江西省赣州市2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题（PDF版，含答案）

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赣州市 2024-2025 学年度第二学期期末考试
数学参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B D D C A B C A BC AD ABD
8. f (x) 1 sin x≥0，所以 f (x) 在 R上单调递增.
S 100(a a )先证充分性 1 100100 50 ，所以a1 a100 .2
T100 S100 (cosa1 cosa2 cosa100），
又cosa1 cosa100 cosa1 cos( a1) 0 .
同理cosa2 cosa99 cosa3 cosa98 cosa50 cosa51 0，所以T100 S100 50 .
所以 S100 50 是T100 50 的充分条件.
再证必要性，若T 100(a a )100 50 ，假设 S100 50 ，则 S 1 100100 50 ，2
即a1 a100 ，所以 a1 a100 . 因为 f (x) 在R上单调递增，
所以有 f (a1) f ( a100 ) a100 cos( a100 ) (a100 cosa100 ) f (a100 )
同理 f (a2 ) f (a99 )， f (a3) f (a98) ，… ， f (a100 ) f (a1) .这些不等式相
加得到T100 100 T100 即T100 50 这与T100 50 矛盾，所以假设 S100 50 错误.
同理假设 S100 50 可得T100 50 也与T100 50 矛盾，所以假设 S100 50 错误.
所以T100 50 可推出 S100 50 . 必要性成立，所以“ S100 50 ”是“T100 50 ”
的充要条件.
11.ABD
第一轮次从左往右的比较能将最大的数挪到最右，从右往左比较能将最小的数挪到最左.
第二轮次从左往右的比较能将第二大的数挪到倒数第二个位置，从右往左比较能将第二
小的数挪到第二个位置.依次类推.
每交换一次就会改变一个逆序，所以交换总次数就等于所有的逆序数.
二、填空题
127
12. 13. (7 , 4) (4, ) 14. 2, 4
2 2
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三、解答题
b
1
15.(1)因为函数 f (x) 是定义域为R 的奇函数，所以 f (0) 2a 0 ，得b 2 ....2 分
1
2
1
1
又 f ( 1) f (1) 2 1即 2a ，得 a 2 ...........................................................4 分
1 a 1
4
x
则 f (x) 2 1 x ,经检验符合题意...................................................................................5 分2 1
f (x) 1 2 x , f (x) 是减函数...................................................................................6 分2 1
(2) f (kx) f ( x 2 4) 在 x [1,4]时恒成立，因为 f (x) 是单调递减的奇函数.
所以 f (kx) f (4 x 2) 在 x [1,4]时恒成立...................................................................8分
即 kx 4 x2在 x [1,4]时恒成立..................................................................................10 分
4
所以 k x 在 x [1,4]时恒成立.
x
又 x 4 ≥ 4 当且仅当 x 2 时等号成立........................................................................12分
x
所以 k 4 .........................................................................................................................13 分
16.(1) log2[ f (x) 2] log
x x
2[ f (x)]≤3，即 log2 (2 2) log2 2 ≤ log2 8，所以
log2[(2
x 2)2 x]≤log2 8 ..................................................................................................1 分
2xy log x 2>0 由 2 单调性知 ........................................................................3(2x 2)2x ≤8
分
解不等式 (2x 2)2x ≤8，即 (2x )2 2 2x 8≤0，得 (2x 4)(2x 2)≤0，
x
所以2 ≤4，又因为2x 2所以原不等式的解集为 x |1 x≤ 2 .............................6 分
(2)因为 f (2) 是 f (msin x0 )与 f (mcos x0 )的等比中项，
f 2 (2) f (msin x ) f (mcos x ) (22 )2 2msin x mcos x所以 0 0 ，代入得 0 2 0 ，
24 2msin x0 mcos x即 0 .............................................................................................................9 分
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则4 m(sin x0 cos x0 ) .
因为sin x0 cos x
4
0 0 ，所以 m ........................................................10 分sin x0 cos x0
设 t sin x0 cos x0，由辅助角公式易知 2 ≤ t≤ 2且t 0 ................................12 分
所以m 4 . 2 ≤ t≤ 2且t 0
t
m ( , 2 2] [2 2, ) ......................................................................................15 分
2 270 (75 90 60 45)
2
17.(1) 13.5………………………………………….4 分
135 135 150 120
2 13.5 10.828，有99.9%把握认为群体类型与新项目的喜好有关联.………….5 分
(2)因为 A发生时B一定发生，所以 AB A，
2 2
则 P(A | B) P(AB) P(A) 3P (1 P) 3P 3P 2 3 2 ,P [0,1] ……………….……8分P(B) P(B) 3P 3P P 3 3P P
2
设 f (P) 3P 3P 2 ，则3 3P P
f (P) (3 6P)(3 3P P
2) (3P 3P2)( 3 2P) 6P2 18P 9
2 2 .………………….10分(3 3P P ) (3 3P P2)2
令 f (P) 0 P 3 3 3 3 ，解方程得 .为P [0,1]，所以 P …………………..…12分
2 2 2 2
当P [0, 3 3 )时，有 f (P) 0，所以 f (P) [0, 3 3在 ) 上单调递增；
2 2 2 2
3 3 3 3
当P ( ,1]时，有 f (P) 0，所以 f (P) 在 ( ,1]上单调递减.
