山东省东营市2025年中考数学真题试卷
一、单选题
1．（2025·东营）2025的相反数是（ ）
A．2025 B． C． D．
2．（2025·东营）下列计算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
3．（2025·东营）下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·东营）一次函数的函数值y随x的增大而减小，当时y的值可以是（ ）．
A．3 B．2 C．1 D．
5．（2025·东营）2025年是乙巳蛇年，“巳巳如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为（ ）．
A． B． C． D．
6．（2025·东营）如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（ ）米．
A． B． C． D．
7．（2025·东营）如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
8．（2025·东营）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点B处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在C处时距离地面的高度是（ ）．
A． B． C． D．
9．（2025·东营）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（2025·东营）如图，在中，，，点D在边上（与点B，C不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点G，连接，交于点Q．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ）．
A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④
二、填空题
11．（2025·东营）2024年国家统计局发布的一份报告中宣布，中国已成为世界上第一个拥有完整高铁网络并且运行的国家，中国高铁里程达到4.6万公里，居世界首位，将4.6万用科学记数法表示为 ．
12．（2025·东营）分解因式： ．
13．（2025·东营）电影《哪吒之魔童闹海》上映七天票房破45亿元，前七日综合票房分别是：4.9，4.8，6.2，7.3，8.1，8.4，8.6（亿元），那么这组数据的中位数是 亿元.
14．（2025·东营）若关于的方程无实根，则的取值范围是 ．
15．（2025·东营）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似．
16．（2025·东营）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为 ．
17．（2025·东营）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ．
18．（2025·东营）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……按照此规律继续下去，则的值为 ．
三、解答题
19．（2025·东营）
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中a是使不等式成立的正整数．
20．（2025·东营）劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展素质教育的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．为此，某校拟组建A（烹饪）、B（种植）、C（陶艺）、D（木雕）4个劳动小组，规定每个学生必须参加且只能参加一个小组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图：请根据信息，解决下列问题：
（1）参加这次调查的学生总人数为多少？将条形统计图补充完整；
（2）请计算扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角；
（3）若该校共有3600名学生，请根据调查结果，估计该校选择D小组的学生人数；
（4）若该校在A，B，C，D四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项目A和D的概率．
21．（2025·东营）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且，点E在DC的延长线上，且．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若，，求DA的长．
22．（2025·东营）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当时x的取值范围；
（3）点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标．
23．（2025·东营）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍．
（1）A、B两款玩偶的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？
24．（2025·东营）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
（1）【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系 ．
（2）【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由．
25．（2025·东营）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标；
（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，据此解答即可.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】
解：A、4a3、3a2不是同类项不能合并，故原计算错误，A不符合题意；
B、 (a-b)2=a2-2ab+b2， 故原计算错误，B不符合题意；
C、 a3.a4=a7， 故原计算错误，C不符合题意；
D、 a-4a-6=a2， 故原计算正确，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项法则4a3与3a2不是同类不能合并，可判断A；由完全平方公式得 (a-b)2=a2-2ab+b2，可判断B；根据同底数幂的乘法法则得a3.a4=a7可判断C；根据同底数幂的除法法则得 a-4a-6=a2，可判断C；逐一判断即可解答.
3．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：领奖台从左面看，为
，
故答案为：C．
【分析】
左视图是从几何体左面观察到的视图，由此解答即可．
4．【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数的函数值随自变量增大而减小
∴k<0，
当x=-1时，函数值为y=-k+2，
∵k<0，
∴y>2，
故答案为：A.
【分析】由一次函数的函数值随自变量增大而减小，得 k<0 ；当x=-1时，函数值为-k+2，即可由k<0，得到y>2，即可解答.
5．【答案】D
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】
解：总共有4张卡片，其中印有“巳”的卡片有2张.
∴抽取到的卡片上印有汉字“已”的概率为
故答案为：D.
【分析】根据概率的定义：抽取到的卡片上印有汉字“已”的概率为成功事件数与总事件数的比值，求解即可解答.
