第4课时 基本不等式
[考试要求] 1．了解基本不等式的推导过程．2．会用基本不等式解决简单的最值问题．
1．基本不等式：
(1)基本不等式成立的条件：__________．
(2)等号成立的条件：当且仅当____时取等号．
(3)其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
(1)x＋y≥2，若xy等于定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值(简记：积定和最小)．
(2)xy≤，若x＋y等于定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值 (简记：和定积最大)．
提醒：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”．
[常用结论]
几个重要的不等式
当且仅当a＝b时等号成立．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是相同的． ( )
(2)若a>0，则a3＋的最小值为2． ( )
(3)函数f (x)＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值为4． ( )
(4)“x＞0且y＞0”是“≥2”的充要条件． ( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P45例2改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77 C．81 D．82
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．(人教A版必修第一册P48习题2.2T1(1)改编)已知x>2，则x＋的最小值是( )
A．1 B．2
C．2 D．4
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
3．(多选)(人教A版必修第一册P46练习T2改编)若a，b∈R，则下列不等式成立的是( )
A．≥2 B．ab≤
C．
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
4．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T5改编)若x＞0，y＞0，且xy＝x＋y＋3，则xy的取值范围是________，x＋y的取值范围是________．
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
考点一 直接用基本不等式求和或积的最值
[典例1] (1)(2025·湖北武汉模拟)已知正数a，b满足a＋2b＝1，则( )
A．ab≥ B．ab>
C．0
(2)(多选)下列函数中最小值为2的是( )
A．y＝x2＋2x＋3 B．y＝
C．y＝2x＋21-x D．y＝ln x＋
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
利用基本不等式求最值的原则及注意点
(1)原则：积定和最小，和定积最大；
(2)注意点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备．
[跟进训练]
1．(1)已知4a2＋b2＝6，则ab的最大值为( )
A．
C． D．3
(2)(人教A版必修第一册P46练习T4改编)已知0A．8 B．16
C．2 D．4
(3)已知x>0，y>0，且x＋2y＝1，则2x＋4y的最小值是________．
考点二 配凑法求最值
[典例2] (1)若x<，则函数f (x)＝3x＋1＋有( )
A．最大值0 B．最小值9
C．最大值－3 D．最小值－3
(2)已知0＜x＜，则x的最大值为________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
常见的配凑法求最值模型
(1)模型一：mx＋≥2(m>0，n>0，x＞0)，当且仅当x＝时等号成立；
(2)模型二：mx＋＝m(x－a)＋＋ma≥2＋ma(m>0，n>0，x＞a)，当且仅当x－a＝时等号成立．
提醒：常用配凑手段有添加项、拆项、调整参数、分离参数等．
[跟进训练]
2．(1)(2024·河北唐山一模)已知函数f ＝，则f 的最小值为( )
A．0 B．2
C．2 D．3
(2)(2025·湖南长沙模拟)若实数x>2y>0，则的最小值为________，此时＝________．
考点三 常数代换法
[典例3] (2025·江西重点高中联考)已知x，y为正实数，且x＋y＝1，则的最小值为( )
A．2＋1 B．2－1
C．2＋5 D．2－5
