第2课时 函数的单调性与最值
[考试要求] 1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值．2．理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义．
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I D，如果 x1，x2∈I
当x1
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f (x)在区间I上________或________，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，_____叫做y＝f (x)的单调区间．
提醒：若函数有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．
2．函数的最值
前提 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件 ① x∈D，都有_________； ② x0∈D，使得____________ ① x∈D，都有_________； ② x0∈D，使得____________
结论 M是函数y＝f (x)的最大值 M是函数y＝f (x)的最小值
[常用结论]
1．函数单调性的两个等价结论
设 x1，x2∈D(x1≠x2)，则
(1)>0(或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0) f (x)在区间D上单调递增；
(2)<0(或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0) f (x)在区间D上单调递减．
2．若函数f (x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
(1)当f (x)，g(x)都是增(减)函数时，f (x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)若k＞0，则kf (x)与f (x)单调性相同；若k＜0，则kf (x)与f (x)单调性相反；
(3)函数y＝f (x)在公共定义域内与y＝(f (x)≠0)的单调性相反；
(4)复合函数y＝f (g(x))的单调性与y＝f (u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”．
3．最值定理：闭区间上的连续函数必有最值，最值产生于区间端点或极值点处．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ( )
(2)若函数y＝f (x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数y＝f (x)的单调递增区间是[1，＋∞)． ( )
(3)若一个函数在定义域内的某几个子区间上都是单调递增的，则这个函数在定义域上是增函数． ( )
(4)若函数在闭区间上具有单调性，则其最值一定在区间端点取到． ( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P85习题3.2T1改编)如图是函数y＝f (x)，x∈[－4，3]的图象，则下列说法正确的是( )
A．f (x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，3]上单调递增
B．f (x)在区间(－1，3)上的最大值为3，最小值为－2
C．f (x)在[－4，1]上有最小值－2，最大值3
D．当直线y＝t与f (x)的图象有三个交点时，－12．(人教A版必修第一册P92“探究与发现”改编)函数y＝x＋的单调递减区间为( )
A．(0，1] B．[－1，1]
C．[－1，0)∪(0，1] D．[－1，0)，(0，1]
3．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)若函数f (x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________．
4．(人教A版必修第一册P81例5改编)已知函数f (x)＝，x∈[2，6]，则f (x)的最大值为________，最小值为________．
考点一 确定函数的单调性(单调区间)
图象法、性质法确定函数的单调性
[典例1] (1)(2025浙江绍兴模拟)函数y＝ln (x2－2x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0) D．(2，＋∞)
(2)(2024广东深圳三模)函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间是________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[拓展变式] 函数f (x)＝－x2＋4|x|＋5的单调递增区间为________．
定义法、导数法确定函数的单调性
[典例2] 试讨论函数f (x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
确定函数单调性的方法
(1)定义法：取值、作差、变形(因式分解、配方、有理化、通分等)、定号、下结论．
(2)性质法：同增异减，即内、外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数．
(3)图象法：如果f (x)是以图象形式给出的，或者f (x)的图象易画出，可由图象直观地判断函数单调性．
(4)导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．
提醒：定义域先行，单调区间是定义域的子集．
[跟进训练]
1．(1)函数f (x)＝的单调递增区间是( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
(2)(2025安徽蚌埠模拟)下列函数中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，使得<0”成立的是( )
