专题--著名的不等式应用问题 重点练 2026年高考数学复习备考

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专题--著名的不等式应用问题 重点练
2026年高考数学复习备考
一、单选题
1．若，，其中都是正数，则A与B的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．设是的一个排列，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
4．若实数，则的最小值为（ ）
A．14 B． C．29 D．
5．在中，的最大值是（ ）
A． B．3 C． D．
6．若，且，则的值是
A． B． C．1 D．
7．柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
8．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
9．柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．中角，，所对的边分别为，，，已知，为的点，且，，则的最大值为
11．已知正数，，满足，则的最小值为
12．已知平面向量，，满足，，且．记平面向量在，方向上的数量投影分别为，，向量在方向上的数量投影为，则对任意满足条件的向量，代数式的最小值是 ．
13．在锐角中，的最小值为 ．
14．设α，β，γ分别为长方体的对角线与共顶点的三个侧面所成的角，则sin 的取值范围为 .
15．已知面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为 ．
三、解答题
16．若均为锐角，且满足.求证:.
17．已知函数，的最小值为，且正实数满足，证明：.
18．已知.
(1)解不等式；
(2)若为的最小值，设，求的最小值.
19．已知，，求的最值
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C C D B D D A B B
1．C
【分析】利用排序不等式来比较大小即可.
【详解】依序列的各项都是正数，不妨设，
则为序列{xn}的一个排列.
由排序不等式，得，
即，当且仅当时，取等号，
故选：C.
2．C
【分析】由排序不等式可得答案
【详解】因为是的一个排列，
由排序不等式得，
，
∴的取值范围是
故选：C.
3．D
【分析】利用柯西不等式即可得解.
【详解】，，
，
当且仅当时等号成立，
则的最小值为.
故选：D.
4．B
【分析】直接利用柯西不等式得到答案.
【详解】根据柯西不等式：，即，
当且仅当，，时等号成立.
故选：B.
【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力.
5．D
【分析】运用琴生不等式计算即可.
【详解】因为在区间上是凸函数，根据琴生不等式可得，
，
得，
当且仅当时等号成立，
即的最大值是.
故选：D
6．D
【详解】由柯西不等式，
由取等条件知.
7．A
【分析】根据柯西不等式的三元形式，构造求解即可.
【详解】因为，
根据题目中柯西不等式的三元形式可知，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值是，
故选：A
8．B
【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.
【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立，
又，即，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以函数的最小值为25.
故选：B
9．B
【分析】首先根据函数的导数求出切点横坐标，再结合切点在函数图象和直线上得到与的关系，然后对所求式子进行变形，利用柯西不等式来求解最值即可.
【详解】设直线与曲线相切的切点为，
由得，则，即，
则，得，
所以，代入得，
因为，所以
，
因为，
所以，当且仅当，即等号成立.
故选：B.
10．
【分析】根据在中根据互补，余弦和为0，由余弦定理可得，再结合柯西不等式或者利用三角换元方法求得.
【详解】
由得，即，
解法一：柯西不等式法
由柯西不等式可得，得，
当且仅当时，等号成立.
故的最大值为.
解法二：三角换元方法
，
，
最大值为.
故答案为：.
11．
【分析】根据权方和不等式可得解.
【详解】因为正数，满足，
所以，
当且仅当即时取等号.
故答案为：.
12．/0.4
【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.
【详解】令，因为，故，，
令平面向量在方向上的投影分别为，
设，则：，
从而：，故
由柯西不等式可得
化简得，当且仅当，
即时取等号，故的最小值为．
故答案为：
13．
【分析】构造函数，，利用二阶导函数的符号判断函数在上为下凸函数，根据琴生不等式可求最小值.
【详解】构造函数，，则，
令，则，
所以函数在上为下凸函数．
由琴生不等式得，
即，当且仅当时等号成立．
因此在锐角中，的最小值为．
故答案为：.
14．
【分析】在长方体中有，证明，证明，，根据琴声不等式证明 ，证明，据此即可求解.
【详解】设长方体的一个顶点出发的长、宽和高分别为，相应对角线长为，
则，，
注意到
，
因为，均为锐角，所以，从而，
即，同理，，
又在上为凸函数，
由琴生不等式有
，
则cos ≥，即sin ≤，
另一方面，
，
由均为锐角，则，从而，
又时，有→，
综上，≤.
故答案为：.
15．
【分析】设，，，由三角形面积公式得到，再由余弦定理得到，令，得到，结合柯西不等式进而可求解.
【详解】设，
易知为的重心，
又，由重心为中线三等分点可得：，
同时，
设，，
则，
则，
所以，
由余弦定理可得：，
令，求其最小值即可，
上式化简可得：，
也即当且仅当时取得等号，
所以，
故答案为：
16．证明见解析
【分析】利用长方体构造，记对角线与面，面，面所成角分别为，再求出，结合不等式和柯西不等式化简即可.
【详解】如图，设为长方体的3条棱长，
其对角线与面，面，面所成角分别为，
则，且
则 ，，
因，等号成立时，
则，等号成立时，
故
.
当且仅当，即 时取等号.
17．证明见解析
【分析】根据已知条件，先求出，再结合柯西不等式，即可求解.
【详解】当时，由，
当时，由，
当时，由.
则，
当时，；当时，；
当时，.
所以当时，，.
因为，所以.
由柯西不等式可得.
所以，
所以，当且仅当时等号成立.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用零点分段法，即可求解；
（2）先求出的最小值，从而得到，再利用柯西不等式，即可求解.
【详解】（1）因为，由，得到，即，
当时，原不等式等价于，得到，
当时，原不等式等价于，得到，
当时，原不等式等价于，得到，
综上，不等式的解集为.
（2）因为，
所以，得到，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
19．最大值为，最小值为.
【分析】由柯西不等式求解即可.
【详解】解：由柯西不等式可得
.
所以.
于是的最大值为，最小值为.
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