课后作业(五十九) 随机事件与概率
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共96分
一、单项选择题
1．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
2．经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有( )
A．64个 B．640个
C．16个 D．160个
3．(2024·湖南学业考试)某环保志愿者计划从甲、乙、丙、丁四个社区中随机选择一个社区进行“垃圾分类”宣讲，则该志愿者选择甲社区的概率为( )
A． B．
C． D．
4．在手工课上，老师将5个环(颜色分别为蓝、黑、红、黄、绿)分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学加工制作，每人分得一个，则事件“甲分得红环”与“乙分得红环”( )
A．是对立事件
B．是不可能事件
C．是互斥但不是对立事件
D．不是互斥事件
5．(2024·广东汕头二模)袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
341 332 341 144 221 132 243 331 112
342 241 244 342 142 431 233 214 344
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为( )
A． B．
C． D．
6．(教材改编)甲、乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每人从第二层开始，在每一层离开电梯是等可能的，则甲、乙两人离开电梯的楼层数的和是8的概率为( )
A． B．
C． D．
7．(2024·浙江金华十校联考)袋子中有5个质地完全相同的球，其中2个是白球，3个是红球，从中不放回地依次随机摸出两个球，记A＝“第一次摸到红球”，B＝“第二次摸到红球”，则以下说法正确的是( )
A．P(A)＋P(B)＝P(A∩B)
B．P(A)·P(B)＝P(A∪B)
C．P(A)＝P(B)
D．P(A∪B)＋P(A∩B)<1
8．(2025·湖南长沙模拟)将编号为1，2，3，4的4个小球随机放入编号为1，2，3，4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．(2024·河北沧州一模)某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件A：只参加科技游艺活动；事件B：至少参加两种科普活动；事件C：只参加一种科普活动；事件D：一种科普活动都不参加；事件E：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是( )
A．A与D是互斥事件
B．B与E是对立事件
C．E＝C∪D
D．A＝C∩E
10．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(单位：分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示：
所需时间/分钟 30 40 50 60
线路一 0.5 0.2 0.2 0.1
线路二 0.3 0.5 0.1 0.1
则下列说法正确的是( )
A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B．线路一所需的平均时间比线路二少
C．如果要求用不超过40分钟的时间从家赶到公司，小张应该走线路一
D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04
11．(2025·河南郑州模拟)素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数k，存在无穷多个素数对．其中当k＝1时，称为“孪生素数”，k＝2时，称为“表兄弟素数”．在不超过40的素数中，任选两个不同的素数p，q(p
A．P
B．P
C．P>P
D．P三、填空题
12．已知花博会有四个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 ________．
13．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
四、解答题
14．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如表所示：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费/元 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如表所示的统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
15．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25 ℃，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高 气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
1 / 5课后作业(五十九)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．B [由题意知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4．]
2．
C [因为市场上食用油合格率为80%，所以市场上食用油不合格率为1－80%＝20%．又市场上的食用油大约有80个品牌，所以不合格的食用油品牌大约有80×20%＝16(个)．故选C．]
3．A [因为某环保志愿者计划从甲、乙、丙、丁四个社区中随机选择一个社区进行“垃圾分类”宣讲，共有四种选择方法：甲、乙、丙、丁，所以该志愿者选择甲社区的概率为．故选A．]
4．C [甲、乙不可能同时得到红环，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红环，即事件“甲或乙分得红环”不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．故选C．]
5．D [18组随机数中，满足条件的有221，132，112，241，142，
所以估计恰好抽取三次就停止的概率P＝．故选D．]
6．C [记事件A＝“甲、乙两人离开电梯的楼层数的和是8”，两个人各有6种不同的下法，故共有36个样本点，事件A包含两人分别从2楼和6楼下，3楼和5楼下，均从4楼下，共有2＋2＋1＝5(个)样本点，所以P(A)＝．]
7．C [P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝P(B)，C正确； P(A∩B)＝，则P(A)＋P(B)≠P(A∩B)，A错误；
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝，则P(A)·P(B)≠P(A∪B)，B错误； P(A∪B)＋P(A∩B)＝>1，D错误．故选C．]
8．B [将编号为1，2，3，4的4个小球随机放入编号为1，2，3，4的4个凹槽中，共有＝24(种)放法，
恰有2个凹槽与其放入小球编号相同的有＝6(种)放法，4个凹槽与其放入小球编号相同的有1种放法，
所以至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是P＝．故选B．]
9．ABC [根据题意，依次分析选项：
对于A，事件A与事件D不会同时发生，A与D是互斥事件，A正确；
对于B，事件B：至少参加两种科普活动，其对立事件为至多参加一种科普活动，B正确；
对于C，事件C：只参加一种科普活动；事件D：一种科普活动都不参加；事件E：至多参加一种科普活动，E＝C∪D，C正确；对于D，C∩E＝C，D错误．故选ABC．]
10．BD [“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以A错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(分钟)，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(分钟)，所以线路一所需的平均时间比线路二少，所以B正确；线路一所需时间不超过40分钟的概率为0.7，线路二所需时间不超过40分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以C错误；所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50，60)，(60，50)和(60，60)三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，所以D正确．]
11．ABC [由题设，不超过40的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37共12个，
从中任意取两个不同的素数p、q：
p＝2有11个；p＝3有10个；p＝5有9个；
p＝7有8个；p＝11有7个；p＝13有6个；p＝17有5个； p＝19有4个；p＝23有3个；p＝29有2个；p＝31有1个；所以共有11＋10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝66(个)样本点；
A＝{(3，5)，(5，7)，(11，13)，(17，19)，(29，31)}共5个样本点；
B＝{(3，7)，(7，11)，(13，17)，(19，23)}共4个样本点；
C＝{(2，3)，(2，5)，(3，5)，(3，7)，(5，7)，(7，11)，(11，13)，(13，17)，(17，19)，(19，23)，}
共11个样本点；
所以P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
显然P≠P故选ABC．]
12． [甲选2个去参观，有＝6(种)，乙选2个去参观，有＝6(种)，共有6×6＝36(种)，
若甲、乙恰有一个馆相同，则选定相同的馆有＝4(种)，然后从剩余3个馆中选2个进行排列，有＝6(种)，共有4×6＝24(种)，则对应概率P＝．]
13． [根据题意，从正方体的8个顶点中任取4个，有n＝＝70(种)结果，这4个点在同一个平面的有m＝6＋6＝12(种)，故所求概率P＝．]
14．解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2．由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55．
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4．由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3．
(3)由所给数据得
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a．
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a．
[B组 在综合中考查关键能力]
15．解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃，由表格数据知，最高气温低于25 ℃的频率为＝0．6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0．6．
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25 ℃，则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于20 ℃，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100．
所以Y的所有可能值为900，300，－100．
Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8．
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