A．f (x)＝－x2－2x＋1 B．f (x)＝x－
C．f (x)＝x＋1 D．f (x)＝log2(2x)＋1
考点二 函数单调性的应用
比较函数值的大小
[典例3] 已知函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f ，b＝f (2)，c＝f (e)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
解不等式
[典例4] (1)(2025广东佛山模拟)已知函数y＝f (x)在定义域(－1，3)上是增函数，且f (2a－1)A．(1，2) B．(－∞，1)
C．(0，1) D．(1，＋∞)
(2)(2025湖北武汉模拟)已知函数f (x)＝若f (a＋1)－f (2a－1)0，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[2，6] D．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
求参数的取值范围
[典例5] (1)(2024新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
(2)若函数f (x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
函数单调性应用问题的解题策略
(1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)解与抽象函数有关的不等式，由条件脱去“f ”，转化为自变量间的大小关系，一般转化为不等式组，应注意等价转化和函数的定义域．
(3)利用单调性求参数的取值(范围)，根据函数的单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到函数图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值，在衔接点处需建立一个不等式．
[跟进训练]
2．(1)(2024福建福州期中)已知函数f (x)＝ 满足对于任意实数x1≠x2，都有<0成立，则实数a的取值范围是( )
A．(1，2) B．[1，2)
C． D．
(2)设f (x)是定义在R上的增函数，且f (xy)＝f (x)＋f (y)，f (3)＝1，则不等式f (x)＋f (－2)＞1的解集为________．
考点三 求函数的值域或最值
[典例6] 已知max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，例如max{1，2，3}＝3，若函数f (x)＝max{－x2＋4，－x＋2，x＋3}，则f (x)的最小值为( )
A．2.5 B．3
C．4 D．5
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
求函数最值的五种常用方法
[跟进训练]
3．(1)函数y＝1＋x－的值域为( )
A． B．
C． D．
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(2)享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y＝[x]，[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.1]＝1，[－1.1]＝－2．已知f (x)＝，x∈，则函数f (x)的值域为________．
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7 / 7第2课时 函数的单调性与最值
[考试要求] 1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值．2．理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义．
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I D，如果 x1，x2∈I
当x1f (x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递减．特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f (x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f (x)的单调区间．
提醒：若函数有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．
2．函数的最值
前提 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件 ① x∈D，都有f (x)M； ② x0∈D，使得f (x0)＝M ① x∈D，都有f (x)M； ② x0∈D， 使得f (x0)＝M
结论 M是函数y＝f (x)的最大值 M是函数y＝f (x)的最小值
[常用结论]
1．函数单调性的两个等价结论
设 x1，x2∈D(x1≠x2)，则
(1)>0(或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0) f (x)在区间D上单调递增；
(2)<0(或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0) f (x)在区间D上单调递减．
2．若函数f (x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
(1)当f (x)，g(x)都是增(减)函数时，f (x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)若k＞0，则kf (x)与f (x)单调性相同；若k＜0，则kf (x)与f (x)单调性相反；
(3)函数y＝f (x)在公共定义域内与y＝(f (x)≠0)的单调性相反；
(4)复合函数y＝f (g(x))的单调性与y＝f (u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”．
