第6课时 一元二次方程、不等式
[考试要求] 1．能从实际情境中抽象出一元二次不等式．2．结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式．3．了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
项目 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1提醒：解集的端点是二次函数的零点，也是对应一元二次方程的根．
[常用结论]
1．分式不等式的解法
(1)>0(<0) f (x)·g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0)
2．绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；
|x|0)的解集为(－a，a)．
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
3．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数确定．
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立 或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立 或
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0． ( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2． ( )
(3)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0． ( )
(4)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P53练习T1(1)改编)不等式(x－1)(3－x)>0的解集为( )
A．{x|x<1} B．{x|x>3}
C．{x|13}
C [不等式(x－1)(3－x)>0可化为(x－1)(x－3)<0，由方程(x－1)(x－3)＝0，可得方程的两根为x1＝1，x2＝3，结合一元二次不等式的解法，可得不等式(x－1)(x－3)<0的解集为{x|12．(人教A版必修第一册P55习题2.3 T3改编)已知集合A＝{x|x2≤25}，B＝，则A∩B＝( )
A．(－∞，－5] B．[－5，－1)
C．[－5，－1]∪[5，7) D．[－5，－1]
D [因为x2≤25，所以集合A＝{x|－5≤x≤5}．
因为≥0，则解得x＞7或x≤－1，所以集合B＝{x|x＞7或x≤－1}．所以A∩B＝[－5，－1]．
故选D．]
3．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T6改编)若不等式ax2＋ax＋a＋3≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．
{a|a≥0} [当a＝0时，不等式为3＞0，满足题意；
当a≠0时，需满足解得a＞0，综上可得，a的取值范围为{a|a≥0}．]
4．(人教A版必修第一册P55练习T2改编)如图，在长为12 m，宽为10 m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪面积不超过总面积的，那么花卉带的宽度的取值范围是________(单位：m)．
[设花卉带的宽度为x m，
则所以0考点一 一元二次不等式的解法及“三个二次”之间的关系
[典例1] (1)若关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－2，4)，则不等式≤0的解集为________．
(2)不等式0(1)(－∞，4)∪[8，＋∞) (2){x|－2≤x<－1或20的解集为(－2，4)，则a<0，且对应方程的根为－2和4，
所以－＝－2＋4＝2，＝－2×4＝－8，且a<0，
不等式≤0可化为≤0，则≤0，即≤0，解得x<4或x≥8．
(2)原不等式等价于
即 解得
故原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2 解一元二次不等式的一般方法和步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根．(无实根时，不等式的解集为R或 )
(3)求：求出对应的一元二次方程的根．(解集的端点对应方程的根)
(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
[跟进训练]
1．(1)(2024·浙江绍兴三模)若关于x的不等式|x2＋mx＋n|>0的解集为{x|x≠1且x≠2}，则( )
A．m＝3，n＝2 B．m＝－3，n＝2
C．m＝3，n＝－2 D．m＝－3，n＝－2
(2)(多选)(2025·江苏常州模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－2或x≥3}，则下列说法正确的是( )
A．a<0
B．ax＋c>0的解集为
C．8a＋4b＋3c<0
D．cx2＋bx＋a<0的解集为
(1)B (2)ABD [(1)由已知可得1，2为方程x2＋mx＋n＝0的根，
由根与系数的关系可得解得故选B．
(2)关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为 或，
故a<0，且 整理得到b＝－a，c＝－6a．
对于A，a<0，正确；
对于B，ax＋c>0，即a(x－6)>0，解得x<6，正确；
对于C，8a＋4b＋3c＝8a－4a－18a＝－14a>0，错误；
对于D，cx2＋bx＋a<0，即－6ax2－ax＋a<0，即6x2＋x－1<0，解得－故选ABD．]
考点二 含参数的一元二次不等式的解法
[典例2] 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
[解] 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以(x－1)<0．
所以当a>1时，解得当a＝1时，解集为 ；
当0综上，当0当a＝1时，不等式的解集为 ；
当a>1时，不等式的解集为．
[拓展变式] 在本例中，把“a>0”改成“a∈R”，解不等式．
[解] 当a>0时，同典例2解析；
当a＝0时，原不等式等价于－x＋1<0，即x>1；
