第5课时 幂函数与二次函数
[考试要求] 1．通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律．2．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)，能用二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系解决简单问题．
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
顶点式：f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
零点式：f (x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f (x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0)
图象(抛物线)
定义域 R
值域
对称轴方程 x＝－
顶点坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减
[常用结论]
二次函数在闭区间上的最值
设二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，x∈[m，n]．
(1)当－m时，最小值为f (m)，最大值为f (n)；
(2)当m＜－时，最小值为f ，最大值为f (n)；
(3)当＜－＜n时，最小值为f ，最大值为f (m)；
(4)当－n时，最小值为f (n)，最大值为f (m)．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2是幂函数． ( )
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上单调递增． ( )
(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． ( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n]的最值一定是． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P86习题3.2T7改编)函数f (x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为( )
A．[－6，2] B．[－6，1]
C．[0，2] D．[0，1]
A [函数f (x)＝－2x2＋4x图象的对称轴为x＝1，则f (x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
∴f (x)max＝f (1)＝2，f (x)min＝f (－1)＝－2－4＝－6，
即f (x)的值域为[－6，2]．]
2．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)若函数f (x)＝3x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为________．
(－∞，30]∪[120，＋∞) [依题意知，20或5，解得k120或k30．]
3．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T5改编)已知幂函数y＝f (x)的图象过点，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减．
y＝ (0，＋∞) [设y＝f (x)＝xα，因为其图象过点，代入解析式得α＝－，则y＝，由幂函数性质可知函数y＝在(0，＋∞)上单调递减．]
4．(人教A版必修第一册P91练习T2改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________．(用“<”连接)
c
0.30.3，即c考点一 幂函数的图象及性质
[典例1] (1)如图，函数y＝，y＝x，y＝1的图象和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若幂函数f (x)的图象经过的部分是④⑧，则f (x)可能是( )
A．f (x)＝x2 B．f (x)＝
C．f (x)＝ D．f (x)＝x-2
(2)有四个幂函数，某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：①偶函数；②值域是{y|y∈R，且y≠0}；③在(－∞，0)上单调递增．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是( )
A．f (x)＝x-2 B．f (x)＝x-1
C．f (x)＝ D．f (x)＝x3
(3)若<，则实数a的取值范围是________．
(1)B (2)A (3) [(1)因为函数f (x)＝xα的图象过④⑧部分，所以函数f (x)＝xα在第一象限内单调递减，所以α<0．又易知当x＝2时，＜f (x)＜1，所以只有B选项符合题意．
(2)对于A，f (x)＝x-2是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数，值域是{y|y＞0}，且在(－∞，0)上单调递增，满足条件；对于B，f (x)＝x-1是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，且在(－∞，0)上单调递减，不满足条件；对于C，f (x)＝是定义域为R的奇函数，值域是R，且在(－∞，0)上单调递增，不满足条件；对于D，f (x)＝x3是定义域为R的奇函数，值域是R，且在(－∞，0)上单调递增，不满足条件．
(3)易知函数y＝的定义域为[0，＋∞)，在定义域上为增函数，
所以解得－1a<．]
【教用备选题】
1．如图所示是函数y＝(m，n∈N*且互质)的图象，则( )
A．m，n是奇数且<1
B．m是偶数，n是奇数，且<1
C．m是偶数，n是奇数，且>1
D．m，n是偶数，且>1
B [由题干图象可看出y＝为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故∈(0，1)且m为偶数，又m，n∈N*且互质，故n是奇数．故选B．]