3．最值定理：闭区间上的连续函数必有最值，最值产生于区间端点或极值点处．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ( )
(2)若函数y＝f (x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数y＝f (x)的单调递增区间是[1，＋∞)． ( )
(3)若一个函数在定义域内的某几个子区间上都是单调递增的，则这个函数在定义域上是增函数． ( )
(4)若函数在闭区间上具有单调性，则其最值一定在区间端点取到．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P85习题3.2T1改编)如图是函数y＝f (x)，x∈[－4，3]的图象，则下列说法正确的是( )
A．f (x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，3]上单调递增
B．f (x)在区间(－1，3)上的最大值为3，最小值为－2
C．f (x)在[－4，1]上有最小值－2，最大值3
D．当直线y＝t与f (x)的图象有三个交点时，－1[答案] C
2．(人教A版必修第一册P92“探究与发现”改编)函数y＝x＋的单调递减区间为( )
A．(0，1] B．[－1，1]
C．[－1，0)∪(0，1] D．[－1，0)，(0，1]
D [函数y＝x＋为对勾函数，由对勾函数的性质知，函数y＝x＋的单调递减区间为[－1，0)，(0，1]．]
3．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)若函数f (x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________．
(－∞，2] [由题意知，[2，＋∞) [m，＋∞)，∴m2．]
4．(人教A版必修第一册P81例5改编)已知函数f (x)＝，x∈[2，6]，则f (x)的最大值为________，最小值为________．
－ －2 [可判断函数f (x)＝在区间[2，6]上单调递增，所以f (x)max＝f (6)＝－，f (x)min＝f (2)＝－2．]
考点一 确定函数的单调性(单调区间)
图象法、性质法确定函数的单调性
[典例1] (1)(2025浙江绍兴模拟)函数y＝ln (x2－2x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0) D．(2，＋∞)
(2)(2024广东深圳三模)函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间是________．
(1)C (2)[－1，2]，[5，＋∞) [(1)由y＝ln (x2－2x)，所以x2－2x>0，解得x<0或x>2，
所以函数y＝ln (x2－2x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，
令u＝x2－2x，则函数u＝x2－2x在(－∞，0)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，而函数y＝ln u在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数单调性可得，y＝ln (x2－2x)的单调递减区间为(－∞，0)．故选C．
(2)函数y＝|－x2＋4x＋5|＝
由|－x2＋4x＋5|＝0，解得x＝－1或x＝5，
函数y＝|－x2＋4x＋5|的图象如图所示，
由图可知，函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间为[－1，2]，[5，＋∞)．]
[拓展变式] 函数f (x)＝－x2＋4|x|＋5的单调递增区间为________．
(－∞，－2]和[0，2] [f (x)＝
即f (x)＝
画出函数图象如图所示，
可知函数f (x)＝－x2＋4|x|＋5的单调递增区间为(－∞，－2]和[0，2]．]
定义法、导数法确定函数的单调性
[典例2] 试讨论函数f (x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
[解] 法一(定义法)： x1，x2∈(－1，1)，且x1＜x2，
f (x)＝a＝a，
f (x1)－f (x2)＝a－a＝，由于－1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，函数f (x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f (x1)－f (x2)<0，
即f (x1)法二(导数法)：f ′(x)＝
＝＝－．
当a>0时，f ′(x)<0，函数f (x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f ′(x)>0，函数f (x)在(－1，1)上单调递增．
法三：f (x)＝＝a＋，该函数的图象由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上(a＞0)或向下(a＜0)平移|a|个单位长度得到，图象略．故当a＞0时，f (x)在(－1，1)上单调递减；当a＜0时，f (x)在(－1，1)上单调递增．
确定函数单调性的方法
(1)定义法：取值、作差、变形(因式分解、配方、有理化、通分等)、定号、下结论．
(2)性质法：同增异减，即内、外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数．
(3)图象法：如果f (x)是以图象形式给出的，或者f (x)的图象易画出，可由图象直观地判断函数单调性．
(4)导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．
提醒：定义域先行，单调区间是定义域的子集．
[跟进训练]
1．(1)函数f (x)＝的单调递增区间是( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
(2)(2025安徽蚌埠模拟)下列函数中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，使得<0”成立的是( )