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，BC=ACtan=5tan (米)，
∵∠BAC=， AC=5米，
∴地毯的长度为BC+AC= ( 5tana+5) 米.
故答案为：B.
【分析】根据正切的定义得到：BC=ACtan=5tan；由地毯的长度为AC+BC的长代入数据即可解答.
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠BOD=130°，
∴A=∠BOD=x 130° =65°，
又∵四边形ABCD内接于 ，
∴∠BCD+∠A= 180° ，
又∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠A=65°，
故答案为：C.
【分析】先根据圆周角定理得到∠A=BOD，然后根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到∠DCE=∠A，即可解答.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；异侧一线三垂直全等模型；余角
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，则OEC=90°， BOC= 90° ，
BOD+COE = 90 ，
由题意可知，OA=OB =OC=2m，BD=1.6m， DF=1.3m， BD⊥OA，
∴BDO =90，
∴OD=
∴OF=OD+DF =1.2+1.3=2.5(m) ，
∵BDO=OEC = 90，
∴BOD +OBD= 90 ，
∴COE=OBD，
在OBD和 COE中，
∴OBDCOE(AAS)，
∴OE = BD=1.6m
∴EF =OF-OE =2.5-1.6= 0.9(m)，
即小丽在C处时距离地面的高度是0.9m.
故答案为：A.
【分析】 过点C作CE⊥OA于点E， 由题意可知，OA=OB=OC=2m， BD=1.6m， DF=1.3m， BD⊥OA，再由勾股定理得OD=1.2m，则OF =OD+DF=2.5m；然后利用AAS证明OBDCOE(AAS)，得OE = BD=l.6m，则EF =OF -OE =0.9m，即可解答.
9．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；二次函数-动态几何问题；相似三角形的性质-对应边；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
整理得：，
由图象可得点从点运动到点的过程中：
关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
∵抛物线过点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】
先根据矩形的性质表示出CE，再利用AA证明，可设，利用相似三角形的性质得到，整理得：，由图象得函数关系式为，从而即可得出的值，即可解答．
10．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-AAS；四边形的综合；同侧一线三垂直全等模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：①∵∠G=∠C=∠FAD=90°，
∴∠CAD=∠AFG.
∵AD=AF，
∴△FGA△ACD，
∴AC=FG，故①正确；
②∵FG=AC=BC，FG//BC，∠C=90°，
∴四边形CBFG为矩形，故②正确；
③∵CB=CA，∠C=∠CBF=90°，
∴∠ABC=∠ABF=45°，故③正确；
④∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD=EF：FQ，
∴AD·AF=AD2=FQ·AC，故④正确；
故答案为：C.
【分析】对于①，由∠G=∠C=∠FAD=90°，可得∠CAD=∠AFG，根据AD=AF，可判定△FGA≌△ACD，即可判断；对于②，根据FG=AC=BC，FG//BC，可四边形CBFG是平行四边形，再根据∠C=90°，即可判断四边形CBFG的形状，即可判断；对于③，根据CB=CA，∠C=∠CBF=90°，可分别求出∠ABC和∠ABF的度数，即可判断；对于④，根据∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，可得 △ACD∽△FEQ， 继而得 AC：AD=EF：FQ ，即可判断；逐一判断即可解答.
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 4.6万 =46000=
故答案为：.
【分析】 根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时只比原位数少1，解答即可.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2m(m2-6m+9)=，
故答案为：.
【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式2m，然后对m2-6m+9用完全平方公式分解，即可解答.
13．【答案】7.3
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据排序后，中间一个数据为7.3，
∴中位数为7.3；
故答案为：7.3．
【分析】利用中位数的定义及计算方法（将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。如果数据量是奇数，则中位数是正中间的那个数；如果数据量是偶数，则中位数是中间两个数的平均值）分析求解即可.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；方程的定义及分类；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解： 因为方程无实根，所以分两种情况讨论：
①当k=-1时，原方程无实数根，
②当k2-10时，原方程为一元二次方程；
∵方程无实根，
∴△=(k+1)2-4×(k2-1)×<0，即△=2k+2<0，
解得：kく-1；
综上，k的取值范围是k≤-1，
故答案为：.
