第5课时 基本不等式的综合应用
[考试要求] 1．会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题．2．理解基本不等式在实际问题中的应用．3．掌握基本不等式在其他知识中的应用．
考点一 利用基本不等式求参数的值或范围
[典例1] (1)(2025·山东滨州模拟)若不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．
C．
(2)若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式
(1)B (2)m<－3或m> [(1)不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈恒成立，则 x∈，a≤x＋成立，
而x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，因此a≤4，
所以实数a的取值范围是．故选B．
(2)因为x＋y＝1，所以＝1，所以＝＝2＋＋2＝，当且仅当＝时，等号成立，因为x＋y＝1，所以此时x＝，y＝，所以的最小值为，由题可得m2＋m>，解得m<－3或m>．]
对于不等式恒(能)成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值．
(1) x∈M，使得f (x)≥a，等价于f (x)max≥a；
(2) x∈M，使得f (x)≤a，等价于f (x)min≤a；
(3) x∈M，使得f (x)≥a，等价于f (x)min≥a；
(4) x∈M，使得f (x)≤a，等价于f (x)max≤a．
[跟进训练]
1．(1)若对于任意的x>0，不等式≥a恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．[5，＋∞) B．(5，＋∞)
C．(－∞，5] D．(－∞，5)
(2)若存在x∈[1，3]，使不等式x2－2ax＋a＋2≤0成立，则a的取值范围为________．
(1)C (2)[2，＋∞) [(1)令f (x)＝，
由题意可得a≤f (x)min，
f (x)＝x＋＋3≥2＋3＝5，
当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，a≤f (x)min＝5，
所以实数a的取值范围为(－∞，5]．
(2)由x2－2ax＋a＋2≤0 x2＋2≤a(2x－1)，
因为x∈，所以2x－1∈，
令t＝2x－1∈，x＝，
由x2＋2≤a(2x－1) a≥＝，
则有g(t)＝＝2，当且仅当t＝，即t＝3时，等号成立，所以a≥g(t)min＝2．]
考点二 基本不等式的常见变形应用
[典例2] (多选)(2025·湖北咸宁模拟)设正实数a，b满足a＋b＝1，则( )
A．有最大值
B．有最小值3
C．a2＋b2有最小值
D．有最大值
ACD [对于A，由基本不等式可得＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，A正确；
对于B，∵a＋b＝1，∴3a＋3b＝3，即(a＋2b)＋(2a＋b)＝3，∴＝[(a＋2b)＋(2a＋b)]＝，当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立，B错误；
对于C，由＝，得a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，C正确；
对于D，由＝，得，当且仅当a＝b＝时等号成立，D正确．故选ACD．]
基本不等式的常见变形
(1)ab≤(a∈R，b∈R)．
(2)(a>0，b>0)．
[跟进训练]
2．(1)(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则( )
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
(2)当＜x＜时，函数y＝的最大值为________．
(1)BC (2)2 [(1)由x2＋y2－xy＝1，可得(x＋y)2－3xy＝1，而xy≤，
即1＝(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－＝，
∴(x＋y)2≤4，∴－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；
由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤，
∴x2＋y2≤2，故C正确，对于D选项，当x＝，y＝－时，满足题设条件，但x2＋y2＝，D错误．故选BC．
(2)法一：由，得a＋b≤2，
则y＝≤2＝2，
当且仅当＝，即x＝时等号成立．
法二：∵y＝＞0，∴y2＝2x－1＋5－2x＋2＝4＋2≤4＋4＝8．当且仅当2x－1＝5－2x，即x＝时等号成立，∴y≤2．即函数y＝的最大值为2．]
【教用·备选题】
1．(多选)若a＞0，b＞0，a＋b＝4，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是( )
A．≤2 B．≤3
C．＋b2≥4 D．≥1
ACD [对于A，a＞0，b＞0，a＋b≥2，即＝2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以A正确；
对于B，a＞0，b＞0，()2＝a＋b＋2＝4＋2≤4＋2×2＝8，
又＞0，则≤2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以B错误；
对于C，a＋b＝4，b＝4－a＞0，所以0＜a＜4，
则＋b2＝＋(4－a)2＝－8a＋16＝(a－3)2＋4≥4，并且a＝3时等号成立，所以C正确；
对于D，a＞0，b＞0，因为a＋b＝4，所以＝1，
则＝＝＝1，
当且仅当＝，即a＝b＝2时等号成立，所以D正确．
故选ACD．]
2．(2025·广东佛山模拟)若m>n>1，a＝，b＝(ln m＋ln n)，c＝ln ，则( )
A．aC．bA [∵m>n>1，∴ln m>ln n>0，
∴(ln m＋ln n)>，∴b>a，
∵>，
∴ln >ln ＝ln (mn)＝(ln m＋ln n)，∴c>b，∴c>b>a．故选A．]