A．f (x)＝－x2－2x＋1 B．f (x)＝x－
C．f (x)＝x＋1 D．f (x)＝log2(2x)＋1
(1)B (2)A [(1)f (x)＝由y＝3u和u＝－x2－2x复合而成的，y＝3u在R上为增函数，
u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减，
根据复合函数的单调性可得函数f (x)＝在(－∞，－1]上单调递增．
(2)根据题意，“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，使得<0”，则函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减．
对于选项A，f (x)＝－x2－2x＋1为二次函数，其对称轴为x＝－1，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意；
对于选项B，f (x)＝x－，其导数f ′(x)＝1＋，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意；
对于选项C，f (x)＝x＋1为一次函数，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意；
对于选项D，由复合函数单调性“同增异减”知，f (x)＝log2(2x)＋1在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．
故选A．]
考点二 函数单调性的应用
比较函数值的大小
[典例3] 已知函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f ，b＝f (2)，c＝f (e)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
D [因为f (x)的图象关于直线x＝1对称，由此可得f ＝f ．当x2>x1>1时， [f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0恒成立，可知f (x)在(1，＋∞)上单调递减．
因为1<2<f >f (e)，所以b>a>c．]
解不等式
[典例4] (1)(2025广东佛山模拟)已知函数y＝f (x)在定义域(－1，3)上是增函数，且f (2a－1)A．(1，2) B．(－∞，1)
C．(0，1) D．(1，＋∞)
(2)(2025湖北武汉模拟)已知函数f (x)＝若f (a＋1)－f (2a－1)0，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[2，6] D．
(1)C (2)D [(1)因为函数y＝f (x)在定义域(－1，3)上是增函数，且f (2a－1)则解得0(2)因为当x∈(0，2]时，f (x)＝log2x单调递增，此时f (x)f (2)＝1，
当x∈(2，＋∞)时，f (x)＝2x－3单调递增，此时f (x)＞f (2)＝1，
函数f (x)的图象如图所示．
所以f (x)＝是定义在(0，＋∞)上的增函数，
所以若f (a＋1)－f (2a－1)0即f (a＋1)f (2a－1)，
则a＋12a－1＞0 ＜a2，故选D．]
求参数的取值范围
[典例5] (1)(2024新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
(2)若函数f (x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
(1)B (2)[1，2) [(1)因为f (x)在R上单调递增，且x0时，f (x)＝ex＋ln (x＋1)单调递增，
则需满足解得－1a0，
即a的取值范围是[－1，0]．故选B．
(2)f (x)＝＝＝1＋，
∵f (x)在(a，＋∞)上单调递增，
∴ 1a<2．]
函数单调性应用问题的解题策略
(1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)解与抽象函数有关的不等式，由条件脱去“f ”，转化为自变量间的大小关系，一般转化为不等式组，应注意等价转化和函数的定义域．
(3)利用单调性求参数的取值(范围)，根据函数的单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到函数图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值，在衔接点处需建立一个不等式．
[跟进训练]
2．(1)(2024福建福州期中)已知函数f (x)＝ 满足对于任意实数x1≠x2，都有<0成立，则实数a的取值范围是( )
A．(1，2) B．[1，2)
C． D．
(2)设f (x)是定义在R上的增函数，且f (xy)＝f (x)＋f (y)，f (3)＝1，则不等式f (x)＋f (－2)＞1的解集为________．
(1)D (2) [(1)依题意，对于任意实数x1≠x2，都有<0成立，不妨设x1则f (x1)－f (x2)>0，f (x1)>f (x2)，
所以f (x)在R上单调递减，
所以解得1a．故选D．
(2)由已知条件可得f (x)＋f (－2)＝f (－2x)，又f (3)＝1．∴不等式f (x)＋f (－2)＞1可化为f (－2x)＞f (3)．∵f (x)是定义在R上的增函数，∴－2x＞3，解得x＜－．∴不等式的解集为．]
【教用备选题】
(1)已知减函数f (x)的定义域是R，m，n都是实数．如果不等式f (m)－f (n)>f (－m)－f (－n)成立，那么下列不等式成立的是( )
A．m－n<0 B．m－n>0
C．m＋n<0 D．m＋n>0
(2)(2024湖北武汉二模)已知函数f (x)＝x|x|，则关于x的不等式f (2x)>f (1－x)的解集为( )
A． B．
C． D．
(1)A (2)A [(1)设F(x)＝f (x)－f (－x)，
由于f (x)是R上的减函数，
∴f (－x)是R上的增函数，－f (－x)是R上的减函数，∴F(x)是R上的减函数，
∴当mF(n)，
即f (m)－f (－m)>f (n)－f (－n)成立．
∴当f (m)－f (n)>f (－m)－f (－n)成立时，不等式m－n<0一定成立，故选A．