【分析】因为方程无实根，所以分两种情况讨论：①当k=-1时，原方程无实数；②根根据一元二次方程无实数根的定义得：，列式计算即可解答.
15．【答案】3或
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【解答】解： ∵点D为中点，，
∴AD=2，
∵与以点A、D、E为顶点的三角形相似：
①当时，
∵，
∴，
∴，
②当时，
∵，
∴，
∴，
综上可知AE=3或，
故答案为：3或.
【分析】先由中点的定义得到AD=2，由题干与以点A、D、E为顶点的三角形相似，分和两种情况，利用相似三角形的性质计算即可解答.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；求余弦值
【解析】【解答】解：解：如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，
由题意：AB=8，HC=2，
设OA=x，则OC=x，
∴OH =x-2，
∵OH⊥AB，OC为半径，
∴AH = BH =AB
在Rt OAH中，由勾股定理得AH2+OH2=OA2，
∴42+(x-2）2=x2，
解得x=5，
∴OA=5，
∴cos∠OAB=，
故答案为：.
【分析】如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，利用垂径定理得AH=BH=4，再用勾股定理构构建方程组求出OA，OH，再利用余弦函数定义即可解答.
17．【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，在AC上截取AE=AN，连接ME，
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴EAM=∠NAM，
在AME与AMN中
AE=AN
∠EAM=∠NAM，
AM=AM
∴AMEAMN（SAS），
∴ME=MN，
∴BM+MN=BM+MEBE，
∵BM+MN有最小值，
∴当BE是点B到直线AC的距离，即BE⊥AC时，BM+MN最小，
又AB=6，∠BAC=30°，
∴BE=3，
∴的最小值是3.
故答案为：3.
【分析】在AC上截取AE=AN，连接ME，由角平分线的定义得EAM=∠NAM，即可由SAS证明AMEAMN，再根据BM+MN有最小值，可知当BE是点B到直线AC的距离，即BE⊥AC时，BM+MN最小，再利用30直角三角形的性质计算即可解答.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：如图，∵△CDE为等腰直角三角形，
∴DE=CE，∠CED= 90°，
CD2= DE2+CE2=DE2，
∴DE=
∵正方形的边长为2
∴DE==
∴面积标记为S1的正方形：边长为2，面积为：22；
面积标记为S2的正方形：边长为=，面积为：（）2；
面积标记为S3的正方形：边长为，面积为：（1）2；
面积标记为S4的正方形：边长为，面积为：（）2=；
面积标记为S5的正方形：边长为=，面积为：=；
面积标记为S6的正方形：边长为=，面积为：=；
……
以此类推，面积标记为S2025的正方形面积为：；
的值为.
故答案为：.
【分析】先根据等腰直角三角形的计算发现后面每一个正方形的边长=，即可表示出面积，发现第n个图标记的，计算即可解答.
19．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：
，
是使不等式成立的正整数，
且为正整数，
，2，3，
又，，
，3，，
，
当时，原式
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）；求正弦值；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】(1)先计算，再算0指数幂，再开方运算，在计算负指数幂，最后计算加减即可解答；
（2）分解a2-6a+9，同时将通分计算得到，化简后再进行约分计算得到，结合a是使不等式成立的正整数，选出符合实际意义的值代入计算即可解答.
20．【答案】（1）解：调查总人数为：（人）；
选择B人数为：（人）；
答：参加调查的总人数为180人，
补全条形图如下，
（2）解：，
答：B部分扇形所对应的圆心角为
（3）解：（人），
答：若该校共有3600名学生估计选择D小组的学生人数为500人．
（4）解：由题意，列表如下：
A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
共12种等可能的结果，其中，恰好选中项目A和D的结果有2种，
∴．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先找到B部分所占的比例，再计算圆心角的度数即可解答；
（2）先找到选择D小组的比例，再根据样本估计总体的运算乘以总数3600，计算即可解答；
（3）根据列表法求事件的概率，先列出表格得到共12种等可能的结果，其中，恰好选中项目A和D的结果有2种，再由概率公式计算即可解答.