2．幂函数f (x)＝(m2－3m－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是( )
A．m＝4 B．f (x)是减函数
C．f (x)是奇函数 D．f (x)是偶函数
C [函数f (x)＝(m2－3m－3)xm为幂函数，则m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1．
当m＝4时，f (x)＝x4在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足条件，A错误；
当m＝－1时，f (x)＝x-1在区间(0，＋∞)上单调递减，满足题意．
函数f (x)＝x-1在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但不是减函数，B错误；
因为函数定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，且f (－x)＝＝－f (x)，所以函数f (x)是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误．故选C．]
与幂函数有关问题的解题思路
(1)关于幂函数y＝xα，若α∈Z且函数是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将xα先化为根式，再分析函数的性质．
(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0．
(3)在比较幂值的大小时，结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
[跟进训练]
1．已知a＝，b＝，c＝，则( )
A．bC．bA [a＝＝，b＝＝，c＝，幂函数y＝在R上单调递增，a考点二 二次函数的图象与解析式
[典例2] (1)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的有________(填序号)．
①a＋b＋c>0；②a－b＋c<0；③abc>0；④b2>4ac；⑤－3<<－2．
(2)已知二次函数f (x)满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，则f (x)＝________．
(1)①②④⑤ (2)－4x2＋4x＋7 [(1)由题图可知f (1)＝a＋b＋c>0，故结论①正确；
由题图可知f (－1)＝a－b＋c<0，故结论②正确；
由题图可知二次函数图象开口向下，所以a<0，且f (0)＝c>0，对称轴x＝－>1>0 b>0，所以abc<0，故结论③不正确；
由题图可知二次函数图象与x轴有两个交点，所以Δ＝b2－4ac>0 b2>4ac，故结论④正确；
由题图可知二次函数图象的对称轴1<－< －3<<－2，故结论⑤正确．综上所述，结论正确的序号有①②④⑤．
(2)法一(利用“一般式”)：
设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得 解得
所以所求二次函数的解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7．
法二(利用“顶点式”)：
设f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
因为f (2)＝f (－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝＝，
所以m＝．
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，
所以f (x)＝a＋8．
因为f (2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，
所以f (x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7．
法三(利用“零点式”)：
由已知f (x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f (x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f (x)＝ax2－ax－2a－1．
又函数有最大值8，
即＝8．
解得a＝－4或a＝0(舍)．
故所求函数的解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7．]
【教用备选题】
若abc＞0，则二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
A B
C D
D [在A中，a＜0，b＜0，c＜0，不符合题意；B中，a＜0，b＞0，c＞0，不符合题意；C中，a＞0，b＞0，c＜0，不符合题意；D中，a＞0，b＜0，c＜0，符合题意．故选D．]
研究二次函数图象及解析式应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取零点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．
[跟进训练]
2．函数f (x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于直线x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有＜0．请写出函数f (x)的一个解析式：________．(写出一个即可)
f (x)＝x2－4x＋5(答案不唯一) [由二次函数的对称性、值域及单调性可知解析式取f (x)＝(x－2)2＋1，
此时f (x)图象的对称轴为x＝2，开口向上，
满足②，
∵对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，
都有＜0，
等价于f (x)在(－∞，0)上单调递减，
∴f (x)＝(x－2)2＋1满足③，
又f (x)＝(x－2)2＋11，满足①，
故f (x)的解析式可以为f (x)＝x2－4x＋5．]
【教用备选题】
(1)(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则( )