当a<0时，<1，原不等式可化为(x－1)>0，
解得x>1或x<．
综上，当0当a＝1时，不等式的解集为 ，
当a>1时，不等式的解集为，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}，
当a<0时，不等式的解集为．
解含参数的一元二次不等式的步骤
[跟进训练]
2．解关于x的不等式x2＋ax＋1＜0(a∈R)．
[解] Δ＝a2－4．
①当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式的解集为 ．
②当Δ＝a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，方程x2＋ax＋1＝0的两根为x1＝，x2＝，
则原不等式的解集为．
综上所述，当－2≤a≤2时，原不等式的解集为 ；
当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为．
考点三 一元二次不等式恒成立问题
[典例3] (1)若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，－2)
C．(－2，2) D．(－2，2]
(2)若不等式ax2－x＋a>0对任意的x∈(1，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为________．
(3)若 a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0恒成立，则实数x的取值范围为________．
(1)D (2) (3)[－1，0] [(1)当a＝2时，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0可化为－4<0，恒成立；当a≠2时，要使关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，只需
解得－2(2)法一(函数法)：当a＝0时，原不等式可化为x<0，易知不合题意；当a≠0时，令f (x)＝ax2－x＋a，要满足题意，需或
解得a≥，所以实数a的取值范围是．
法二(分离变量法)：ax2－x＋a>0 ax2＋a>x a>．因为x∈(1，＋∞)，＝<，所以a≥．
(3)(变更主元法)把不等式的左端看成关于a的函数，令g(a)＝ax2－2ax＋x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0，则由g(a)≥0对于任意的a∈[－1，3]恒成立，得即解得
所以实数x的取值范围为[－1，0]．]
[拓展变式] 本例(2)变为：若x∈[m，m＋1]时，满足x2＋mx－1<0，求实数m的取值范围．
[解] 设f (x)＝x2＋mx－1，则
即
化简得解得所以－则实数m的取值范围为．
恒成立问题求参数的取值范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的取值范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
(3)特别注意对二次项系数为0的讨论，因为不等式不一定为一元二次不等式．
[跟进训练]
3．若不等式sin2x－a sinx＋2≥0对任意的x∈恒成立，则实数a的取值范围是________．
(－∞，3] [设t＝sin x，∵x∈，∴t∈(0，1]，则不等式sin2x－a sinx＋2≥0对任意的x∈恒成立，即不等式t2－at＋2≥0对任意的t∈(0，1]恒成立，即a≤＝t＋对任意的t∈(0，1]恒成立．由对勾函数知y＝t＋在t∈(0，1]上单调递减，则ymin＝1＋＝3，∴a≤3．]
课后作业(六) 一元二次方程、不等式
一、单项选择题
1．(人教A版必修第一册P55习题2.3T1(4)改编)不等式－x2＋3x＋10＞0的解集为( )
A．(－2，5) B．(－∞，－2)∪(5，＋∞)
C．(－5，2) D．(－∞，－5)∪(2，＋∞)
A [由－x2＋3x＋10＞0得x2－3x－10＜0，
解得－2＜x＜5．]
2．若00的解集为( )
A．
C．
C [因为0t，
故>0的解为t3．(2025·浙江杭州模拟)若不等式kx2＋x＋2>0的解集为R，则实数k的取值范围是( )
A．2≤k≤18 B．－18C．2C [当k＝0时，不等式kx2＋x＋2>0可化为－6x＋2>0，显然不合题意；
当k≠0时，因为kx2＋x＋2>0的解集为R，
所以解得2综上：24．(2025·河北张家口模拟)已知不等式ax2＋bx－6<0的解集为，则不等式x2－bx－2a≥0的解集为( )
A．
C．
D [不等式ax2＋bx－6<0的解集为，则－3，2是方程ax2＋bx－6＝0的两个根，且a>0，
于是解得a＝1，b＝1，则不等式x2－bx－2a≥0为x2－x－2≥0，
解得x≤－1或x≥2，所以不等式x2－bx－2a≥0的解集为{x|x≤－1或x≥2}．故选D．]
5．“≤1”是“”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由不等式≤1，可得≤0，所以解得－2又由，可得－≤x－，解得－2≤x≤3，
因为是的真子集，
所以“≤1”是“”的充分不必要条件．
故选A．]
6．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则矩形花园的其中一边的长x(单位：m)的取值范围是( )
A．[15，20] B．[12，25]
C．[10，30] D．[20，30]
C [如图，过点A作AH⊥BC，交BC于H，交DE于F，
易知＝，即＝，
则AF＝x，FH＝40－x．所以矩形花园的面积S＝x(40－x)≥300，解得10≤x≤30．
故选C．]
二、多项选择题
7．(2025·浙江绍兴模拟)已知a∈R，关于x的不等式(ax－2)(x＋2)>0的解集可能是( )
A．或
B．
C．
D．
ACD [当a＝0时，＝－2>0 x<－2；
当a>0时，＝a>0 x>或x<－2，故A正确；
当a<0时，＝a，
若＝－2 a＝－1，则解集为空集；
若<－2 －1若>－2 a<－1，则不等式的解为－28．不等式x2＋bx＋c≥2x＋b对任意的x∈R恒成立，则( )
A．b2－4c＋4≤0 B．b≤0
C．c≥1 D．b＋c≥0
ACD [x2＋bx＋c≥2x＋b 可整理为x2＋x＋c－b≥0，根据二次函数的性质有：
Δ＝－4＝b2－4c＋4≤0，故A正确；
当b＝1，c＝2时，满足Δ≤0，即原不等式成立，故B错误；
由Δ≤0，得c≥＋1，所以c≥1，故C正确；
