数
知识点7：有理数的加法运算律
1.加法运算律：
（1）加法交换律：
（2）加法结合律：
名师点拨：
（1）加法运算律的作用：简化运算，凑整，凑同号；
（2）交换加数的位置时，不要忘记符号．
知识点8：有理数的减法法则
有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．
名师点拨：
（1）将减法转化为加法时，注意“两变”，一变是减号变加号；二变是把减数变为它的相反数”．
（2）灵活使用减法法则，比较熟练的同学也可以不按步骤，直接写结果，提高效率。
知识点9：有理数的乘法法则
有理数的乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘，都得0．
名师点拨：
（1）不为0的两数相乘，先定符号，再把绝对值相乘．
（2）当乘数中有负数时，必须用括号括起来：
如5与-3的乘积，应列为5×(-3)，不应该写成5×-3．
2.有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，
即：．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．
即：．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
即：．
知识点10：有理数的除法法则
1.有理数除法法则：
（1）法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。
（2）法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
2. 倒数的概念： 乘积是1的两个数互为倒数．
名师点拨：
（1）0不能当除数；
（2）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
知识点11：有理数的乘方
1.乘方的概念：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有：.
底数：在中，叫做底数，
指数：叫做指数.
典型例子：此处2叫做底数，3是指数，表示2的个数；
2.特例：当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。
知识点12：科学记数法（这是一个很小，但非常非常重要的知识点，要牢记）
科学记数法的定义：
把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法.
名师点拨：
（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样；
（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.
知识点13：有理数的混合运算
1.有理数的混合运算顺序：（混合运算三原则）
(1)先乘方，再乘除，最后加减；
(2)同级运算，从左到右进行；
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
2.合理运用运算律简化运算
1.加法运算律：
加法交换律：
加法结合律：
2.乘法交换律：
乘法交换律：
乘法结合律：
乘法分配律：
3.灵活选用适当的运算律，可以简化计算，减少错误。运用乘法分配率时要根据自己的基础情况选用。
典型例题
教材习题第66页复习题第7（3）题 计算： 解题方法指导 解法1：直接通分计算 解法2：可以使用分配率计算
【分析】 解法1：直接通分计算 解法1：直接通分计算
教材习题69页复习题探索研究第18题 如果的绝对值和相等，那么满足什么条件？ 如果的绝对值比大，那么满足什么条件？ 解题方法指导 举出各种类型的数，比如负数，0，正数，通过对特例的研究，发现其中的规律； 从特殊到一般是我们研究一些较难问题的一般方法
【分析】 先举出一些特殊的各种类型的数，进行研究判断： 第（1）题：为正数时，发现 为负数时，发现，不符合题意 时，，发现 总结：当为非负数时，。 第（2）题：可以采用类似的方法解决： 根据上题可以知道，为正数时 ，不符合题意； 为负数时，发现，符合题意 时，，发现，不符合题意 总结：当为负数时，。
题型训练
题型1 有理数的混合运算问题
1．计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
2．计算：
(1) (2)
(3) (4)
3．计算：
(1) (2)
(3) (4)
4．计算．
(1)； (2)；
(3)； (4)．
5．解决下列问题：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
题型2 有理数简便运算
简便运算：
简便计算：．
简便计算：；
4．用简便方法计算：
(1) ； (2) ．
5．简便计算：
（1） （2）
题型3 有理数混合运算的新定义问题
1．对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：．
(1)求的值；
(2)求的值．
2．我们定义一种新运算：．例如：．
(1)求的值；
(2)求的值．
3．若定义一种新的运算“”，规定有理数，如．
(1)求的值；
(2)求的值．