A．b2＞4ac B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0 D．5a＜b
(2)已知二次函数f (x)，对任意的x∈R，都有f (2x)＜2f (x)，则f (x)的图象可能是( )
A B
C D
(1)AD (2)A [(1)在题图中，二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；图象的对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误；结合题图，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由图象的对称轴为x＝－1知，b＝2a．根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确．
(2)二次函数f (x)，对任意的x∈R，有f (2x)＜2f (x)，令x＝0得，f (0)＜2f (0)，即f (0)＞0，故CD都不可能．对于B，二次函数图象的对称轴方程为x＝－，由图象可知f ＜0，设f (x)的图象与x轴的两个交点为x1，x2，且0＜x1＜x2，则x1＋x2＝－＞0，所以0＜x1＜－＜x2＜－，所以f ＞0，当x＝－时，f (2x)＝f ＜2f ＜0，两者相矛盾，故B不可能．
故选A．]
考点三 二次函数的单调性与最值
[典例3] 已知函数f (x)＝x2－tx－1．
(1)若f (x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围；
(2)若x∈[－1，2]，求f (x)的最小值g(t)．
[解] f (x)＝x2－tx－1＝－1－．
(1)依题意，－1<<2，解得－2∴实数t的取值范围是(－2，4)．
(2)①当2，即t4时，f (x)在[－1，2]上单调递减，∴f (x)min＝f (2)＝3－2t．
②当－1<<2，即－2③当－1，即t－2时，f (x)在[－1，2]上单调递增，∴f (x)min＝f (－1)＝t．
综上，g(t)＝
[拓展变式] 本例条件不变，求当x∈[－1，2]时，f (x)的最大值G(t)．
[解] ∵f (－1)＝t，f (2)＝3－2t，
∴f (x)max＝max{f (－1)，f (2)}．
又f (2)－f (－1)＝3－3t，
当t1时，f (2)－f (－1)0，
∴f (2)f (－1)，∴f (x)max＝f (－1)＝t；
当t<1时，f (2)－f (－1)>0，
∴f (2)>f (－1)，
∴f (x)max＝f (2)＝3－2t．
综上，G(t)＝
【教用备选题】
1．(2024山东济南期中)已知函数y＝的定义域与值域均为[0，1]，则实数a的取值为( )
A．－4 B．－2
C．1 D．－1
A [依题意，y＝ax2＋bx＋c的值域为[0，1]，且ax2＋bx＋c0的解集为[0，1]，
故函数的图象开口向下，a<0，
则方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x＝0或1，
则c＝0，－＝，即a＝－b，
则y＝ax2＋bx＋c＝ax2－ax＝a－，
当x＝时，y＝a－取得最大值，为1，
即－＝1，解得a＝－4．故选A．]
2．(2024江苏常州期中)已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，恒有f (x＋1)－f (x)＝2x＋2，f (0)＝－2．
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)设g(x)＝f (x)－mx，若函数g(x)在区间[1，2]上的最大值为3，求实数m的值；
(3)若h(x)＝[f (x)－x2＋2]|x－a|，a∈R，若函数h(x)在[－2，2]上是单调函数，求a的取值范围．
[解] (1)由f (x＋1)－f (x)＝2x＋2，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－ax2－bx－c＝2x＋2，
则2ax＋a＋b＝2x＋2，所以2a＝2且a＋b＝2，解得a＝1，b＝1，
又f (0)＝－2，则c＝－2，故f (x)＝x2＋x－2．
(2)g(x)＝f (x)－mx＝x2＋(1－m)x－2，其图象的对称轴为x＝，
当<，即m＜4时，g(x)max＝g(2)＝－2m＋4＝3，解得m＝；
当＝，即m＝4时，g(x)max＝g(1)＝g(2)＝－m＝－2m＋4＝3，解得m∈ ；
当>，即m>4时，g(x)max＝g(1)＝－m＝3，解得m＝－3(舍)，
综上，m＝．
(3)h(x)＝[f (x)－x2＋2]＝x＝
当a＝0时，h(x)在R上单调递增，符合题意；
当a>0时，则则解得a4；
当a<0时，>a，则函数h(x)在(－∞，a)，上单调递增，在上单调递减，
则解得a－4，
综上所述，a的取值范围为a＝0或a4或a－4．
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
[跟进训练]
3．(1)已知函数f (x)＝ax2＋x－3，若对任意的x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，<3恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
(2)设函数f (x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f (x)的最小值．
(1)D [不妨设1x13(x1－x2)恒成立，
即f (x1)－3x1>f (x2)－3x2恒成立．
令g(x)＝f (x)－3x＝ax2－2x－3，
则g(x1)>g(x2)恒成立，所以函数g(x)在[1，＋∞)上单调递减．
当a＝0时，g(x)＝－2x－3在[1，＋∞)上单调递减，符合题意；
当a≠0时，要使g(x)＝ax2－2x－3在[1，＋∞)上单调递减，
则 解得a<0．
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，0]．]
(2)[解] f (x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1．
当t＋11，即t0时，函数图象如图①所示，函数f (x)在区间[t，t＋1]上单调递减，所以最小值为f (t＋1)＝t2＋1．