b＋c≥＋b＋1＝≥0，故D正确．故选ACD．]
三、填空题
9．(2024·辽宁大联考二模)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B＝{x|x2－x－a<0}，写出满足A∩B＝{0，1}的一个实数a的值________．
1(答案不唯一，满足0＜a≤2即可) [因为A∩B＝{0，1}，所以{0，1} B，
设f (x)＝x2－x－a，则f (x)<0的整数解为0，1，
则f (0)<0，f (1)<0，f (－1)≥0且f (2)≥0，解得010．已知定义在R上的运算“ ”：x y＝x(1－y)，关于x的不等式(x－a) (x＋a)>0．
(1)当a＝2时，不等式的解集为________；
(2)若 x∈[0，1]，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________．
(1){x|－10为(x－2)(1－x－2)>0，即(x－2)(x＋1)<0，解得－1(2)不等式(x－a) (x＋a)>0为(x－a)(1－x－a)>0，即－x2＋x＋a2－a>0，
x∈[0，1]，不等式恒成立，设y＝－x2＋x＋a2－a，则只要 x∈[0，1]，ymin>0，
又y＝－＋＋a2－a，
所以当x＝0或x＝1时，ymin＝a2－a，
所以ymin＝a2－a>0，解得a<0或a>1．]
四、解答题
11．已知函数f (x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2．
(1)若不等式f (x)≥－2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若a<0，解关于x的不等式f (x)[解] (1) x∈R，f (x)≥－2恒成立等价于 x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0，
当a＝0时，x≥0，对一切实数x不恒成立，则a≠0，
此时必有
即解得a≥，
所以实数a的取值范围是．
(2)依题意，因为a<0，所以f (x)0．
当a＝－1时，－＝1，解得x≠1；
当－11，解得x<1或x>－；
当a<－1时，0<－<1，解得x<－或x>1，
所以，当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；当－1当a<－1时，原不等式的解集为．
12．给出下列条件：①A＝；②A＝{x|x2－2x－3<0}；③A＝{x||x－1|<2}．集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}(m为常数)，从①②③这三个条件中任选一个作为集合A，求解下列问题．
(1)定义A－B＝{x|x∈A且x B}，当m＝0时，求A－B；
(2)设条件p：x∈A，条件q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[解] (1)选①：
若x＋1>0，即x>－1时，>1，即4>x＋1，解得－1若x＋1<0，则<0，则>1无解，所以>1的解集为(－1，3)，
故A＝(－1，3)，由m＝0，可得x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0故B＝(0，1)，则A－B＝(－1，0]∪[1，3)．
选②：
x2－2x－3<0，解得－1故A＝(－1，3)，
m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0选③：
|x－1|<2，－2故A＝(－1，3)，
m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0故B＝(0，1)，
则A－B＝(－1，0]∪[1，3)．
(2)由(1)可知，条件①②③求出的集合A相同，即A＝(－1，3)．
由x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0，即(x－m)[x－(m＋1)]<0，
解得B＝(m，m＋1)，
因为p是q的必要不充分条件，所以B?A，所以或解得－1≤m≤2，故m的取值范围为[－1，2]．
13．已知函数f (x)＝x2＋2ax－a＋2．
(1)若 x∈R，f (x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若 x∈[－1，1]，f (x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若 x∈[－1，1]，f (x)≥0成立，求实数a的取值范围；
(4)若 a∈[－1，1]，f (x)＞0恒成立，求实数x的取值范围．
[解] (1)由题意得Δ＝(2a)2－4(－a＋2)≤0，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1，所以实数a的取值范围是[－2，1]．
(2)因为 x∈[－1，1]，f (x)≥0恒成立，所以f (x)min≥0，x∈[－1，1]．函数f (x)图象的对称轴为x＝－a．
①当－a≤－1，即a≥1时，f (x)在区间[－1，1]上单调递增，则f (x)min＝f (－1)＝3－3a≥0，得a≤1，所以a＝1．
②当－1＜－a＜1，即－1＜a＜1时，f (x)min＝f (－a)＝－a2－a＋2≥0，得－2≤a≤1，所以－1＜a＜1．
③当－a≥1，即a≤－1时，f (x)在区间[－1，1]上单调递减，则f (x)min＝f (1)＝a＋3≥0，得a≥－3，所以－3≤a≤－1．
综上可得，实数a的取值范围是[－3，1]．
(3)若 x∈[－1，1]，f (x)≥0成立，则f (x)max≥0，x∈[－1，1]．函数f (x)图象的对称轴为x＝－a．
①当－a≤0，即a≥0时，f (x)max＝f (1)＝a＋3≥0，得a≥－3，所以a≥0．
②当－a＞0，即a<0时，f (x)max＝f (－1)＝3－3a≥0，得a≤1，所以a＜0．
综上可得，实数a的取值范围是R．
(4)因为 a∈[－1，1]，f (x)＞0，令g(a)＝(2x－1)a＋x2＋2，则g(a)＞0在[－1，1]上恒成立，所以解得x≠－1，故实数x的取值范围是{x|x≠－1}．
2/14第6课时 一元二次方程、不等式
[考试要求] 1．能从实际情境中抽象出一元二次不等式．2．结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式．3．了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