21．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
是的直径，
，
，
，
，即，
，
又是的半径，
是的切线．
（2）解：如图：
∵，
设，则，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定定理即可解答；
（2）由可设，则，，再根据平行线截得的两个三角形相似证出，然后根据相似三角形的性质建立比例关系，求出的值，即可解答．
22．【答案】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2
∴将代入，
则，
∴反比例函数解析式为：，
∴将代入，
则，
∴，
将，代入，
则，
解得：
∴一次函数解析式为：
（2）或
（3）解：设与轴交于点，
当时，
∴
∴，
设，
∴
∵的面积为18，
∴
∴，
∴，即
解得：或
∴点C坐标为或．
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】
（2）∵，
∴观察图象，当时，的取值范围是或
故答案为：或.
【分析】(1)将代入，可求得反比例函数解析式为：，即可得，再将，代入即可得一次函数解析式为：，解答即可；
（2）由，观察图像 则一次函数的图象在反比例函数图象下方，即可写出x的取值范围，解答即可；
（3）现根据函数的解析式得到，设表示出 由的面积为18，建立关系求解得到t的值，可得到C的坐标，即可解答.
23．【答案】（1）解：设B款玩偶的单价是x元，由题意，得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
∴；
答：A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元；
（2）解：设购进款玩偶a个，则购进款玩偶个，由题意，得：
，
解得：，
∵为整数，
∴，
∴，
故共有4种方案．
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设B款玩偶的单价是x元，即可由题意列出分式方程，计算并检验即可解答；
（2）设购进款玩偶a个，则购进款玩偶个，由题意列出不等式组，计算即可解答.
24．【答案】（1）
（2）解：．理由如下：
如图，在上取，连接．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中， ，
∴，
∴．
∵，
∴．
（3）解：．理由如下：
如图，将绕点A逆时针旋转得，
∴．
∵，
∴，
∴E，D，C三点共线．
由（1）同理可得，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型；半角模型
【解析】【解答】
解：（1）．理由如下：
由旋转的性质，可知，，，，
∴，
∴E，B，C三线共线．
∵，
∴．
在和中， ，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：.
【分析】(1)由旋转的性质得，，，，即可判断E，B，C三线共线，可根据SAS证明得到，再利用全等三角形性质即可解答；
(2)在上取，连接，即可由SAS判定，再用SAS证明，即可解答.
(3)如图，将绕点A逆时针旋转得，由旋转的性质得到；同（1）的方法可用SAS证明，即可解答.
25．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
设抛物线的解析式为，
把代入解析式，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，即
（2）解：∵抛物线的解析式为：，
∴抛物线图象的对称轴为直线：，
设，
∵轴，
∴，
∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，
∴四边形是矩形，
∴四边形的周长
，
∵，
∴当时，四边形的周长最大，则，
∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为；
（3）解：P的坐标为或
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的两点距离公式；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】（3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，
∴，
由翻折得，
∵．
∴，
∴，
∵对称轴于H，
∴轴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵抛物线的解析式为：，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
将代入，则，
∴，
设，
∴，，，
分两种情况：
①当时，，
∴，
解得：，
∴；
②当时，，
∴
解得：，
∴点的坐标为；
综上，所有符合条件的点P的坐标为或．
【分析】(1)根据A，B的特征设设抛物线的解析式为，再用待定系数法求解析式把代入解析式，计算即可解答.
(2)先根据抛物线的解析式得到对称轴为：直线；设可由轴，得到；过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，根据矩形的性质表示出周长为，再结合二次函数的性质即可解答；
（3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，由翻折的性质得到，即可利用AAS证明，根据抛物线的图象得到对称轴和定点坐标：直线，即可利用全等三角形的性质计算得到，从而用待定系数法求得直线的解析式为：，设根据两点之间的距离公式表示出PQ2，BP2，BQ2再分两种情况：当时或当时，利用勾股定理计算即可解答.