当t<1当t1时，函数图象如图③所示，函数f (x)在区间[t，t＋1]上单调递增，所以最小值为f (t)＝t2－2t＋2．
综上可知，f (x)min＝
课后作业(十一) 幂函数与二次函数
一、单项选择题
1．若幂函数f (x)＝xα的图象经过第三象限，则α的值可以是( )
A．－2 B．2
C．
D [当α＝－2时，f (x)＝x-2为偶函数，图象在第一和第二象限，不经过第三象限，A不符合题意；
当α＝2时，f (x)＝x2为偶函数，图象过原点，分布在第一和第二象限，不经过第三象限，B不符合题意；
当α＝时，f (x)＝，x∈[0，＋∞)，图象过原点，分布在第一象限，不经过第三象限，C不符合题意；
当α＝时，f (x)＝，x∈R，为奇函数，图象经过原点和第一、三象限，D符合题意．]
2．若二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)满足f (1)＝f (3)，则下列不等式成立的是( )
A．f (1)＜f (4)＜f (2)
B．f (4)＜f (1)＜f (2)
C．f (4)＜f (2)＜f (1)
D．f (2)＜f (4)＜f (1)
B [因为f (1)＝f (3)，所以二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝2．又因为a＜0，所以f (4)＜f (3)＜f (2)，又f (1)＝f (3)，所以f (4)＜f (1)＜f (2)．]
3．若函数y＝x2－3x＋4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是( )
A．(0，4] B．
C． D．
C [y＝x2－3x＋4＝＋的定义域为[0，m]，显然，当x＝0时，y＝4，又值域为，根据二次函数图象的对称性知m3．]
4．(2025山东青岛模拟)函数f (x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一平面直角坐标系中的图象不可能为( )
A B
C D
B [对于A，二次函数的图象开口向下，所以a<0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递减，与图中符合；
对于B，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中不符合；
对于C，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中符合；
对于D，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中符合．]
5．(2024安徽江淮十校联考)已知幂函数f (x)＝(m2－5m＋5)xm-2是R上的偶函数，且函数g(x)＝f (x)－(2a－6)x在区间[1，3]上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，4) B．(－∞，4]
C．[6，＋∞) D．(－∞，4]∪[6，＋∞)
B [因为幂函数f (x)＝(m2－5m＋5)xm-2是R上的偶函数，则m2－5m＋5＝1，解得m＝1或m＝4，
当m＝1时，f (x)＝x-1，该函数是定义域为的奇函数，不符合题意；
当m＝4时，f (x)＝x2，该函数是定义域为R的偶函数，符合题意．
所以f (x)＝x2，则g(x)＝x2－(2a－6)x，其图象的对称轴方程为x＝a－3，因为g(x)在区间[1，3]上单调递增，则a－31，解得a4．故选B．]
6．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到x1，x2，…，xn共n个数据．我们规定所测量物理量的“最佳近似值” a应该满足与所有测量数据的差的平方和最小．由此规定，从这些数据得出的“最佳近似值” a应是( )
A [根据题意得f (a)＝(a－x1)2＋(a－x2)2＋…＋(a－xn)2＝，
由于n＞0，所以f (a)是关于a的二次函数，因此当a＝，即a＝时，f (a)取得最小值．故选A．]
二、多项选择题
7．(人教A版必修第一册P101复习参考题3T8改编)已知幂函数f (x)的图象经过点(9，3)，则( )
A．函数f (x)为增函数
B．函数f (x)为偶函数
C．当x4时，f (x)2
D．当x2>x1>0时，ACD [设幂函数f (x)＝xα，则f (9)＝9α＝3，解得α＝，所以f (x)＝，所以f (x)的定义域为[0，＋∞)，f (x)在[0，＋∞)上单调递增，故A正确；
因为f (x)的定义域不关于原点对称，所以函数f (x)不是偶函数，故B错误；
当x4时，f (x)f (4)＝＝2，故C正确；
当x2>x1>0时，－＝－＝＝－<0，
又f (x)0，所以故选ACD．]
8．已知函数f (＋1)＝2x＋－1，则( )
A．f (3)＝9
B．f (x)＝2x2－3x(x0)
C．f (x)的最小值为－1
D．f (x)的图象与x轴只有1个交点
ACD [令t＝＋11，得＝t－1，则x＝(t－1)2，得f (＋1)＝f (t)＝2t2－3t，
故f (x)＝2x2－3x，x∈[1，＋∞)，f (3)＝9，A正确，B错误．
f (x)＝2x2－3x＝2－，所以f (x)在[1，＋∞)上单调递增，
f (x)min＝f (1)＝－1，f (x)的图象与x轴只有1个交点，C正确，D正确．故选ACD．]
三、填空题
9．幂函数f (x)＝xα(α∈R)满足：任意x∈R都有f (－x)＝f (x)，且f (－1)＜f (2)＜2．请写出符合上述条件的一个函数f (x)＝________．
(答案不唯一) [取f (x)＝，则定义域为R，且f (－x)＝＝＝f (x)，f (－1)＝1，f (2)＝，满足f (－1)＜f (2)＜2．]
10．当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
(－∞，－5] [令f (x)＝x2＋mx＋4，∵当x∈(1，2)时，f (x)<0恒成立，
∴即解得m－5．]
四、解答题
11．在①f (4)＝－1，f (3)＝2，②当x＝2时，f (x)取得最大值3，③f (x＋2)＝f (2－x)，f (0)＝－1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知函数f (x)＝－x2－2ax＋b，且________．
(1)求f (x)的解析式；