4．定义新运算：当时，；当时，；当其中，是实数，如．计算：
(1)；
(2)．
5．定义一种新的运算：，如：，
求：
(1)；
(2)．
题型4 与有理数混合运算有关的程序图问题
1．嘉琪同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序．
(1)若开始输入为，请你根据程序列出算式并计算出输出结果；
(2)嘉琪发现将一个小于的数输入，得到的结果总是正数．请验证这个结论．
2．小鹏做了一个如图所示的程序图，按要求完成下列各小题．
(1)当小鹏输入的数为6时，求输出的结果n；
(2)若小鹏某次输入数m后，输出的结果n为．请你写出m可能的2个值．
3．有三种运算程序如下图所示，按要求完成下列各题：
(1)如图，当输入数时，输出数_____；
(2)如图，第一个带？号的运算框内，应填_____；第二个带？号的运算框内，应填_____；第三个带？号的运算框内，应填_____．
(3)如图，当输入时，则输出结果为_____．
4．按照如图和图所示的程序，进行计算．
(1)如果输入，求输出结果；
(2)若在图基础上增加一个计算程序“”，如图，重新输入，第一次运算得到，求输出结果．
5．如图所示、淇淇做了一个程序图，按要求完成下列问题．
（1）当淇淇输入的数为6时，则输出的结果
（2）若淇淇某次输入数m后，输出的结果n为，请你写出m的两个可能值
题型5 有理数混合运算的实际应用
1．南部县是一座历史文化悠久、人口众多的大县，出租车是重要的交通工具，出租车的计价标准为：行程不超过2千米收费5元，超过2千米的部分按每千米1.5元收费（不足1千米的按1千米计算)一出租车公司坐落于南北方向的南铁大道边，驾驶员张师傅从公司出发，在此大道上连续接送5批客人，行驶记录如下：（注；一批次的客人指的是一次可坐1到4位客人，规定向北为正，向南为负，单位：千米）
第一批 第二批 第三批 第四批 第五批
(1)送完第五批客人后，张师傅在公司的 边（填南或北）距离公司 千米的位置．
(2)张师傅的车平均每千米消耗压缩天然气0.09升，则送完第五批客人后，张师傅用了多少升压缩天然气？
(3)在整个过程中，张师傅共收到车费多少元？
2．科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富，小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况：
星期 一 二 三 四 五 六 日
柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克）
(1)求小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克．
(2)求小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？
(3)若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为2元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？
3．某仓库原有商品件，现记录了天内该类商品进出仓库的件数如下所示（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，，，，．
(1)请问经过天之后，该仓库内的商品是增加了还是减少了？此时仓库还有多少商品？
(2)如果商品每次进出仓库需要人工搬运费是每件元，请问这天要付多少人工搬运费？
4．为巩固脱贫攻坚成果，助力乡村振兴快速发展．我县所略乡推行“发展茶油产业，加快脱贫的步伐”．某种植户新鲜采摘了20筐茶果，以每筐25千克为标准重量，超过或不足千克数分别用正，负数来表示，记录如下：
与标准重量的差值（单位：千克） 0 1
筐数 1 4 2 3 2 8
(1)与标准重量比较，20筐茶果总计超过或不足多少千克？
(2)若该种植户采摘生茶果每千克售价元，则出售这20筐茶果可获得多少元？
5．正值中秋佳节，小梦和妈妈一块去购买月饼，妈妈买了一盒某品牌月饼共计8枚．小梦将8枚月饼的质量称重后统计表如下（单位：克）：
第枚 1 2 3 4 5 6 7 8
质量 56 55 54.8 56.2 55.3 55.3 54.7 54.3
(1)小梦为了简化运算，选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，小梦把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出表格（不完整）．请根据表格计算这个标准质量_______克，下面表格中第3枚月饼的质量是________克；
第枚 1 2 3 4 5 6 7 8
质量 ________ ________ ________ ________ ________
当小梦看到说明书上标记的总质量为克时，小梦妈妈买的月饼在总质量上是否合格？请你通过计算说明为什么．
过关训练
一、选择题
1．下面两个量中，不具有相反意义的是（ ）
A．盈利和亏损元 B．浪费水和节约水
C．进三个球和输三场比赛 D．上升和下降
2．下列四个数中，属于负数的是（ ）
A．1.2 B．1 C． D．0