2 2 2 2
P 3 3所以当 时， f (P) 取得最大值，即P(A | B)取得最大值.………………........15 分
2 2
18. n(1)将n 1,2,3代入an 2 3an 1 2an 2 求得a3 9，a4 25，a5 65 …...3 分
(2)由 an 2 3a 2a 2
n a a 2(a a ) 2nn 1 n 得 n 2 n 1 n 1 n ，等式两边同时除以2n，
an 2 a a a a可得 n 1 n 1 n 1，即 n 2
an 1 an 1 an
n n 1 n n 1 1…………………………6 分2 2 2 2
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an 1 a当 n 1时， nn 1 2 .2
a
n 1
an
所以 n 1 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列.……………. ………………...8 分 2
a a n 1
(3)由(2)知 n 1 nn 1 2 (n 1) 1，则an 1 an (n 1) 2 ……………………9 分2
当 n≥ 2 时由累加法得
an a1 2 2
0 3 21 4 22 n 2 n 2 ……………………………………….…11 分
1
等式两边同乘 2，得 2(an a1) 2 2 3 2
2 4 23 n 2 n 1 .
通过错位相减化简得a1 an 2 (2
1 22 2n 2 ) n 2n 1 ………………..……13 分
2 2(1 2
n 2 )
n 2n 1 (1 n) 2n 1
1 2
n 1
因为a1 1所以 an (n 1) 2 1 (n≥2) …………………………….….…15 分
当 n 1时上式也成立……………………………………………………………………16 分
a (n 1) 2n 1综上 n 1 .………………………………………………………..…..….17 分
19.(1) f (x) ex 2x 1,令 g(x) ex 2x 1，对其求导得 g (x) e x 2 0 恒成立，
即 g(x)在 R上单调递增.又 g(0) 0 ……………………………...……………...2 分
当 x 0 时， g(x) 0，即 f (x) 0，所以 f (x) 的单调递减区间是 ( ,0) .............3 分
当 x 0 时， g(x) 0，即 f (x) 0，所以 f (x) 的单调递增区间是 (0, ) .............4 分
(2)h(x) ex x，因为h(x) 在区间 (0, )上是“ k 倍区间函数”，则存在区间[a,b]，
使得h(x) 的值域是[ka,kb] (k 0) .
h (x) ex 1，当 x (0, )时，h (x) 0，所以h(x) 在 (0, )上单调递增.........5 分
h(a) ea a ka exx
则 ，即方程e x kx在 (0, )上有两个不同的根.即 k 1在b
h(b) e b kb x
(0, )上有两个不同的根.................................................................................................6 分
x x
令 I (x) e ，求导得 I (x) e (x 1) 2 ， I (x)在 (0,1)单调递减，在 (1, )单调递增，x x
在 x 1处取得极小值.........................................................................................................8 分
x x
当 x 0 e e时， ，当 x ， .使 y k 1与 y I (x)在 (0, )上
x x
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有两个不同的交点，则 k 1 I (1) ，所以 k e 1 ........................................................9 分
(3)假设函数 f (x) 在区间 (0, )内存在“2 倍区间”[a,b] .因为 f (x) 在 (0, )上单调
递增，所以
f (a) ea a2 a 2a ea a2 3a 0
，即 .f (b) eb b2 b 2b eb b2 3b 0
m(x) ex x2令 3x，则m(x) 0在 (0, )至少有两个根.....................................11 分
m (x) ex 2x 3，令n(x) ex 2x 3 x，n (x) e 2 0，所以n(x) 在 (0, )上
单调递增.n(0) 2 0，n(ln 2) e ln 2 2ln 2 3 2 0.69 1 0 ，所以存在唯一
x0 (0, ln 2) ，使得n(x0 ) 0
x
，即e 0 2x0 3 0
x
，则 e 0 3 2x0 ........................14 分
当0 x x0 时，有n(x) 0，即m (x) 0，所以m(x)在 (0, x0) 上单调递减；
当 x x0时，有n(x) 0，即m (x) 0，所以m(x)在 (x0 , ) 上单调递增.
所以m(x)在 x x0处取得极小值....................................................................................15 分
m(x ) e x0 x 2 3x x 20 0 0 0 5x0 3 ，函数 y x
2 5x 3 5 在 ( , ) 单调递减，因为
2
x0 ln 2
5
，所以 x20 5x0 3 (ln 2)
2 5ln 2 3 0.692 5 0.69 3 0.0261 0 .
2
所以m(x ) x20 0 5x0 3 0 ，即m(x) 0在 (0, )没有根，函数 f (x) 在区间 (0, )
内不存在“2 倍区间”........................................................................................................17 分
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