(2)若f (x)在[m，n](m＜n)上的值域为[3m－2，3n－2]，求m＋n的值．
[解] (1)若选①，
由题意可得
解得a＝－2，b＝－1，
故f (x)＝－x2＋4x－1．
若选②，
由题意可得
解得a＝－2，b＝－1，
故f (x)＝－x2＋4x－1．
若选③，
因为f (x＋2)＝f (2－x)，
所以f (x)图象的对称轴方程为x＝2，
则－a＝2，即a＝－2，因为f (0)＝－1，所以b＝－1，
故f (x)＝－x2＋4x－1．
(2)因为f (x)＝－x2＋4x－1在R上的值域为(－∞，3]，
所以3n－23，即n，
因为f (x)图象的对称轴方程为x＝2，且n＜2，
所以f (x)在[m，n]上单调递增，
则
整理得n2－m2＋m－n＝0，即(n－m)(n＋m－1)＝0，
因为n－m≠0，所以n＋m－1＝0，即n＋m＝1．
12．已知f (x)＝ax2－2x＋1．
(1)若f (x)在[0，1]上单调，求实数a的取值范围；
(2)若x∈[0，1]，求f (x)的最小值g(a)．
[解] (1)当a＝0时，f (x)＝－2x＋1单调递减；
当a>0时，f (x)图象的对称轴为x＝，且>0，
∴1，即0当a<0时，f (x)图象的对称轴为x＝，且<0，
∴a<0符合题意．
综上，实数a的取值范围是(－∞，1]．
(2)①当a＝0时，f (x)＝－2x＋1在[0，1]上单调递减，
∴f (x)min＝f (1)＝－1．
②当a>0时，f (x)＝ax2－2x＋1的图象开口向上，且对称轴为x＝．
(ⅰ)当<1，即a>1时，f (x)＝ax2－2x＋1图象的对称轴在[0，1]内，
∴f (x)在上单调递减，在上单调递增．
∴f (x)min＝f ＝－＋1＝－＋1．
(ⅱ)当1，即0∴f (x)min＝f (1)＝a－1．
③当a<0时，f (x)＝ax2－2x＋1的图象开口向下，且对称轴x＝<0，在y轴的左侧，
∴f (x)＝ax2－2x＋1在[0，1]上单调递减．
∴f (x)min＝f (1)＝a－1．
综上所述，g(a)＝
13．(2024广东深圳期中)俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合I上的函数f (x)，以及函数g(x)＝kx＋b(k，b∈R)，切比雪夫将函数y＝|f (x)－g(x)|，x∈I的最大值称为函数f (x)与g(x)的“偏差”．
(1)若f (x)＝x2(x∈[0，1])，g(x)＝－x－1，求函数f (x)与g(x)的“偏差”；
(2)若f (x)＝x2(x∈[－1，1])，g(x)＝x＋b，求实数b，使得函数f (x)与g(x)的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”的最小值．
[解] (1)y＝|f (x)－g(x)|＝|x2＋x＋1|＝＝＋，x∈[0，1]，因为x∈[0，1]，
由二次函数的性质可得y＝＋∈[1，3]，
故函数f (x)与g(x)的“偏差”为3．
(2)令t(x)＝f (x)－g(x)＝x2－x－b＝－b－，x∈[－1，1]，
因为t(－1)＝2－b，t＝－b－，t(1)＝－b，
令h(x)＝|t(x)|＝，x∈[－1，1]．
因为x∈[－1，1]，所以x－∈，∈．
当－b－＝0，即b＝－时，此时－b－0，
则h(x)＝的“偏差”为2－b，由于2－b＝，有最小值，满足要求；
当－b－＞0，即b＜－时，此时－b－＞0，
则h(x)＝的“偏差”为2－b，由于2－b＞，无最小值，不满足要求；
当－b－＜0，t(－1)＝2－b＞0且b＋＜2－b，即－＜b＜时，
则h(x)＝的“偏差”为2－b，由于＜2－b＜，无最小值，不满足要求；
当－b－＜0，t(－1)＝2－b＞0且b＋＞2－b，即＜b＜2时，
则h(x)＝的“偏差”为b＋，由于＜b＋＜，无最小值，不满足要求；
当－b－＜0，t(－1)＝2－b＞0且b＋＝2－b，即b＝时，
则h(x)＝的“偏差”为b＋，由于b＋＝，有最小值，满足要求；
当－b－＜0，t(－1)＝2－b＜0，即b＞2时，
则h(x)＝的“偏差”为b＋，由于b＋＞，无最小值，不满足要求；
当－b－＜0，t(－1)＝2－b＝0，即b＝2时，
则h(x)＝的“偏差”为b＋，由于b＋＝，有最小值，满足要求．
综上，b＝或－或2时，满足要求，
当b＝时，“偏差”的最小值为；
当b＝－时，“偏差”的最小值为；
当b＝2时，“偏差”的最小值为．
15 / 20第5课时 幂函数与二次函数
[考试要求] 1．通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律．2．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)，能用二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系解决简单问题．
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数_____叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点________和________，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点________，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为______；当α为偶数时，y＝xα为______．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f (x)＝________________．
顶点式：f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为________．
零点式：f (x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f (x)的____．
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0)
图象(抛物线)
定义域 R
值域
对称轴方程 x＝－
顶点坐标
奇偶性 当________时是偶函数，当__________时是非奇非偶函数
单调性 在上单调递__； 在上单调递__ 在上单调递__； 在上单调递__
[常用结论]
二次函数在闭区间上的最值