3．在，，0，1.2，2，中，非负整数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列各图中，数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．2025的相反数是（ ）
A． B． C． D．2025
7．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．2
8．算筹我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用算筹（小棍形状的记数工具）来表示正负数，其中正放表示正数，斜放表示负数，例如图①表示的是的运算过程．按照这种方法，可推算图②中的算式为（ ）
A． B．
C． D．
9．比低的温度是（ ）
A． B． C． D．
10．如果，，那么下列成立的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
二、填空题
11．数轴上与点2相距3个单位长度的点表示的数为 ．
12．比较大小： （填“”或“”）
13．计算： ．
14． ，
15．计算：（1） ；
（2） ．
16．若，，，则的绝对值是 ．
17．的倒数是 ．
18．华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行次运算，用科学记数法表示为
19．定义一种新运算：，则 ．
20．根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ．
三、解答题
21．计算：
(1)；
(2)．
22．计算：
(1)；
(2)．
23．探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
；
；
；
；
；
；
；
；
；
．
归纳*运算的法则(用文字语言叙述)
(1)绝对值不同的两数进行*运算时，结果的绝对值如何确定？_________．
特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，_____．
(2)计算：
(3)是否存在两个非零有理数m，n，使得，若存在，求出m，n满足的关系，若不存在，请说明理由．
24．一辆汽车沿着一条南北向的公路来回行驶，某一天早晨从A地出发，晚上最后到达B地.约定向北为正方向（如：+7.4表示汽车向北行驶7.4千米，－6则表示汽车向南行驶6千米），当天的行驶记录如下（单位：千米）：+18.3，－9.5，+7.1，－14，－6.2，+13，－6.8，－8.5.请你根据计算回答以下问题：
（1）B地在A地何方，相距多少千米？
（2）若汽车行驶每千米耗油0.0642升，那么这一天共耗油多少升？（结果保留两位有效数字）
25．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“”．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程（）
(1)这天里路程最多的一天比最少的一天多走______km；（答案直接填写在答题卡的横线上）
(2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？
(3)小明家原来的汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升．现在的新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元．请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱？
答案解析
题型练习
题型1 有理数的混合运算问题
1．计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)1
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查有理数的含有乘方的混合运算．解题关键是熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）有理数的加减运算法则计算即可；
（2）根据乘法分配律计算即可；
（3）将除法转化为乘法，根据乘法计算即可；
（4）先算乘方和绝对值，再算乘除法，再算加法
【详解】（1）解：
；
（2）解：
+
；
（3）解：
；
（4）解：
；
2．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查的是求一个数的绝对值，加法的运算律，乘法的运算律，含乘方的有理数的混合运算，掌握有理数加减乘除，乘方运算的运算法则与运算顺序是解题的关键.
（1）利用加法的运算律，把分母相同的两个数先加，从而可得答案；
（2）利用乘法的分配律把原式化为：，再计算乘法，最后计算加减运算即可；
（3）先计算括号内的运算，同步计算乘方运算，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可；
（4）先计算乘方运算，同步计算除法与绝对值，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可.
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
.