考点三 基本不等式的实际应用
[典例3] 某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池，其平面图如图所示．每个育苗池的底面面积为200 m2，深度为2 m，育苗池的四周均设计为2 m宽的甬路．设育苗池底面的一条边长为x m(10≤x≤20)，甬路的面积为S m2．
(1)求S与x之间的函数关系式；
(2)已知育苗池四壁的造价为200元/m2，池底的造价为600元/m2，甬路的造价为100元/m2，若不考虑其他费用，求x为何值时，总造价最低，并求最低总造价．
[解] (1)由题意可得每个育苗池底面的另一边长为 m，
则S＝(x＋4)－600＝8x＋＋32，10≤x≤20．
(2)设总造价为w元，则w＝200×2＋600×3×200＋100S
＝2 400x＋＋360 000＋800x＋＋3 200
＝3 200x＋＋363 200，10≤x≤20，
其中3 200x＋≥2＝96 000，
当且仅当3 200x＝，即x＝15∈时，等号成立，故w＝3 200x＋＋363 200≥459 200，
所以当x＝15 m时，总造价最低，最低总造价为459 200元．
利用基本不等式解决实际问题的注意点
(1)设变量时，一般把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)解题时，一定要注意变量的实际意义对变量取值范围的影响．
(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f (x)＝x＋(a＞0)的单调性．
(4)在实际问题中利用基本不等式求最值时，必须指明等号成立的条件．
[跟进训练]
3．(1)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，“道路容量”与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路1 h通过的车辆数N满足关系N＝，其中d0(单位：m)为安全距离，v(单位：m/s)为车速．当安全距离d0取30 m时，该道路1 h“道路容量”的最大值约为( )
A．135 B．149 C．165 D．195
(2)(2025·湖南长沙模拟)快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心．假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比，每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比．经测算，如果在距离货运枢纽10 km处配建分拣中心，则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为2万元和8万元．要使得两项成本之和最小，分拣中心和货运枢纽的距离应设置为( )
A．5 km B．6 km
C．7 km D．8 km
(1)B (2)A [(1)由题意得，
N＝＝≤≈149，当且仅当0.3v＝，即v＝10时取“＝”，所以该道路1 h“道路容量”的最大值约为149．故选B．
(2)设土地租金成本和货物运输成本分别为W1万元和W2万元，分拣中心和货运枢纽相距s km，
则W1＝，W2＝k2s，将s＝10，W1＝2，W2＝8代入可得k1＝20，k2＝，
所以W1＝，W2＝s，
故W1＋W2＝s≥2＝8，当且仅当s＝5时取等号．故选A．]
【教用·备选题】
1．如果一个直角三角形的斜边长等于2，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为( )
A． B．1
C．2 D．6
C [设该直角三角形的斜边为c＝2，直角边分别为a，b，则a2＋b2＝c2＝8，
因为2ab≤a2＋b2，所以a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，即(a＋b)2≤16，当且仅当a＝b，且a2＋b2＝8，即a＝b＝2时，等号成立．
因为a>0，b>0，所以a＋b≤4，所以a＋b的最大值为4，这个直角三角形周长取最大值4＋2时，a＝b＝2，此时三角形的面积为×2×2＝2．故选C．]
2．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
30 [由题意得，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为6·＋4x＝4≥8＝240(万元)，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时，x的值是30．]
课后作业(五) 基本不等式的综合应用
一、单项选择题
1．(2025·河北保定模拟)已知正实数a，b，则“a＋b≤2”是“a2＋b2≤2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [若a＋b≤2，取a＝，b＝，则a2＋b2＝>2，即a＋b≤2不能推出a2＋b2≤2，故充分性不成立；
若a2＋b2≤2，由基本不等式可知≤1，所以a＋b≤2，两个等号同时取到的条件是a＝b＝1，
所以由a2＋b2≤2可以推出a＋b≤2，所以必要性成立，所以“a＋b≤2”是“a2＋b2≤2”的必要不充分条件．故选B．]
2．某品牌手机在官网发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则( )
A．x＝ B．x≤
C．x> D．x≥
B [依题意，80(1＋a)(1＋b)＝80(1＋x)2，而a>0，b>0，x>0，
因此1＋x＝＝1＋，当且仅当a＝b时取等号，
所以x≤．故选B．]
3．(人教A版必修第一册P49习题2.2T7改编)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买100 g黄金，售货员先将50 g的砝码放在天平的左盘中，取出x g黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将50 g的砝码放在天平右盘中，再取出y g黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则( )