(2)由f (x)＝x＝故f (x)在R上单调递增，由f (2x)>f (1－x)，有2x>1－x，即x>．
故选A．]
考点三 求函数的值域或最值
[典例6] 已知max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，例如max{1，2，3}＝3，若函数f (x)＝max{－x2＋4，－x＋2，x＋3}，则f (x)的最小值为( )
A．2.5 B．3
C．4 D．5
B [在同一平面直角坐标系中画出函数y＝－x2＋4，y＝－x＋2，y＝x＋3的图象，
因为f (x)＝max{－x2＋4，－x＋2，x＋3}，
所以f (x)的图象如图所示，
由x＜0，可得A(－1，3)，
由x＞0，可得B，
由图知f (x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以f (x)的最小值为3．故选B．]
【教用备选题】
1．(2024湖南湘东名校期中)已知函数f (x)＝2x2－1，g(x)＝ax，x∈R，用M(x)表示f (x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f (x)，g(x)}，若M(x)的最小值为－，则实数a的值为( )
A．0 B．±1
C．± D．±2
B [函数f (x)＝2x2－1，g(x)＝ax，x∈R，根据题意，当a＞0时，函数M(x)的图象如图所示，
由图象可知，在点A处取得最小值，为－，
故2x2－1＝－，解得x＝±，
由图象可知x＝－，将点代入g(x)＝ax得－a＝－，解得a＝1．
同理如果a＜0，则2x2－1＝－，解得x＝±，∴x＝，将点代入g(x)＝ax得a＝－，解得a＝－1．当a＝0时，M(x)的最小值为0，不符合题意．综上所述：a＝±1．故选B．]
2．若函数f (x)＝在区间[0，1]上的最大值为3，则实数m＝________．
3 [因为函数f (x)＝＝2＋，由复合函数的单调性知，当m＞2时，f (x)＝在[0，1]上单调递减，最大值为f (0)＝m＝3；当m＜2时，f (x)＝在[0，1]上单调递增，最大值为f (1)＝＝3，即m＝4，与m＜2矛盾，舍去．故实数m＝3．]
求函数最值的五种常用方法
[跟进训练]
3．(1)函数y＝1＋x－的值域为( )
A． B．
C． D．
(2)享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y＝[x]，[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.1]＝1，[－1.1]＝－2．已知f (x)＝，x∈，则函数f (x)的值域为________．
(1)B (2){4，5，6，7，8} [(1)法一：设＝t，则t0，x＝，所以y＝1＋－t＝(－t2－2t＋3)＝－(t＋1)2＋2．因为t0，所以y．
所以函数y＝1＋x－的值域为．
法二：因为y＝1＋x－在定义域上单调递增，所以y＝1＋x－的值域为．
(2)易知y＝x＋，x∈在上单调递减，在[2，6)上单调递增．
当x＝2时，y＝x＋＝4；
当x＝时，y＝x＋＝＋8；
当x＝6时，y＝x＋＝6＋，
所以y＝x＋∈，则函数f (x)的值域为{4，5，6，7，8}．]
课后作业(八) 函数的单调性与最值
一、单项选择题
1．(2023北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．f (x)＝－ln x B．f (x)＝
C．f (x)＝－ D．f (x)＝3|x-1|
C [对于A，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，A选项错误；
对于B，y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝在(0，＋∞)上单调递减，B选项错误；
对于C，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，C选项正确；
对于D，f (x)＝3|x-1|在(0，＋∞)上不单调，D选项错误．故选C．]
2．函数f (x)＝－x＋在上的最大值是( )
A． B．－
C．－2 D．2
A [函数f (x)＝－x＋在(－∞，0)上单调递减，则函数f (x)在上的最大值为f (－2)＝2－＝．故选A．]
3．(2025湖南长沙一中模拟)若函数f (x)＝4|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
B [因为函数f (x)＝4|x－a|＋3在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
又函数f (x)在区间[1，＋∞)上不单调，所以a>1．故选B．]
4．(2025山东菏泽模拟)函数y＝的单调递增区间为( )
A．
B．
C．和(1，＋∞)
D．(－∞，－6)∪
C [设t＝－x2－5x＋6，则有x≠－6且x≠1，
所以函数y＝的定义域为{x|x≠－6且x≠1}，
由二次函数的性质可知t的单调递增区间为(－∞，－6)，；单调递减区间为和(1，＋∞)；
又因为y＝在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，
由复合函数的单调性可知，函数y＝的单调递增区间为和(1，＋∞)．故选C．]
5．(2025黑龙江大庆期末)已知函数f (x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，0)
C．(－3，－2] D．[－3，－2]
D [因为函数f (x)＝ 是R上的增函数，所以解得－3a－2．故选D．]
6．已知函数y＝f (x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是( )
A．y＝f (x)＋x是增函数
B．y＝f (x)＋x是减函数
C．y＝f (x)是增函数
D．y＝f (x)是减函数
A [不妨令x1∵>－1 f (x1)－f (x2)<－(x1－x2) f (x1)＋x1令g(x)＝f (x)＋x，∴g(x1)又x1二、多项选择题
7．已知函数f (x)＝x－(a≠0)，下列说法正确的是( )
A．当a＞0时，f (x)在定义域上单调递增
B．当a＝－4时，f (x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)