3．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了有理数的混合运算；
（1）利用加法交换律和结合律进行计算，即可解答；
（2）利用乘法分配律进行计算，即可解答；
（3）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答；
（4）先算乘方，再算乘法，后算加减，有括号先算括号里，即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
（4）解：
4．计算．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)2
(4)15
【分析】本题考查了有理数的四则混合运算和含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．
（1）先计算绝对值和有理数的乘除，再计算有理数的加减，即得答案；
（2）先计算有理数的乘方，然后计算两个括号中的加减，再计算有理数的乘法，最后计算有理数的加减，即得答案．
（3）先算括号，再算除法即可；
（4）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
5．解决下列问题：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)3
(2)
(3)3
(4)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）把减法统一成加法，再按加法法则计算；
（2）利用乘法分配律计算即可；
（3）先算乘方，再算除法，后算加减；
（4）先算乘方、除法、绝对值，再算乘法，后算加减
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
题型2 有理数简便运算
简便运算：
【答案】
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数乘法分配律，先把原式变形为，再利用乘法结合律变形得到，据此利用乘法分配律求解即可．
【详解】解：
．
简便计算：．
【答案】25
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律的简便运算等知识点，掌握相关运算法则和运算律成为解题的关键．
运用有理数的乘法运算律进行简便运算即可．
【详解】解：
．
简便计算：；
【答案】
【分析】先确定积的符号，再逆用乘法分配律进行简便运算即可；
【详解】解：
；
4．用简便方法计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把改写成，把改写成，然后把除法转化为乘法，再按乘法分配律计算即可；
（2）先算乘方，然后把一、四项结合，二、三项结合，逆用乘法分配律计算．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
5．简便计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据逆用乘法分配率进行计算即可；
（2）先计算括号内的，再根据乘法分配律简便运算即可．
【详解】（1）
（2）
题型3 有理数混合运算的新定义问题
1．对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)49；
(2)109．
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键．
（1）直接根据新定义的法则，结合有理数的相应的运算法则进行运算即可．
（2）先根据新定义计算，再计算即可求解．
【详解】（1）解：
．
所以的值为49．
（2）解：
；
．
所以的值为109．
2．我们定义一种新运算：．例如：．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)1
(2)4
【分析】本题主要考查了新定义，含乘方的有理数混合计算：
（1）根据新定义得到，据此代值计算即可；
（2）根据新定义得到，再根据，进行计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
；
（2）解：
．
3．若定义一种新的运算“”，规定有理数，如．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)21
(2)40
【分析】本题考查了新定义和有理数的混合运算，正确理解新定义和有理数的运算法则解题的关键．
（1）按照新定义法则把原式转化为有理数运算，再计算即可；
（2）按照新定义法则把原式转化为有理数运算，再计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：，
∴．
4．定义新运算：当时，；当时，；当其中，是实数，如．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（）根据新定义列出算式，然后根据运算法则即可求解；
（）根据新定义列出算式，然后根据运算法则即可求解；
本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）
解：
；
（2）
解：
，
则
．
5．定义一种新的运算：，如：，
求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了新定义运算和有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
（1）把原式利用题中的新定义计算转换为有理数运算，即可得到结果；
（2）先计算，求得，再计算，即可得到结果．
【详解】（1）解：由题意得：
；
（2）解：由题意得：
．
题型4 与有理数混合运算有关的程序图问题