1 / 1山东省东营市2025年中考数学真题试卷
一、单选题
1．（2025·东营）2025的相反数是（ ）
A．2025 B． C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，据此解答即可.
2．（2025·东营）下列计算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】
解：A、4a3、3a2不是同类项不能合并，故原计算错误，A不符合题意；
B、 (a-b)2=a2-2ab+b2， 故原计算错误，B不符合题意；
C、 a3.a4=a7， 故原计算错误，C不符合题意；
D、 a-4a-6=a2， 故原计算正确，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项法则4a3与3a2不是同类不能合并，可判断A；由完全平方公式得 (a-b)2=a2-2ab+b2，可判断B；根据同底数幂的乘法法则得a3.a4=a7可判断C；根据同底数幂的除法法则得 a-4a-6=a2，可判断C；逐一判断即可解答.
3．（2025·东营）下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：领奖台从左面看，为
，
故答案为：C．
【分析】
左视图是从几何体左面观察到的视图，由此解答即可．
4．（2025·东营）一次函数的函数值y随x的增大而减小，当时y的值可以是（ ）．
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数的函数值随自变量增大而减小
∴k<0，
当x=-1时，函数值为y=-k+2，
∵k<0，
∴y>2，
故答案为：A.
【分析】由一次函数的函数值随自变量增大而减小，得 k<0 ；当x=-1时，函数值为-k+2，即可由k<0，得到y>2，即可解答.
5．（2025·东营）2025年是乙巳蛇年，“巳巳如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】
解：总共有4张卡片，其中印有“巳”的卡片有2张.
∴抽取到的卡片上印有汉字“已”的概率为
故答案为：D.
【分析】根据概率的定义：抽取到的卡片上印有汉字“已”的概率为成功事件数与总事件数的比值，求解即可解答.
6．（2025·东营）如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，BC=ACtan=5tan (米)，
∵∠BAC=， AC=5米，
∴地毯的长度为BC+AC= ( 5tana+5) 米.
故答案为：B.
【分析】根据正切的定义得到：BC=ACtan=5tan；由地毯的长度为AC+BC的长代入数据即可解答.
7．（2025·东营）如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠BOD=130°，
∴A=∠BOD=x 130° =65°，
又∵四边形ABCD内接于 ，
∴∠BCD+∠A= 180° ，
又∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠A=65°，
故答案为：C.
【分析】先根据圆周角定理得到∠A=BOD，然后根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到∠DCE=∠A，即可解答.
8．（2025·东营）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点B处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在C处时距离地面的高度是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；异侧一线三垂直全等模型；余角
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，则OEC=90°， BOC= 90° ，
BOD+COE = 90 ，
由题意可知，OA=OB =OC=2m，BD=1.6m， DF=1.3m， BD⊥OA，
∴BDO =90，
∴OD=
∴OF=OD+DF =1.2+1.3=2.5(m) ，
∵BDO=OEC = 90，
∴BOD +OBD= 90 ，
∴COE=OBD，
在OBD和 COE中，
∴OBDCOE(AAS)，
∴OE = BD=1.6m
∴EF =OF-OE =2.5-1.6= 0.9(m)，
即小丽在C处时距离地面的高度是0.9m.
故答案为：A.
【分析】 过点C作CE⊥OA于点E， 由题意可知，OA=OB=OC=2m， BD=1.6m， DF=1.3m， BD⊥OA，再由勾股定理得OD=1.2m，则OF =OD+DF=2.5m；然后利用AAS证明OBDCOE(AAS)，得OE = BD=l.6m，则EF =OF -OE =0.9m，即可解答.
