培优训练(五)
1．A [由已知可知cos C＝＝，当且仅当AC＝时等号成立，所以0
2．A [由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc＝4≥2bc－bc(当且仅当b＝c时取等号)，
∴bc≤＝4＝8＋4，
∴S△ABC＝bc sin A＝bc≤2＋，
∴△ABC面积的最大值为2＋.故选A.]
3．B [AD为中线，则2＝，
两边平方得4＝＋2，
所以4×()2＝b2＋c2＋2bc cos ，
所以12＝b2＋c2＋bc≥3bc，所以bc≤4，
当且仅当b＝c时取等号，
则S△ABC＝bc sin A＝bc≤.故选B.]
4．A [∵a sin B cos C＋c sin B cos A＝b，
∴sin A sin B cos C＋sin C sin B cos A＝sin B，
∵sin B≠0，
∴sin A cos C＋sin C cos A＝，
∴sin B＝.
∵a>b，∴A>B，∴B＝.
∴2a＋c＝4sin A＋2sin C＝4sin A＋2sin
＝5sin A＋cos A＝2sin ，
∴2a＋c的最大值为2.故选A.]
5．B [由正弦定理可得sin A cos C－cos A sin C＝sin C，即sin (A－C)＝sin C，∵0∴1<2sin <.
故选B.]
6．A [因为3a2＋3b2＝7c2，所以a2＋b2＝c2≥2ab，
则，cos C＝＝＝，
从而cos 2C＝2cos2C－1≥2×－1＝－，
当且仅当a＝b时，等号成立，故cos2C有最小值，且最小值为－.
故选A.]
7．ABC [选项A，若A＝，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得12＝24－bc，所以bc＝12，
则三角形的面积S＝bc sin A＝×12×＝3，A正确；
选项B，由基本不等式可得24＝b2＋c2≥2bc，即bc≤12，
当且仅当b＝c＝2时，等号成立，
由余弦定理的推论可得cos A＝＝＝，
则S＝bc sin A＝bc
＝＝3，B正确；
选项C，因为BC边上的中点为M，所以＝，
而a2＝b2＋c2－2bc cosA，即12＝24－2bc cos A，则bc cos A＝6，
所以
＝
＝
＝＝3，C正确；
选项D，因为24＝b2＋c2≥2bc，即bc≤12，
所以由余弦定理的推论得cos A＝＝＝，
又08．AB [由a－b＝2b cos C，可得
sin A－sin B＝2sin B cos C，
即sin (B＋C)－2sin B cos C＝sin B，
即有sin C cos B－cos C sin B＝sin (C－B)＝sin B，
因为△ABC为锐角三角形，
所以C－B＝B，即C＝2B，故A正确，C错误；
由0而＝＝＝2cos B∈()，故D错误．
故选AB.]
9．4 [因为a＝4，且＝sin C，
由正弦定理得＝c，化简得b2＋c2－a2＝bc，
故cos A＝＝，所以A＝60°.
又因为a2＝b2＋c2－2bc cos A，即16＝b2＋c2－bc≥bc，
所以bc≤16，当且仅当b＝c＝4时取等号．
故S△ABC＝bc sin 60°≤4.]
10． [由a cos B＝c sin A及正弦定理得
sin A cos B＝sin C sin A，
因为A∈(0，π)，可得sin A≠0，
所以sin C＝cos B，则C＝－B或C＝＋B.
当C＝－B时，可得A＝，与△ABC是钝角三角形矛盾，所以C＝＋B，
由则A＝－2B>0，可得0所以sin A＋sin B＝sin sin B＝cos 2B＋sin B＝－2sin2B＋sin B＋1＝－2＋，
所以当sin B＝时，sin A＋sin B取得最大值.]
11．解： (1)因为cos B＝，由正弦定理可得
cos B＝，
则2sin C cos B＝sin A－sin C＝sin (B＋C)－sin C＝sin B cos C＋sin C cos B－sin C，
整理得sin C＝sin B cos C－sin C cos B＝sin (B－C)，
因为B，C∈，则B－C∈，则C＝B－C，即B＝2C，
由A＝，得B＋C＝3C＝π，则C＝π，B＝π.