1．嘉琪同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序．
(1)若开始输入为，请你根据程序列出算式并计算出输出结果；
(2)嘉琪发现将一个小于的数输入，得到的结果总是正数．请验证这个结论．
【答案】(1)；
(2)见解析
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，不等式的性质，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（1）首先用开始输入的数乘，求出积是多少；然后用所得的积除以2，求出商是多少；最后用所得的商减去即可．
（2）这个数是x，得出程序的结果为，再令，代入验证即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：设这个数是x，则，
，
，
，即得到的结果总是正数．
2．小鹏做了一个如图所示的程序图，按要求完成下列各小题．
(1)当小鹏输入的数为6时，求输出的结果n；
(2)若小鹏某次输入数m后，输出的结果n为．请你写出m可能的2个值．
【答案】(1)
(2)或0.5
【分析】本题考查程序流程图与有理数运算：
（1）根据流程图，列出算式进行计算即可；
（2）分或两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
，
，
，
；
（2），
当时，，
当时，；
故m可能为或0.5．
3．有三种运算程序如下图所示，按要求完成下列各题：
(1)如图，当输入数时，输出数_____；
(2)如图，第一个带？号的运算框内，应填_____；第二个带？号的运算框内，应填_____；第三个带？号的运算框内，应填_____．
(3)如图，当输入时，则输出结果为_____．
【答案】(1)
(2)，，
(3)
【分析】（1）利用图中公式计算得出答案；
（2）利用最后的代数式推出空格中的式子；
（3）根据图中计算公式及判断条件分别计算得出答案．
【详解】（1）解：如图，当输入数时，输出数，
故答案为：；
（2）解：第一个带？号的运算框内，应填：，
第二个带？号的运算框内，应填：，
第三个带？号的运算框内，应填：，
故答案为：，，；
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
输出结果为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了程序流程图与有理数计算，有理数四则混合运算，代数式表示的实际意义，程序流程图与代数式求值等知识点，看懂程序流程图并得出正确信息是解题的关键．
4．按照如图和图所示的程序，进行计算．
(1)如果输入，求输出结果；
(2)若在图基础上增加一个计算程序“”，如图，重新输入，第一次运算得到，求输出结果．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了流程图，有理数的混合运算，解分式方程等知识点，根据流程图正确列式是解题的关键．
（）根据程序中的运算法则列式计算即可；
（）根据程序中的运算法则列出分式方程，求出的值，再根据运算法则列式计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
，
∴，
经检验，是原分式方程的解，
∴
．
5．如图所示、淇淇做了一个程序图，按要求完成下列问题．
（1）当淇淇输入的数为6时，则输出的结果
（2）若淇淇某次输入数m后，输出的结果n为，请你写出m的两个可能值
【答案】 ，（答案不唯一）
【分析】本题考查程序流程图和有理数的运算，按照程序流程图准确的进行计算是解题的关键．
（1）根据所给的程序图代入相应的值进行运算即可；
（2）根据所给的程序图代入相应的值进行运算即可．
【详解】解：（1）当时，
，，，，，
故答案为：；
（2）当时，，
解得：；
当，，即：时，
解得：．
故答案为：，（答案不唯一）．
题型4 有理数混合运算的实际应用
1．南部县是一座历史文化悠久、人口众多的大县，出租车是重要的交通工具，出租车的计价标准为：行程不超过2千米收费5元，超过2千米的部分按每千米1.5元收费（不足1千米的按1千米计算)一出租车公司坐落于南北方向的南铁大道边，驾驶员张师傅从公司出发，在此大道上连续接送5批客人，行驶记录如下：（注；一批次的客人指的是一次可坐1到4位客人，规定向北为正，向南为负，单位：千米）
第一批 第二批 第三批 第四批 第五批
(1)送完第五批客人后，张师傅在公司的 边（填南或北）距离公司 千米的位置．
(2)张师傅的车平均每千米消耗压缩天然气0.09升，则送完第五批客人后，张师傅用了多少升压缩天然气？
(3)在整个过程中，张师傅共收到车费多少元？
【答案】(1)南，0.4
(2)送完第五批客人后，王师傅用了升压缩天然气
(3)在整个过程中，张师傅共收到车费34元
【分析】本题主要考查了正数和负数的应用，有理数的混合运算，熟练掌握正负数的作用，绝对值的意义，分段计费，是解答本题的关键．
（1）将表格中的数据相加，再根据正负数的意义即可解答；
（2）先计算出在整个过程的总路程，然后乘以每千米消耗压缩天然气0.09升，即可解答；
（3）根据表格中的数据是超过2千米的分段计费，取总和，可以计算出送完第五批客人后，张师傅共收到的车费．
【详解】（1）解：（千米），
即送完第五批客人后，张师傅在公司的南边，距离公司0.4千米的位置；
故答案为：南，0.4；
（2）解：（升，
送完第五批客人后，王师傅用了升压缩天然气；
（3）解：由题可知：
（元，
在整个过程中，张师傅共收到车费34元．
2．科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富，小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况：
星期 一 二 三 四 五 六 日
柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克）