设二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，x∈[m，n]．
(1)当－m时，最小值为f (m)，最大值为f (n)；
(2)当m＜－时，最小值为f ，最大值为f (n)；
(3)当＜－＜n时，最小值为f ，最大值为f (m)；
(4)当－n时，最小值为f (n)，最大值为f (m)．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2是幂函数． ( )
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上单调递增． ( )
(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． ( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n]的最值一定是． ( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P86习题3.2T7改编)函数f (x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为( )
A．[－6，2] B．[－6，1]
C．[0，2] D．[0，1]
2．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)若函数f (x)＝3x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为________．
3．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T5改编)已知幂函数y＝f (x)的图象过点，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减．
4．(人教A版必修第一册P91练习T2改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________．(用“<”连接)
考点一 幂函数的图象及性质
[典例1] (1)如图，函数y＝，y＝x，y＝1的图象和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若幂函数f (x)的图象经过的部分是④⑧，则f (x)可能是( )
A．f (x)＝x2 B．f (x)＝
C．f (x)＝ D．f (x)＝x-2
(2)有四个幂函数，某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：①偶函数；②值域是{y|y∈R，且y≠0}；③在(－∞，0)上单调递增．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是( )
A．f (x)＝x-2 B．f (x)＝x-1
C．f (x)＝ D．f (x)＝x3
(3)若<，则实数a的取值范围是________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
与幂函数有关问题的解题思路
(1)关于幂函数y＝xα，若α∈Z且函数是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将xα先化为根式，再分析函数的性质．
(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0．
(3)在比较幂值的大小时，结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
[跟进训练]
1．已知a＝，b＝，c＝，则( )
A．bC．b考点二 二次函数的图象与解析式
[典例2] (1)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的有________(填序号)．
①a＋b＋c>0；②a－b＋c<0；③abc>0；④b2>4ac；⑤－3<<－2．
(2)已知二次函数f (x)满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，则f (x)＝________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
研究二次函数图象及解析式应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取零点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．
[跟进训练]
2．函数f (x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于直线x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有＜0．请写出函数f (x)的一个解析式：________．(写出一个即可)
考点三 二次函数的单调性与最值
[典例3] 已知函数f (x)＝x2－tx－1．
(1)若f (x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围；
(2)若x∈[－1，2]，求f (x)的最小值g(t)．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[拓展变式] 本例条件不变，求当x∈[－1，2]时，f (x)的最大值G(t)．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
[跟进训练]
3．(1)已知函数f (x)＝ax2＋x－3，若对任意的x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，<3恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
(2)设函数f (x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f (x)的最小值．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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