(2)因为△ABC是锐角三角形，
则解得则由正弦定理得＝，得b＝＝＝8cos C，
可得412．解：(1)证明：因为b sin B＋c sin C－a sin A＝2b sin B sin C，
由正弦定理得，b2＋c2－a2＝2bc sin B，由余弦定理得b2＋c2－a2＝2bc cos A＝2bc sin B，
所以cos A＝sin B，又cos A＝sin ，所以sin ＝sin B.
又0所以A＋B＝或B＝A＋，
又C≠，所以A＋B＝π－C≠，所以B＝A＋，得证．
(2)由(1)知B＝A＋，所以C＝π－A－B＝－2A，
又cos A＝sin B，所以cos A＋sin B＋sin C＝2sin B＋sin C＝2sin ＋sin
＝2cos A＋cos 2A＝2cos2A＋2cosA－1＝2－，
因为所以0所以令cos A＝t，t∈.
因为函数y＝2－在上单调递增，
所以2－＝<2－<2－＝3，
所以cos A＋sin B＋sin C的取值范围为.
13．解：(1)由正弦定理，得＝，
即c2＋b2－a2＝bc，
故cos A＝＝＝，
因为cos A>0，所以A∈，
所以sin A＝＝＝，
所以tanA＝2.
(2)①由(1)知sin A＝，
因为△ABC的面积为，
所以bc sin A＝，解得bc＝8，
由于＝，所以
＝
＝(c2＋b2＋2bc cos A)＝
≥＝bc＝，
当且仅当b＝c时，等号成立，
所以||2≥ ，
故AE的最小值为.
②因为AD为角A的平分线，
所以sin ∠BAD＝sin ∠CAD＝A，
因为S△ADB＋S△ADC＝S△ABC，
所以AD·c sin AD·b sin ＝bc sin A＝bc sin cos ，
因为sin ≠0，所以AD(c＋b)＝2bc cos ，
因为cos A＝2cos2－1＝ cos2＝ cos＝，
又bc＝8，所以AD(c＋b)＝2bc cos＝2×8×＝，
由基本不等式得b＋c≥2＝4，当且仅当b＝c时，等号成立，
故＝AD(c＋b)≥2AD＝4AD，
故AD≤，
故AD的最大值为.
3 / 6培优训练(五) 与三角形有关的范围(最值)问题
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分
一、单项选择题
1．在△ABC中，BC＝2AB＝2，则角C的取值范围为( )
A． B．
C． D．
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝2，A＝30°，则△ABC面积的最大值为( )
A．2＋ B．3＋2
C．4＋2 D．2＋2
3．在△ABC中，A＝，BC边上的中线AD＝，则△ABC面积的最大值为( )
A．2 B．
C． D．
4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin B cos C＋csin B cos A＝b，b＝，a>b，则2a＋c的最大值为( )
A．2 B．3
C．2 D．3
5．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a cos C－c cos A＝c，则sin A＋cos 2C的取值范围是( )
A．(0，2] B．(1，)
C．(，2] D．(－，0)
6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a2＋3b2＝7c2，则( )
A．cos 2C有最小值，且最小值为－
B．cos 2C有最小值，且最小值为
C．cos 2C有最大值，且最大值为－
D．cos 2C有最大值，且最大值为
二、多项选择题
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设BC边上的中点为M，△ABC的面积为S，其中a＝2，b2＋c2＝24，下列选项正确的是( )
A．若A＝，则S＝3
B．S的最大值为3
C．AM＝3
D．角A的最小值为
8．锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a－b＝2b cos C，则( )
A．C＝2B
B．B的取值范围是
C．B＝2C
D．的取值范围是
三、填空题
9．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝4，且＝sin C，则△ABC面积的最大值为________．
10．(2025·山西太原模拟)钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B＝c sin A，则sin A＋sin B的最大值是________．
四、解答题
11．(2025·浙江杭州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos B＝.
(1)若A＝，求B；
(2)若△ABC是锐角三角形，且c＝4，求b的取值范围．
12．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin B＋c sin C－a sin A＝2b sin B sin C且C≠.
(1)求证：B＝A＋；
(2)求cos A＋sin B＋sin C的取值范围．
13．(2025·湖北武汉模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
(1)求tan A；
(2)若△ABC的面积为.
①E为BC的中点，求△ABC底边BC上中线AE长的最小值；
②求内角A的平分线AD长的最大值．
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