(1)求小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克．
(2)求小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？
(3)若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为2元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？
【答案】(1)小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售千克
(2)小王第一周实际销售柚子的总量是千克
(3)小王第一周销售柚子一共收入元
【分析】本题考查了正负数的实际应用，涉及了有理数的混合运算，注意计算的准确性．
（1）用周六柚子的销量减去周五柚子的销量即可；
（2）计算即可求解；
（3）收入=（售价－运费）×总量，据此即可求解．
【详解】（1）解：周六销售柚子最多，销售量为（千克），
最少的是周五，销售量为（千克），
所以最多的一天比最少的一天多销售（千克）
答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克；
（2）解：（千克），
答：小王第一周实际销售柚子的总量是千克；
（3）解：（元），
答：小王第一周销售柚子一共收入元．
3．某仓库原有商品件，现记录了天内该类商品进出仓库的件数如下所示（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，，，，．
(1)请问经过天之后，该仓库内的商品是增加了还是减少了？此时仓库还有多少商品？
(2)如果商品每次进出仓库需要人工搬运费是每件元，请问这天要付多少人工搬运费？
【答案】(1)经过天之后，该仓库内的商品是增加了件，此时仓库还有商品；
(2)这天要付元搬运费．
【分析】本题主要考查了有理数的加法、绝对值，解决本题的关键是根据有理数的加法法则进行计算．
把这天进出仓库的商品件数相加，所得结果为，所以经过天之后，该仓库内的商品增加了件，此时仓库的商品还有件；
【详解】（1）解：（件），
经过天之后，该仓库内的商品件数为：（件），
答：经过天之后，该仓库内的商品是增加了件，此时仓库还有商品；
（2）解：（件），
这天要付给工人的搬运费为：（元），
答：这天要付元搬运费．
4．为巩固脱贫攻坚成果，助力乡村振兴快速发展．我县所略乡推行“发展茶油产业，加快脱贫的步伐”．某种植户新鲜采摘了20筐茶果，以每筐25千克为标准重量，超过或不足千克数分别用正，负数来表示，记录如下：
与标准重量的差值（单位：千克） 0 1
筐数 1 4 2 3 2 8
(1)与标准重量比较，20筐茶果总计超过或不足多少千克？
(2)若该种植户采摘生茶果每千克售价元，则出售这20筐茶果可获得多少元？
【答案】(1)20筐茶果的总质量比标准质量超过8千克
(2)出售这20筐茶果可获得元
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，熟知正负数的实际意义是解题的关键．
（1）根据表格中的数据求出这20筐茶果的重量，若结果为正，则超过标准质量，若为负，则不足，若为0，这等于标准质量，据此求解即可；
（2）用每千克的售价乘以茶果总质量即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得：千克，
答：20筐茶果的总质量比标准质量超过8千克；
（2）解：由题意得：（元）
答：出售这20筐茶果可获得元．
5．正值中秋佳节，小梦和妈妈一块去购买月饼，妈妈买了一盒某品牌月饼共计8枚．小梦将8枚月饼的质量称重后统计表如下（单位：克）：
第枚 1 2 3 4 5 6 7 8
质量 56 55 54.8 56.2 55.3 55.3 54.7 54.3
(1)小梦为了简化运算，选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，小梦把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出表格（不完整）．请根据表格计算这个标准质量_______克，下面表格中第3枚月饼的质量是________克；
第枚 1 2 3 4 5 6 7 8
质量 ________ ________ ________ ________ ________
(2)当小梦看到说明书上标记的总质量为克时，小梦妈妈买的月饼在总质量上是否合格？请你通过计算说明为什么．
【答案】(1)55；
(2)合格，理由见详解
【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的加减混合运算，正确理解本题中正数和负数的意义是解答本题的关键．
（1）根据题意可知，标准质量为55克，据此可得结果；
（2）求出8次记录的数的和，判断其是否在至之间即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意，得标准质量为55克，；
故答案为：55；；
（2）解：由题意得：，
，即，
这盒月饼在总质量上是合格的．
过关练习
一、选择题
1．下面两个量中，不具有相反意义的是（ ）
A．盈利和亏损元 B．浪费水和节约水
C．进三个球和输三场比赛 D．上升和下降
【答案】C
【分析】此题考查了相反意义的量．根据相反意义的量的定义进行判断即可．
【详解】解：A、盈利和亏损元，是互为相反意义的量，故选项不符合题意；
B、浪费水和节约水，是互为相反意义的量，故选项不符合题意；
C、进三个球和输三场比赛，不是互为相反意义的量，故选项符合题意；
D、上升和下降，是互为相反意义的量，故选项不符合题意；
故选：C．
2．下列四个数中，属于负数的是（ ）
A．1.2 B．1 C． D．0
【答案】C
【分析】本题考查负数的概念，解题的关键是明确负数的定义，即小于0的数是负数．