9．（2025·东营）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；二次函数-动态几何问题；相似三角形的性质-对应边；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
整理得：，
由图象可得点从点运动到点的过程中：
关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
∵抛物线过点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】
先根据矩形的性质表示出CE，再利用AA证明，可设，利用相似三角形的性质得到，整理得：，由图象得函数关系式为，从而即可得出的值，即可解答．
10．（2025·东营）如图，在中，，，点D在边上（与点B，C不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点G，连接，交于点Q．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ）．
A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-AAS；四边形的综合；同侧一线三垂直全等模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：①∵∠G=∠C=∠FAD=90°，
∴∠CAD=∠AFG.
∵AD=AF，
∴△FGA△ACD，
∴AC=FG，故①正确；
②∵FG=AC=BC，FG//BC，∠C=90°，
∴四边形CBFG为矩形，故②正确；
③∵CB=CA，∠C=∠CBF=90°，
∴∠ABC=∠ABF=45°，故③正确；
④∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD=EF：FQ，
∴AD·AF=AD2=FQ·AC，故④正确；
故答案为：C.
【分析】对于①，由∠G=∠C=∠FAD=90°，可得∠CAD=∠AFG，根据AD=AF，可判定△FGA≌△ACD，即可判断；对于②，根据FG=AC=BC，FG//BC，可四边形CBFG是平行四边形，再根据∠C=90°，即可判断四边形CBFG的形状，即可判断；对于③，根据CB=CA，∠C=∠CBF=90°，可分别求出∠ABC和∠ABF的度数，即可判断；对于④，根据∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，可得 △ACD∽△FEQ， 继而得 AC：AD=EF：FQ ，即可判断；逐一判断即可解答.
二、填空题
11．（2025·东营）2024年国家统计局发布的一份报告中宣布，中国已成为世界上第一个拥有完整高铁网络并且运行的国家，中国高铁里程达到4.6万公里，居世界首位，将4.6万用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 4.6万 =46000=
故答案为：.
【分析】 根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时只比原位数少1，解答即可.
12．（2025·东营）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2m(m2-6m+9)=，
故答案为：.
【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式2m，然后对m2-6m+9用完全平方公式分解，即可解答.
13．（2025·东营）电影《哪吒之魔童闹海》上映七天票房破45亿元，前七日综合票房分别是：4.9，4.8，6.2，7.3，8.1，8.4，8.6（亿元），那么这组数据的中位数是 亿元.
【答案】7.3
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据排序后，中间一个数据为7.3，
∴中位数为7.3；
故答案为：7.3．
【分析】利用中位数的定义及计算方法（将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。如果数据量是奇数，则中位数是正中间的那个数；如果数据量是偶数，则中位数是中间两个数的平均值）分析求解即可.
14．（2025·东营）若关于的方程无实根，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；方程的定义及分类；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解： 因为方程无实根，所以分两种情况讨论：
①当k=-1时，原方程无实数根，
②当k2-10时，原方程为一元二次方程；
∵方程无实根，
∴△=(k+1)2-4×(k2-1)×<0，即△=2k+2<0，
解得：kく-1；
综上，k的取值范围是k≤-1，
故答案为：.
【分析】因为方程无实根，所以分两种情况讨论：①当k=-1时，原方程无实数；②根根据一元二次方程无实数根的定义得：，列式计算即可解答.
15．（2025·东营）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似．
【答案】3或
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【解答】解： ∵点D为中点，，
∴AD=2，
∵与以点A、D、E为顶点的三角形相似：
①当时，
∵，
∴，
∴，
②当时，
∵，
∴，
∴，
综上可知AE=3或，
故答案为：3或.
【分析】先由中点的定义得到AD=2，由题干与以点A、D、E为顶点的三角形相似，分和两种情况，利用相似三角形的性质计算即可解答.
16．（2025·东营）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；求余弦值
【解析】【解答】解：解：如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，
由题意：AB=8，HC=2，
设OA=x，则OC=x，
∴OH =x-2，
∵OH⊥AB，OC为半径，
∴AH = BH =AB
在Rt OAH中，由勾股定理得AH2+OH2=OA2，
∴42+(x-2）2=x2，
解得x=5，
∴OA=5，
∴cos∠OAB=，
故答案为：.