C．当a＝－4时，f (x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．当a＞0时，f (x)的值域为R
BCD [当a＞0时，f (x)＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f (x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，当x→＋∞时，f (x)→＋∞，当x→0＋时，f (x)→－∞，故f (x)的值域为R，故A错误，D正确；当a＝－4时，f (x)＝x＋为对勾函数，其单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，故B正确；当x＞0时，x＋2＝4(当且仅当x＝2时取等号)，当x＜0时，x＋＝－－2＝－4(当且仅当x＝－2时取等号)，故f (x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)，故C正确．]
8．已知函数f (x)， x∈R，都有f (－2－x)＝f (x)成立，且任取x1，x2∈[－1，＋∞)，＜0(x1≠x2)，以下说法正确的是( )
A．f (0)＞f (－3)
B． x∈R，f (x)f (－1)
C．f (a2－a＋1)
D．若f (m)＜f (2)，则－4＜m＜2
AB [由函数f (x)满足f (－2－x)＝f (x)，可知函数f (x)的图象关于直线x＝－1对称，又x1，x2∈[－1，＋∞)，＜0(x1≠x2)，则函数f (x)在[－1，＋∞)上单调递减．对于选项A，因为|－3－(－1)|＞|0－(－1)|，所以f (0)＞f (－3)，故A正确；对于选项B，由已知可得f (x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减，即f (x)max＝f (－1)，故B正确；对于选项C，a2－a＋1＝＋，又f (x)在[－1，＋∞)上单调递减，所以f (a2－a＋1)f ，故C错误；对于选项D，若f (m)＜f (2)，则|m－(－1)|＞|2－(－1)|，则m＜－4或m＞2，故D错误．故选AB．]
三、填空题
9．若函数f (x)是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x－1)＜f 的x的取值范围是________．
[因为f (x)是定义在[0，＋∞)上的增函数，由f (2x－1)＜f 可得02x－1＜，解得x＜．]
10．已知函数f (x)＝则f (x)的最小值是________．
2－6 [因为函数y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以当x1时，f (x)min＝f (0)＝0．当x>1时，y＝x＋2，当且仅当x＝时，等号成立，此时f (x)min＝2－6．又2－6<0，所以f (x)min＝2－6．]
四、解答题
11．已知函数f (x)＝(a＞0)．
(1)当a＝2时，试判断x∈[1，＋∞)时f (x)的单调性，并证明；
(2)当x∈(0，1]时，f (x)单调递减；x∈[1，＋∞)时，f (x)单调递增，试求a的值及x∈(0，＋∞)时f (x)的最小值．
[解] (1)f (x)在[1，＋∞)上单调递增，证明如下：
a＝2时，f (x)＝x＋＋2，
x1时，f ′(x)＝1－＞0，
∴函数f (x)在[1，＋∞)上单调递增．
(2)∵f (x)＝x＋＋2，∴f ′(x)＝1－．
∵当x∈(0，1]时，f (x)单调递减；当x∈[1，＋∞)时，f (x)单调递增，∴f ′(1)＝1－＝0，∴a＝1．
∵f (x)＝x＋＋2在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴当x＝1时，f (x)取最小值4．
12．已知a，b∈R，记max{a，b}＝函数f (x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)．
(1)写出f (x)的解析式，并求出f (x)的最小值；
(2)若函数g(x)＝x2－kf (x)在(－∞，－1]上具有单调性，求实数k的取值范围．
[解] (1)因为|x＋1|2－|x－2|2＝6x－3，
当x时，|x＋1|2－|x－2|2＝6x－30，
则f (x)＝max{|x＋1|，|x－2|}＝|x＋1|＝x＋1；
当x＜时，|x＋1|2－|x－2|2＝6x－3＜0，
则f (x)＝max{|x＋1|，|x－2|}＝|x－2|＝2－x．
所以f (x)＝故函数f (x)在上单调递减，在上单调递增，
所以函数f (x)的最小值为f ＝＋1＝．
(2)当x－1时，f (x)＝2－x，则g(x)＝x2－kf (x)＝x2＋kx－2k，因为函数g(x)在(－∞，－1]上具有单调性，且二次函数g(x)的图象开口向上，故函数g(x)在(－∞，－1]上只能单调递减，所以－－1，解得k2，因此，实数k的取值范围是(－∞，2]．
13．已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋1，且当x>0时，f (x)>－1．
(1)求f (0)的值，并证明f (x)在R上是增函数；
(2)若f (1)＝1，解关于x的不等式f (x2＋2x)＋f (1－x)>4．
[解] (1)令x＝y＝0，得f (0)＝－1．
在R上任取x1，x2且x1>x2，则x1－x2>0，
所以f (x1－x2)>－1．
又f (x1)＝f ((x1－x2)＋x2)＝f (x1－x2)＋f (x2)＋1>f (x2)，所以函数f (x)在R上是增函数．
(2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5．
由f (x2＋2x)＋f (1－x)>4得f (x2＋x＋1)>f (3)，
因为函数f (x)在R上是增函数，
所以x2＋x＋1>3，
解得x<－2或x>1，
故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
点拨：抽象函数证明单调性，利用定义法．
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