明确正数，负数和0的性质，逐一分析选项中的数与0的大小关系．
【详解】A、1.2是正数，A项错误；
B、1是正数，B项错误；
C、小于0，根据负数的定义：小于0的数是负数，所以是负数，C项正确；
D、0既不是正数也不是负数，D项错误．
故选：C．
3．在，，0，1.2，2，中，非负整数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查有理数，理解有理数、非负整数的定义是正确解答的关键．
根据有理数，非负整数的定义进行判断即可．
【详解】解：在，，0，1.2，2，中，非负整数有0，2，共2个，
故选：B．
4．下列各图中，数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素：原点，单位长度，正方向，即可得到答案．
【详解】解：A、缺少正方形，数轴表示不正确，不符合题意；
B、缺少原点，数轴表示不正确，不符合题意；
C、单位长度不统一，数轴表示不正确，不符合题意；
D、是数轴，符合题意；
故选：D．
5．在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查数轴的性质以及有理数的大小比较，解题的关键是根据数轴上点的位置判断出a，b的正负性和绝对值大小关系．
先根据数轴判断a，b的正负性与绝对值大小．再根据相反数的性质得到的正负性，最后比较的大小．
【详解】从数轴可知，，且，
根据相反数的性质，的相反数的相反数，
所以，
故选：C．
6．2025的相反数是（ ）
A． B． C． D．2025
【答案】A
【分析】本题考查了求一个数的相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行作答即可．
【详解】解：2025的相反数是，
故选：A．
7．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴的绝对值是，
故选：A．
8．算筹我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用算筹（小棍形状的记数工具）来表示正负数，其中正放表示正数，斜放表示负数，例如图①表示的是的运算过程．按照这种方法，可推算图②中的算式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据题意列式计算得，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得，
故选：B．
9．比低的温度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数减法的应用，用减去即可求解．
【详解】解：由题意，得
．
故选D．
10．如果，，那么下列成立的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数的加法、除法运算法则，熟知两种运算的法则是正确解答此题的关键．
根据有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，依此即可作出判断．
【详解】解：，
，同为正或同为负，
，
，同为负，即：，；
故选：C．
二、填空题
11．数轴上与点2相距3个单位长度的点表示的数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
分两种情况讨论：①当点在表示2的点的左边时；②当点在表示2的点的右边时，根据数轴上两点间的距离，即可得到答案．
【详解】解：分为两种情况：
①当点在表示2的点的左边时，与点2相距3个单位长度的点表示的数为；
②当点在表示2的点的右边时，与点2相距3个单位长度的点表示的数为；
故答案为：或．
12．比较大小： （填“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
【详解】解：，，，
，
故答案为：．
13．计算： ．
【答案】3
【分析】本题考查绝对值的计算，解题的关键是理解绝对值的定义和运算规则．
先计算括号内的运算，再根据绝对值的定义求出结果．
【详解】，
，
故答案为：3．
14． ，
【答案】 /
【分析】本题考查的是化简绝对值及化简多重符号，熟练掌握绝对值性质及化简多重符号的方法是解题关键，根据绝对值及相反数定义直接计算即可．
【详解】解：；
；
；
，
故答案为：，，，．
15．计算：（1） ；
（2） ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的加法运算，根据有理数的加法法则求解即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
故答案为：，．
16．若，，，则的绝对值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值的定义，有理数加法，首先依据绝对值的定义求得、，结合条件，进行分两种情况计算即可，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴；；
∵，
∴当，时，；
当，时，；
故答案为：．
17．的倒数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴的倒数是，
故答案为：．
18．华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行次运算，用科学记数法表示为
【答案】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可．
【详解】解：，
故答案为：．
19．定义一种新运算：，则 ．
【答案】12
【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．按照定义的新运算进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：12．