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
“1”的妙用
(1)乘“1”法是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形后达到运用基本不等式的条件，即积为定值．主要解决形如“已知x＋y＝t(t为非零常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值．
(2)常数“1”的代换，即把求解目标中的常数代数化，化为形如求“的最值”问题，进而可以使用基本不等式达到解题的目的．
[跟进训练]
3．(1)已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为________．
(2)已知正数a，b满足a＋2b＝3，则的最小值为________．
考点四 换元、消元法求最值
[典例4] (1)(2024·浙江嘉兴二模)若正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，则x＋y的最小值是( )
A．
C．2 D．2
(2)已知a>1，b>＝1，则的最大值为________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值．
[跟进训练]
4．(1)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小值是( )
A．4 B．5
C．7 D．9
(2)(2025·山东省实验中学模拟)设m，n为正数，且m＋n＝2，则的最小值为________．
6/6第4课时 基本不等式
[考试要求] 1．了解基本不等式的推导过程．2．会用基本不等式解决简单的最值问题．
1．基本不等式：
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
(1)x＋y≥2，若xy等于定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值(简记：积定和最小)．
(2)xy≤，若x＋y等于定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值 (简记：和定积最大)．
提醒：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”．
[常用结论]
几个重要的不等式
当且仅当a＝b时等号成立．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是相同的． ( )
(2)若a>0，则a3＋的最小值为2． ( )
(3)函数f (x)＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值为4． ( )
(4)“x＞0且y＞0”是“≥2”的充要条件． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P45例2改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77 C．81 D．82
C [因为x＞0，y＞0，所以xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C．]
2．(人教A版必修第一册P48习题2.2T1(1)改编)已知x>2，则x＋的最小值是( )
A．1 B．2
C．2 D．4
D [∵x>2，∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立．故选D．]
3．(多选)(人教A版必修第一册P46练习T2改编)若a，b∈R，则下列不等式成立的是( )
A．≥2 B．ab≤
C．
BC [当<0时，A不成立；当ab<0时，D不成立．由a2＋b2≥2ab，得ab≤，B正确；＝≥0，则，C正确．故选BC．]
4．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T5改编)若x＞0，y＞0，且xy＝x＋y＋3，则xy的取值范围是________，x＋y的取值范围是________．
[9，＋∞) [6，＋∞) [由x>0，y>0，则xy＝x＋y＋3可化为
xy－3＝x＋y≥2，即－2－3≥0，
解得≤－1(舍去)或≥3，
当且仅当x＝y＝3时取“＝”，故xy的取值范围是[9，＋∞)．
又x＋y＋3＝xy≤，
∴(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，
解得x＋y≤－2(舍去)或x＋y≥6，
当且仅当x＝y＝3时取“＝”，故x＋y的取值范围是[6，＋∞)．]
考点一 直接用基本不等式求和或积的最值