A．x＋y>100 B．x＋y＝100
C．x＋y<100 D．以上都有可能
A [设天平左臂长为a，右臂长为b，且a≠b，则有50a＝xb，ya＝50b，即 x＝，y＝，
所以x＋y＝＝50≥50×2＝100，又因为a≠b，所以x＋y>100．故选A．]
4．若“ x∈，使得3x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ的最大值是( )
A．2 B．2
C．4 D．5
B [由题意，得“ x∈，3x2－λx＋1≥0成立”是真命题，故当x∈时，3x＋≥λ恒成立，
由基本不等式，得3x＋≥2＝2，
当且仅当3x＝，即x＝∈时，等号成立，
故λ≤2．]
5．(2024·黑龙江哈尔滨一模)已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元(m≠n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为a1，a2，则( )
A．a1＝a2 B．a1C．a1>a2 D．a1，a2的大小无法确定
B [由题意得a1＝＝，a2＝＝，
因为m>0，n>0，m≠n，故><＝，即a16．(2025·河南洛阳模拟)某合作社需要分装一批蔬菜．已知这批蔬菜只有一名男社员分装时，需要12天完成，只有一名女社员分装时，需要18天完成．为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕．由于现有的男、女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装．已知分装这批蔬菜时会不可避免地造成一些损耗．根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克．则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量(千克)与女社员的平均损耗蔬菜量(千克)之和的最小值为( )
A．10 B．15
C．30 D．45
B [设安排男社员x名，女社员y名，
根据题意，可得＝1，平均损耗蔬菜量之和为，
则＝＝≥2＝＝15，当且仅当＝，即x＝8，y＝6时等号成立，则分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量(千克)与女社员的平均损耗蔬菜量(千克)之和的最小值为15．
故选B．]
二、多项选择题
7．(2024·河北保定二模)已知a2＋4b2＋2ab＝1，则( )
A．ab的最大值为
B．a2＋4b2的最小值为
C．a2＋4b2的最大值为2
D．ab的最小值为－
AC [对于A，由a2＋4b2≥4ab，得a2＋4b2＋2ab≥6ab，所以ab≤，
当且仅当a＝2b时取等号，故A正确；
对于B，由2ab＝a·2b≤，
得a2＋4b2＋2ab≤，
所以a2＋4b2≥，当且仅当a＝2b时取等号，故B错误；
对于C，由2ab＝a·2b≥－，
得a2＋4b2＋2ab≥，
所以a2＋4b2≤2，当且仅当a＝－2b时取等号，故C正确；
对于D，由a2＋4b2≥－4ab，得a2＋4b2＋2ab≥－2ab，
所以ab≥－，当且仅当a＝－2b时取等号，故D错误．
故选AC．]
8．已知正实数x，y满足2x＋y＝3，则( )
A．xy≤ B．4x＋2y≥4
C．x2＋
ABD [因为2x＋y＝3，且x，y均为正实数，所以由基本不等式得2x＋y＝3≥2，即xy≤，4x＋2y≥2＝2＝4，当且仅当2x＝y时等号成立，A，B正确；
由不等式，得，所以4x2＋y2≥，即x2＋，当且仅当2x＝y时等号成立，C错误；
因为2x＋y＝3，所以＝(2x＋y)＝＋2＝，当且仅当y＝x时等号成立，D正确．故选ABD．]
三、填空题
9．(2024·江西重点中学协作体一模)已知正数x，y满足x＋y＝6，若不等式a≤恒成立，则实数a的取值范围是________．
[因为x＋y＝6，
所以t＝＝
＝x＋1＋－2＋y＋2＋－4＝3＋，
所以t＝3＋＝3＋
＝＋2＝4，当且仅当y＝4，x＝2时等号成立，
所以＝4，即a≤4，
故实数a的取值范围是．]
10．已知正实数x，y满足x＋y＝1，则x2＋y2的最小值为________；若≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．
(－∞，9] [因为x＋y＝1，所以xy≤＝，
所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥1－×2＝，当且仅当x＝y＝时取等号，即x2＋y2的最小值为．
若a≤恒成立，则a≤，
因为＝(x＋y)＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时等号成立，所以的最小值为9，即a≤9，
故实数a的取值范围是(－∞，9]．]
四、解答题
11．某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm．当直角梯形的高为多少时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)
[解] 设直角梯形的高为x cm，
∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm，
∴海报宽AD＝(x＋4)cm，海报长DC＝cm，
故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)＝8x＋＋1 472≥2＋1 472＝192＋1 472，
当且仅当8x＝，即x＝12时，等号成立．
∴当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少．
12．某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3 m，底面为24 m2，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的背面靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左、右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14 400元．设屋子的左、右两面墙的长度均为x m(3≤x≤6)．