【分析】如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，利用垂径定理得AH=BH=4，再用勾股定理构构建方程组求出OA，OH，再利用余弦函数定义即可解答.
17．（2025·东营）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，在AC上截取AE=AN，连接ME，
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴EAM=∠NAM，
在AME与AMN中
AE=AN
∠EAM=∠NAM，
AM=AM
∴AMEAMN（SAS），
∴ME=MN，
∴BM+MN=BM+MEBE，
∵BM+MN有最小值，
∴当BE是点B到直线AC的距离，即BE⊥AC时，BM+MN最小，
又AB=6，∠BAC=30°，
∴BE=3，
∴的最小值是3.
故答案为：3.
【分析】在AC上截取AE=AN，连接ME，由角平分线的定义得EAM=∠NAM，即可由SAS证明AMEAMN，再根据BM+MN有最小值，可知当BE是点B到直线AC的距离，即BE⊥AC时，BM+MN最小，再利用30直角三角形的性质计算即可解答.
18．（2025·东营）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……按照此规律继续下去，则的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：如图，∵△CDE为等腰直角三角形，
∴DE=CE，∠CED= 90°，
CD2= DE2+CE2=DE2，
∴DE=
∵正方形的边长为2
∴DE==
∴面积标记为S1的正方形：边长为2，面积为：22；
面积标记为S2的正方形：边长为=，面积为：（）2；
面积标记为S3的正方形：边长为，面积为：（1）2；
面积标记为S4的正方形：边长为，面积为：（）2=；
面积标记为S5的正方形：边长为=，面积为：=；
面积标记为S6的正方形：边长为=，面积为：=；
……
以此类推，面积标记为S2025的正方形面积为：；
的值为.
故答案为：.
【分析】先根据等腰直角三角形的计算发现后面每一个正方形的边长=，即可表示出面积，发现第n个图标记的，计算即可解答.
三、解答题
19．（2025·东营）
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中a是使不等式成立的正整数．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：
，
是使不等式成立的正整数，
且为正整数，
，2，3，
又，，
，3，，
，
当时，原式
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）；求正弦值；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】(1)先计算，再算0指数幂，再开方运算，在计算负指数幂，最后计算加减即可解答；
（2）分解a2-6a+9，同时将通分计算得到，化简后再进行约分计算得到，结合a是使不等式成立的正整数，选出符合实际意义的值代入计算即可解答.
20．（2025·东营）劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展素质教育的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．为此，某校拟组建A（烹饪）、B（种植）、C（陶艺）、D（木雕）4个劳动小组，规定每个学生必须参加且只能参加一个小组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图：请根据信息，解决下列问题：
（1）参加这次调查的学生总人数为多少？将条形统计图补充完整；
（2）请计算扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角；
（3）若该校共有3600名学生，请根据调查结果，估计该校选择D小组的学生人数；
（4）若该校在A，B，C，D四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项目A和D的概率．
【答案】（1）解：调查总人数为：（人）；
选择B人数为：（人）；
答：参加调查的总人数为180人，
补全条形图如下，
（2）解：，
答：B部分扇形所对应的圆心角为
（3）解：（人），
答：若该校共有3600名学生估计选择D小组的学生人数为500人．
（4）解：由题意，列表如下：
A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
共12种等可能的结果，其中，恰好选中项目A和D的结果有2种，
∴．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先找到B部分所占的比例，再计算圆心角的度数即可解答；
（2）先找到选择D小组的比例，再根据样本估计总体的运算乘以总数3600，计算即可解答；
（3）根据列表法求事件的概率，先列出表格得到共12种等可能的结果，其中，恰好选中项目A和D的结果有2种，再由概率公式计算即可解答.