[典例1] (1)(2025·湖北武汉模拟)已知正数a，b满足a＋2b＝1，则( )
A．ab≥ B．ab>
C．0(2)(多选)下列函数中最小值为2的是( )
A．y＝x2＋2x＋3 B．y＝
C．y＝2x＋21-x D．y＝ln x＋
(1)C (2)AB [(1)由题意得，a>0，b>0，则ab>0, a＋2b＝1≥2，即0当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时等号成立．故选C．
(2)A项，y＝x2＋2x＋3＝＋2≥2，故A正确；
B项，在y＝中，>0，所以y＝≥2＝2，当且仅当＝1时，等号成立，故B正确；
C项，2x>0，21-x>0，故y＝2x＋21-x＝2x＋≥2＝2，当且仅当＝2，即x＝时等号成立，C错误；
D项，x>0，ln x∈R，故D错误．故选AB．]
【教用·备选题】
(2025·浙江台州模拟)已知a，b为正实数，＝1，则( )
A．ab的最小值为4 B．ab的最大值为4
C．ab的最小值为2 D．ab的最大值为2
A [因为a，b为正实数，由＝1可得1＝≥2×＝，
即得ab≥4，当且仅当＝时取等号，
即a＝2，b＝时，ab的最小值为4．
故选A．]
利用基本不等式求最值的原则及注意点
(1)原则：积定和最小，和定积最大；
(2)注意点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备．
[跟进训练]
1．(1)已知4a2＋b2＝6，则ab的最大值为( )
A．
C． D．3
(2)(人教A版必修第一册P46练习T4改编)已知0A．8 B．16
C．2 D．4
(3)已知x>0，y>0，且x＋2y＝1，则2x＋4y的最小值是________．
(1)B (2)D (3)2 [(1)由题意得，6＝4a2＋b2＝＋b2≥2·2a·b，即ab≤，当且仅当2a＝b，即a＝，b＝或a＝－，b＝－时等号成立，所以ab的最大值为．故选B．
(2)因为00，4－x2>0，
故x2＝4，当且仅当x2＝4－x2，即x＝时，等号成立，故x2的最大值为4．故选D．
(3)由于2x>0，4y>0，所以2x＋4y≥2＝2＝2，当且仅当x＝2y＝时等号成立．]
考点二 配凑法求最值
[典例2] (1)若x<，则函数f (x)＝3x＋1＋有( )
A．最大值0 B．最小值9
C．最大值－3 D．最小值－3
(2)已知0＜x＜，则x的最大值为________．
(1)C (2) [(1)因为x<，故3x－2<0，f ＝3x＋1＋＝3x－2＋＋3
＝－＋3≤－2＋3＝－3，
当且仅当－＝，即x＝－时取等号，即f (x)＝3x＋1＋有最大值－3．故选C．
(2)∵0＜x＜，∴1－2x2＞0，
x＝＝
≤＝．
当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝时等号成立．]
常见的配凑法求最值模型
(1)模型一：mx＋≥2(m>0，n>0，x＞0)，当且仅当x＝时等号成立；
(2)模型二：mx＋＝m(x－a)＋＋ma≥2＋ma(m>0，n>0，x＞a)，当且仅当x－a＝时等号成立．
提醒：常用配凑手段有添加项、拆项、调整参数、分离参数等．
[跟进训练]
2．(1)(2024·河北唐山一模)已知函数f ＝，则f 的最小值为( )
A．0 B．2
C．2 D．3
(2)(2025·湖南长沙模拟)若实数x>2y>0，则的最小值为________，此时＝________．
(1)C (2)2＋2 2＋ [(1)由已知得x>2，
所以f ＝＝＝≥2，
当且仅当＝，即x＝4时等号成立，
则f 的最小值为2．故选C．
(2)＝＝＋2≥2＋2＝2＋2，
当且仅当＝3y2，即x＝y时，等号成立．此时＝2＋．]
【教用·备选题】
1．设x>2，则函数y＝4x－1＋的最小值为( )
A．7 B．8
C．14 D．15
D [因为x>2，所以x－2>0，
所以y＝4x－1＋＝4＋7≥2＋7＝15，
当且仅当4＝，即x＝3时等号成立，
所以函数y＝4x－1＋的最小值为15．故选D．]
2．函数 f ＝的最大值为________．
1－2 [因为x<0，则－x>0，
所以f ＝＝2x＋＋1＝－＋1
≤－2＋1＝1－2，
当且仅当－2x＝，即x＝－时等号成立，
所以f 的最大值为1－2．]
3．若x＞0，y＞0且x＋y＝xy，则的最小值为________．
3＋2 [因为x＞0，y＞0且x＋y＝xy，
则xy＝x＋y＞y，即有x＞1，同理y＞1，
由x＋y＝xy得，(x－1)(y－1)＝1，
于是得＝1＋＋2＋＝3＋≥3＋2
＝3＋2，当且仅当＝，
即x＝1＋，y＝1＋时取“＝”，
所以的最小值为3＋2．]
考点三 常数代换法
[典例3] (2025·江西重点高中联考)已知x，y为正实数，且x＋y＝1，则的最小值为( )
A．2＋1 B．2－1
C．2＋5 D．2－5