20．根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
先根据流程图的程序列出算式，再计算出结果，根据输出的条件得出结论即可．
【详解】解：把代入，得，
再把代入，得，
∴输出y的值为7．
故答案为：7．
三、解答题
21．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)16
(2)
【分析】本题考查了有理数的混合运算：先算乘方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先算括号．
（1）先算乘方和乘除，再算加减即可；
（2）先把除法运算转化为乘法运算，然后利用乘法分配律进行计算．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
22．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)23
(2)
【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．
（1）根据乘法分配律进行计算即可；
（2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
23．探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
；
；
；
；
；
；
；
；
；
．
归纳*运算的法则(用文字语言叙述)
(1)绝对值不同的两数进行*运算时，结果的绝对值如何确定？_________．
特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，_____．
(2)计算：
(3)是否存在两个非零有理数m，n，使得，若存在，求出m，n满足的关系，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)绝对值较大数的平方减去绝对值较小数的平方，得这个数的平方
(2)
(3)存在，或
【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，绝对值的性质，理解材料中关于“*”运算方法，掌握绝对值的性质，含有乘方的有理数的混合运算法则是解题的关键．
（1）阅读材料，根据材料提示，总结归纳即可求解；
（2）运用材料提示的运算法则进行计算即可；
（3）根据材料提示得到，由此计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：绝对值不同的两数进行*运算时，结果的绝对值的确定方法是：绝对值较大数的平方减去绝对值较小数的平方，绝对值为正；0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果都等于这个数的平方；
故答案为：绝对值较大数的平方减去绝对值较小数的平方，绝对值为正；结果都等于这个数的平方；
（2）解：
；
（3）解：存在，理由如下，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴存在两个非零有理数m、n,使得．
24．一辆汽车沿着一条南北向的公路来回行驶，某一天早晨从A地出发，晚上最后到达B地.约定向北为正方向（如：+7.4表示汽车向北行驶7.4千米，－6则表示汽车向南行驶6千米），当天的行驶记录如下（单位：千米）：+18.3，－9.5，+7.1，－14，－6.2，+13，－6.8，－8.5.请你根据计算回答以下问题：
（1）B地在A地何方，相距多少千米？
（2）若汽车行驶每千米耗油0.0642升，那么这一天共耗油多少升？（结果保留两位有效数字）
【答案】（1）B地在A地正南方，与A地相距6.6千米.（2）这一天共耗油约为5.4升
【详解】（1）把所给的数值相加，求出结果，若为正，则说明B在A的北边，若为负，则说明B在A的南边；
（2）先求出所有数值绝对值的和，再乘以0.0642即可．
25．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“”．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程（）
(1)这天里路程最多的一天比最少的一天多走______km；（答案直接填写在答题卡的横线上）
(2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？
(3)小明家原来的汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升．现在的新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元．请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱？
【答案】(1)
(2)千米
(3)元
【分析】本题主要考查了有理数的减法应用，解题的关键是掌握有理数的加减运算，有理数的乘除运算，根据有理数的混合运算，进行解答，即可．
（1）根据有理数的减法列式计算即可；
（2）将天的里程求和，即可得解；
（3）用汽油车的费用减去电车的费用，即可得解．
【详解】（1）解：由表格可知，，
∴这 天里路程最多的一天比最少的一天多走．
故答案为：．
（2）解：，
答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了千米．
（3）解：
答：小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省元．
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