(1)当左、右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；
(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元(a>0)，若无论左、右两面墙的长度为多少，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．
[解] (1)设甲工程队的总报价为y元，
则y＝3＋14 400＝1 800＋14 400≥1 800×2＋14 400＝28 800，当且仅当x＝，即x＝4时等号成立．
故当左、右两侧墙的长度为4 m时，甲工程队的报价最低为28 800元．
(2)由题意可得1 800＋14 400>，对任意的x∈[3，6]恒成立，故＞，从而>a恒成立，
令x＋1＝t，＝＝t＋＋6，t∈[4，7]．
令g(t)＝t＋＋6，则g(t)在t∈[4，7]上单调递增，故g(t)min＝12.25，又a＞0，故0＜a＜12.25．
所以a的取值范围为(0，12.25)．
12/12第5课时 基本不等式的综合应用
[考试要求] 1．会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题．2．理解基本不等式在实际问题中的应用．3．掌握基本不等式在其他知识中的应用．
考点一 利用基本不等式求参数的值或范围
[典例1] (1)(2025·山东滨州模拟)若不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．
C．
(2)若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
对于不等式恒(能)成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值．
(1) x∈M，使得f (x)≥a，等价于f (x)max≥a；
(2) x∈M，使得f (x)≤a，等价于f (x)min≤a；
(3) x∈M，使得f (x)≥a，等价于f (x)min≥a；
(4) x∈M，使得f (x)≤a，等价于f (x)max≤a．
[跟进训练]
1．(1)若对于任意的x>0，不等式≥a恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．[5，＋∞) B．(5，＋∞)
C．(－∞，5] D．(－∞，5)
(2)若存在x∈[1，3]，使不等式x2－2ax＋a＋2≤0成立，则a的取值范围为________．
考点二 基本不等式的常见变形应用
[典例2] (多选)(2025·湖北咸宁模拟)设正实数a，b满足a＋b＝1，则( )
A．有最大值
B．有最小值3
C．a2＋b2有最小值
D．有最大值
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
基本不等式的常见变形
(1)ab≤(a∈R，b∈R)．
(2)(a>0，b>0)．
[跟进训练]
2．(1)(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则( )
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
(2)当＜x＜时，函数y＝的最大值为________．
考点三 基本不等式的实际应用
[典例3] 某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池，其平面图如图所示．每个育苗池的底面面积为200 m2，深度为2 m，育苗池的四周均设计为2 m宽的甬路．设育苗池底面的一条边长为x m(10≤x≤20)，甬路的面积为S m2．
(1)求S与x之间的函数关系式；
(2)已知育苗池四壁的造价为200元/m2，池底的造价为600元/m2，甬路的造价为100元/m2，若不考虑其他费用，求x为何值时，总造价最低，并求最低总造价．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
利用基本不等式解决实际问题的注意点
(1)设变量时，一般把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)解题时，一定要注意变量的实际意义对变量取值范围的影响．
(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f (x)＝x＋(a＞0)的单调性．
(4)在实际问题中利用基本不等式求最值时，必须指明等号成立的条件．
[跟进训练]
3．(1)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，“道路容量”与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路1 h通过的车辆数N满足关系N＝，其中d0(单位：m)为安全距离，v(单位：m/s)为车速．当安全距离d0取30 m时，该道路1 h“道路容量”的最大值约为( )
A．135 B．149 C．165 D．195
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
(2)(2025·湖南长沙模拟)快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心．假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比，每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比．经测算，如果在距离货运枢纽10 km处配建分拣中心，则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为2万元和8万元．要使得两项成本之和最小，分拣中心和货运枢纽的距离应设置为( )
A．5 km B．6 km
C．7 km D．8 km
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