21．（2025·东营）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且，点E在DC的延长线上，且．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若，，求DA的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
是的直径，
，
，
，
，即，
，
又是的半径，
是的切线．
（2）解：如图：
∵，
设，则，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定定理即可解答；
（2）由可设，则，，再根据平行线截得的两个三角形相似证出，然后根据相似三角形的性质建立比例关系，求出的值，即可解答．
22．（2025·东营）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当时x的取值范围；
（3）点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标．
【答案】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2
∴将代入，
则，
∴反比例函数解析式为：，
∴将代入，
则，
∴，
将，代入，
则，
解得：
∴一次函数解析式为：
（2）或
（3）解：设与轴交于点，
当时，
∴
∴，
设，
∴
∵的面积为18，
∴
∴，
∴，即
解得：或
∴点C坐标为或．
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】
（2）∵，
∴观察图象，当时，的取值范围是或
故答案为：或.
【分析】(1)将代入，可求得反比例函数解析式为：，即可得，再将，代入即可得一次函数解析式为：，解答即可；
（2）由，观察图像 则一次函数的图象在反比例函数图象下方，即可写出x的取值范围，解答即可；
（3）现根据函数的解析式得到，设表示出 由的面积为18，建立关系求解得到t的值，可得到C的坐标，即可解答.
23．（2025·东营）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍．
（1）A、B两款玩偶的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？
【答案】（1）解：设B款玩偶的单价是x元，由题意，得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
∴；
答：A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元；
（2）解：设购进款玩偶a个，则购进款玩偶个，由题意，得：
，
解得：，
∵为整数，
∴，
∴，
故共有4种方案．
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设B款玩偶的单价是x元，即可由题意列出分式方程，计算并检验即可解答；
（2）设购进款玩偶a个，则购进款玩偶个，由题意列出不等式组，计算即可解答.
24．（2025·东营）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
（1）【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系 ．
（2）【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：．理由如下：
如图，在上取，连接．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中， ，
∴，
∴．
∵，
∴．
（3）解：．理由如下：
如图，将绕点A逆时针旋转得，
∴．
∵，
∴，
∴E，D，C三点共线．
由（1）同理可得，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型；半角模型
【解析】【解答】
解：（1）．理由如下：
由旋转的性质，可知，，，，
∴，
∴E，B，C三线共线．
∵，
∴．
在和中， ，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：.
【分析】(1)由旋转的性质得，，，，即可判断E，B，C三线共线，可根据SAS证明得到，再利用全等三角形性质即可解答；
(2)在上取，连接，即可由SAS判定，再用SAS证明，即可解答.
(3)如图，将绕点A逆时针旋转得，由旋转的性质得到；同（1）的方法可用SAS证明，即可解答.
25．（2025·东营）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标；
（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
设抛物线的解析式为，
把代入解析式，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，即
（2）解：∵抛物线的解析式为：，
∴抛物线图象的对称轴为直线：，
设，
∵轴，
∴，
∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，
∴四边形是矩形，
∴四边形的周长
，
∵，
∴当时，四边形的周长最大，则，
∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为；
（3）解：P的坐标为或
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的两点距离公式；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】（3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，
∴，
由翻折得，
∵．
∴，
∴，
∵对称轴于H，
∴轴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵抛物线的解析式为：，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
将代入，则，
∴，
设，
∴，，，
分两种情况：
①当时，，
∴，
解得：，
∴；
②当时，，
∴
解得：，
∴点的坐标为；
综上，所有符合条件的点P的坐标为或．
【分析】(1)根据A，B的特征设设抛物线的解析式为，再用待定系数法求解析式把代入解析式，计算即可解答.
(2)先根据抛物线的解析式得到对称轴为：直线；设可由轴，得到；过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，根据矩形的性质表示出周长为，再结合二次函数的性质即可解答；
（3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，由翻折的性质得到，即可利用AAS证明，根据抛物线的图象得到对称轴和定点坐标：直线，即可利用全等三角形的性质计算得到，从而用待定系数法求得直线的解析式为：，设根据两点之间的距离公式表示出PQ2，BP2，BQ2再分两种情况：当时或当时，利用勾股定理计算即可解答.
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