项目 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 _______________ R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 _______________ __ __
提醒：解集的端点是二次函数的零点，也是对应一元二次方程的根．
[常用结论]
1．分式不等式的解法
(1)>0(<0) f (x)·g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0)
2．绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；
|x|0)的解集为(－a，a)．
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
3．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数确定．
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立 或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立 或
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0． ( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2． ( )
(3)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0． ( )
(4)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0． ( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P53练习T1(1)改编)不等式(x－1)(3－x)>0的解集为( )
A．{x|x<1} B．{x|x>3}
C．{x|13}
2．(人教A版必修第一册P55习题2.3 T3改编)已知集合A＝{x|x2≤25}，B＝，则A∩B＝( )
A．(－∞，－5] B．[－5，－1)
C．[－5，－1]∪[5，7) D．[－5，－1]
3．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T6改编)若不等式ax2＋ax＋a＋3≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．
4．(人教A版必修第一册P55练习T2改编)如图，在长为12 m，宽为10 m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪面积不超过总面积的，那么花卉带的宽度的取值范围是________(单位：m)．
考点一 一元二次不等式的解法及“三个二次”之间的关系
[典例1] (1)若关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－2，4)，则不等式≤0的解集为________．
(2)不等式0[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
解一元二次不等式的一般方法和步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根．(无实根时，不等式的解集为R或 )
(3)求：求出对应的一元二次方程的根．(解集的端点对应方程的根)
(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
[跟进训练]
1．(1)(2024·浙江绍兴三模)若关于x的不等式|x2＋mx＋n|>0的解集为{x|x≠1且x≠2}，则( )
A．m＝3，n＝2 B．m＝－3，n＝2
C．m＝3，n＝－2 D．m＝－3，n＝－2
(2)(多选)(2025·江苏常州模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－2或x≥3}，则下列说法正确的是( )
A．a<0
B．ax＋c>0的解集为
C．8a＋4b＋3c<0
D．cx2＋bx＋a<0的解集为
考点二 含参数的一元二次不等式的解法
[典例2] 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[拓展变式] 在本例中，把“a>0”改成“a∈R”，解不等式．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
解含参数的一元二次不等式的步骤
[跟进训练]
2．解关于x的不等式x2＋ax＋1＜0(a∈R)．
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考点三 一元二次不等式恒成立问题
[典例3] (1)若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，－2)
C．(－2，2) D．(－2，2]
(2)若不等式ax2－x＋a>0对任意的x∈(1，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为________．
(3)若 a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0恒成立，则实数x的取值范围为________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[拓展变式] 本例(2)变为：若x∈[m，m＋1]时，满足x2＋mx－1<0，求实数m的取值范围．
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恒成立问题求参数的取值范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的取值范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
(3)特别注意对二次项系数为0的讨论，因为不等式不一定为一元二次不等式．
[跟进训练]
3．若不等式sin2x－a sinx＋2≥0对任意的x∈恒成立，则实数a的取值范围是________．
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