C [因为x＋y＝1，则＝＝＝，
由于＝＝＋3＋2＋＝＋5≥2＋5＝2＋5，
当且仅当即 时，等号成立，
所以的最小值为2＋5．故选C．]
“1”的妙用
(1)乘“1”法是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形后达到运用基本不等式的条件，即积为定值．主要解决形如“已知x＋y＝t(t为非零常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值．
(2)常数“1”的代换，即把求解目标中的常数代数化，化为形如求“的最值”问题，进而可以使用基本不等式达到解题的目的．
[跟进训练]
3．(1)已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为________．
(2)已知正数a，b满足a＋2b＝3，则的最小值为________．
(1)72 (2) [(1)∵8a＋4b＝ab，a>0，b>0，∴＝1，
∴8a＋b＝(8a＋b)
＝＋40≥2＋40＝72，
当且仅当＝，即a＝6，b＝24时取等号．
(2)由a＋2b＝3得(a＋1)＋2b＝4，
于是＝
＝≥＝，
当且仅当＝，且a>0，b>0，
即a＝，b＝时，等号成立．所以的最小值为．]
考点四 换元、消元法求最值
[典例4] (1)(2024·浙江嘉兴二模)若正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，则x＋y的最小值是( )
A．
C．2 D．2
(2)已知a>1，b>＝1，则的最大值为________．
(1)A (2) [(1)由x2－2xy＋2＝0可得y＝，
∴x＋y＝x＋＝≥2＝，
当且仅当＝，即x＝时，等号成立，此时y＝>0符合题意．
所以x＋y的最小值为．故选A．
(2)令＝x，＝y，
则x>0，y>0，a＝，b＝，x＋2y＝1，
所以x＋1＋2y＋2＝4，
所以＝＝＝3－＝3－＝3－≤3－＝，
当且仅当x＝，y＝，即a＝4，b＝2时等号成立．]
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值．
[跟进训练]
4．(1)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小值是( )
A．4 B．5
C．7 D．9
(2)(2025·山东省实验中学模拟)设m，n为正数，且m＋n＝2，则的最小值为________．
(1)C (2) [(1)因为xy＋x－2y＝4，故(y＋1)x＝4＋2y，
即x＝＝2＋，
故2x＋y＝4＋＋y＋1－1≥4＋2－1＝7，当且仅当＝y＋1，即x＝3，y＝1时取等号．故选C．
(2)令a＝m＋1，b＝n＋2，则a＋b＝5，且1又＝＋1，
而＝＝＝，
当且仅当a＝b＝时等号成立，
故的最小值为．]
课后作业(四) 基本不等式
一、单项选择题
1．(2025·福建厦门模拟)已知x>0，y>0，且4x＋9y＝6，则xy的最大值为( )
A．
C．1 D．2
A [xy＝＝，当且仅当x＝，y＝时取等号．即xy的最大值为．故选A．]
2．若x>0，y>0，3x＋2y＝1，则8x＋4y的最小值为( )
A． B．2
C．3 D．4
B [8x＋4y＝23x＋22y≥2＝2＝2，
当且仅当23x＝22y且3x＋2y＝1，即x＝，y＝时等号成立．故选B．]
3．已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则的最小值为( )
A．4 B．4
C．6 D．2＋3
D [因为x>0，y>0，且2x＋y＝1，
所以＝＝＝＋3≥2＋3＝2＋3，
当且仅当＝，即x＝，y＝－1时取等号．
故选D．]
4．已知a>1，则a＋的最小值是( )
A．9 B．10
C．12 D．6
A [∵a>1，∴a－1>0，
由a＋＝a－1＋1＋＝a－1＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当a－1＝，即a＝3时等号成立．故选A．]
5．(2025·江苏南通模拟)设m∈R，下列选项中，>2的充要条件是( )
A．m≠0 B．m≠1
C．m2≠1 D．m3≠m
D [令y＝m＋，
当m>0时，y＝m＋≥2＝2，当且仅当m＝，即m＝1时，取等号，
当m<0时，y＝－≤－2＝－2，当且仅当－m＝，即m＝－1时，取等号，
所以y≥2或y≤－2，当且仅当m＝±1时取等号，故>2的充要条件是m≠±1且m≠0，故选D．]
6．(2025·湖北武汉模拟)已知a>0，b>0，2a＋b＝ab，则的最小值为( )
A．4 B．6
C．4 D．3＋2
D [由a>0，b>0，2a＋b＝ab，a＝>0，即b>2，易知a>1，
所以＝＋a＝3＋＋a－1≥3＋2＝3＋2，
当且仅当a＝＋1时等号成立，此时b＝2＋，
所以的最小值为3＋2．故选D．]
二、多项选择题
7．(2024·浙江绍兴二模)已知a>0，b>0，a＋b＝ab，则( )
A．a>1且b>1 B．ab≥4
C．a＋4b≤9 D．>1
ABD [对于A，a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＝>0，故b>1，同理可得a>1，A正确；对于B，a>0，b>0，ab＝a＋b≥2，∴ab≥4，
当且仅当a＝b＝2时取等号，B正确；
对于C，a>0，b>0，a＋b＝ab，则＝1，
则a＋4b＝＝1＋＋4≥5＋2＝9，
当且仅当即a＝3，b＝时取等号，C错误；
对于D，由于b>0，故＝＝b－1＋≥2－1＝1，
当且仅当b＝1时取等号，而b>1，故>1，D正确，
故选ABD．]
8．下列说法正确的有( )
A．若x<，则2x＋的最大值是－1
B．若x>－2，则≥4
C．若x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最大值是2
D．若x<1，则有最大值－5
ABD [对于A，因为x<，所以2x－1<0，1－2x>0，所以2x＋＝(2x－1)＋＋1＝－＋1≤－2＋1＝－1(当且仅当x＝0时等号成立)，此时2x＋有最大值－1，故A正确；
对于B，因为x>－2，所以x＋2>0，所以＝＝≥2＝4，当且仅当＝，即x＝2时取等号，故B正确；
对于C，因为x>0，y>0，所以x·2y≤，即2xy≤，因为x＋2y＋2xy＝8，所以2xy＝8－(x＋2y)，所以8－(x＋2y)≤，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≤－8(舍去)或x＋2y≥4(当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时等号成立)，所以x＋2y的最小值为4，故C错误；
对于D，因为x＜1，所以1－x＞0，则＝＝－＋1≤－2＋1＝－5，当且仅当－(x－1)＝－，即x＝－2时，等号成立．故D正确．]
三、填空题
9．(2025·浙江杭州模拟)已知正实数x，y满足x＋2y＝1，则的最小值为________．
1＋2 [正实数x，y满足x＋2y＝1，有＝＝－2，
则＝－2＝－2＝1＋≥1＋2＝1＋2，
当且仅当＝，即x＝－1，y＝时等号成立，
所以的最小值为1＋2．]
10．函数f (x)＝在(1，＋∞)上的最大值为________．
[因为f (x)＝，x∈(1，＋∞)，
令x－1＝t，则t>0，
则y＝＝＝＝，
当且仅当2t＝，即t＝1，即x＝2时，等号成立．
故f (x)的最大值为．]
11．设正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则的最大值为( )
A．0 B．2
C．1 D．3
C [因为正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则z＝4x2－3xy＋y2，
则＝＝＝1，
当且仅当y＝2x>0时取等号．故的最大值为1．]
12．(2025·辽宁大连模拟)已知a，b∈(－∞，0)，且a＋4b＝ab－5，则ab的取值范围为( )
A．[25，＋∞) B．[1，＋∞)
C．
D [因为a，b∈(－∞，0)，a＋4b＝ab－5，则a＋4b<0，所以0又ab－5＝a＋4b＝－≤－2＝－4，
即ab＋4－5≤0，即≤0，解得0<≤1，所以013．(多选)三元均值不等式：“当a，b，c均为正实数时，，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a＝b＝c时等号成立．”利用上面结论，判断下列不等式成立的有( )
A．若x＞0，则x2＋≥3
B．若0＜x＜1，则x2(1－x)≤
C．若x＞0，则2x＋≥3
D．若0＜x＜1，则x(1－x)2≤
AC [对于A，x＞0，x2＋＝x2＋≥3＝3，当且仅当x2＝，即x＝1时，等号成立，故A正确；对于B，因为0＜x＜1，所以1－x＞0，x2(1－x)＝x·x·(2－2x)≤＝，当且仅当x＝2－2x，即x＝时，等号成立，故B错误；对于C，因为x＞0，所以2x＋＝x＋x＋≥3＝3，当且仅当x＝1时等号成立，故C正确；对于D，因为0＜x＜1，所以1－x＞0，x(1－x)2＝×2x×(1－x)(1－x)≤＝，当且仅当2x＝1－x，即x＝时等号成立，故D错误．故选AC．]
14．若a>0，b>0，则＋b的最小值为________．
2 [∵a>0，b>0，
∴＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2，
当且仅当＝且＝b，即a＝b＝时等号成立，
所以＋b的最小值为2．]
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