指数式、对数式、幂式的大小比较
题型一 临界值法比较大小
[典例1] (1)(2024·天津高考)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
(2)已知a＝log52，b＝，c＝0.70.3，则a，b，c的大小关系为( )
A．a
C．b(1)B (2)A [(1)因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3<0<0.3，
所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3，
所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1，
所以log4.20.2所以b>a>c.
故选B.
(2)∵log51∵b＝＝log0.70.1>log0.70.7＝1，
∴b>1，∵0.71<0.70.3<0.70，∴0.7 临界值法比较大小的关键是寻找合适的中间值，如常考虑a，b，c与特殊数字“0”“1”“”的大小关系．
[跟进训练]
1．(1)(2025·山西运城模拟)设a＝，b＝log0.30.2，c＝log0.30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
(2)已知a＝，b＝，c＝，则( )
A．aC．c(1)D (2)B [(1)a＝<，即01，即b>1，因为0.42<0.3，所以log0.30.42>log0.30.3＝1，即log0.30.4>，且log0.30.4所以b>c>a.故选D.
(2)根据换底公式log32＝，log52＝.
因为log25>log23>1，所以0故1<<<2.
又c＝＝21.1>21＝2，
所以b题型二 数形结合法比较大小
[典例2] (多选)(2025·重庆巴蜀中学模拟)已知实数a，b，c满足：2a＝＝log2c，则下列关系可能成立的是( )
A．bC．aABC [令2a＝＝log2c＝t，在同一直角坐标系中画出y＝2x，y＝，y＝log2x的图象．
由图象可知：
当y＝t在①位置时，b当y＝t在②位置时，a当y＝t在③位置时，ab 本例属于方程根问题，求解的关键是等价转化为相应函数图象的交点问题，如将问题转化为函数y＝2x, y＝， y＝log2x的图象与直线y＝t的交点的横坐标的大小关系，再画出图象，数形结合求解即可．
[跟进训练]
2．(2025·山西晋中模拟)若ea＝－ln a，e－b＝ln b，e－c＝－ln c，则( )
A．aC．bB [在同一直角坐标系中画出y＝ex，y＝e－x，y＝ln x，y＝－ln x的图象，
由图象可知a题型三 利用指数、对数及幂的运算性质比较大小
[典例3] (1)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c三个数从大到小的排列顺序为( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．b>a>c D．c>a>b
(2)已知a＝3log83，b＝－，c＝log43，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．c>a>b
C．b>c>a D．b>a>c
(1)C (2)A [(1)由题意得a>0，b>0，c>0，
＝＝<1，故b＞a；＝＝＝>1，a>c，故b＞a＞c.故选C.
(2)由题意可得a＝3log83＝3×＝log23>1，
b＝－＝－＝log34>1，0又log23－log34＝＝，
由于lg 2>0，lg 4>0，lg 2≠lg 4，∴lg 2lg 4<＝(lg )2<(lg 3)2，
故log23－log34>0，∴a>b，综合可得a>b>c，故选A.]
作差(商)比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差(商)，看其值与0(1)的关系，从而确定所比两值的大小关系．
[跟进训练]
3．(1)若a＝log54，b＝log43，c＝，则( )
A．b＞c＞a B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．c＞b＞a
(2)(2024·安徽阜阳一模)设a＝log23，b＝log812，c＝lg 15，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b(1)C (2)D [(1)因为81>64，所以3>＝，所以＝，即b>c；
又lg 5>0，lg 3>0，所以lg 5×lg 3<＝(lg )2.
因为lg 4>lg ，
所以＝log54×log34＝>>1，
即log54>log43，所以a>b>c.故选C.
(2)a＝log23＝log2＝1＋log2＝，
b＝log812＝log8＝1＋log8＝，
c＝lg 15＝log10＝1＋log10＝，
，∴a>b>c.故选D.]
题型四 构造函数法比较大小
[典例4] (1)已知a＝3ln 2π，b＝2ln 3π，c＝3ln π2，则下列选项正确的是( )
A．a＞b＞c B．c＞a＞b
C．c＞b＞a D．b＞c＞a
(2)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则( )
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a(1)D (2)B [(1)＝＝＝，∵6π＞0，∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．
设f (x)＝，则f′(x)＝，当x＝e时，f′(x)＝0，
当x＞e时，f′(x)＜0，当0＜x＜e时，f′(x)＞0，
∴f (x)在(e，＋∞)上单调递减，∵e＜3＜π＜4，
∴＞＞＝，∴b＞c＞a，故选D.
(2)令f (x)＝2x＋log2x，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增．又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b<22b＋log2(2b)，所以f (a) 破解此类问题的关键是发现题眼、构造函数，如本例(1)的题眼是“对a，b，c同除以6π”，进而从中发现共性函数f (x)＝.
[跟进训练]
4．(2023·山东临沂一模)已知x＝＝，x＝logxz，则( )
A．x＜y＜z B．y＜x＜z
C．z＜x＜y D．z＜y＜x
B [令f (x)＝x－，则f (x)在R上单调递增，
由f (1)＞0，f ＜0，则存在x∈，使得f (x)＝0，即x＝，而＝ y＝，
∵x＜，∴x－y＝－＞0 x＞y.
x＝logxz z＝xx＞＝x.
综上：y＜x＜z.故选B.]
题型五 特值法、设元法比较大小
[典例5] 设x，y，z为正实数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．3y＜2x＜5z B．2x＜3y＜5z
C．3y＜5z＜2x D．5z＜2x＜3y
A [法一(特值法)：取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225＜log232＝5z，3y＝log3125＜log3243＝5z，所以5z最大．取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29＞3y.综上可得，3y＜2x＜5z.故选A.
法二(设元法)：设2x＝3y＝5z＝k，则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，所以＝＝＝．又易知，所以，即0＜＜＜，所以3y＜2x＜5z.故选A.]
本题利用特值法求解，显得简洁、明了；利用设元法求解，关键在于转化为比较的大小，其优点是便于运用对数函数的单调性．
[跟进训练]
5．(多选)设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则的大小关系可能是( )
A．＜＜ B．＜＜
C．＝＝ D．＜＜
ACD [法一(特值法)：取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知＝＝，选项C正确；取x＝4，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝9，z＝25，此时易知＜＜，选项A正确；取x＝，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝，z＝，此时易知＜＜，选项D正确．
法二(设元法)：设log2x＝log3y＝log5z＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，所以＝2k-1，＝3k-1，＝5k-1.又易知k＞0，若k＝1，则＝1，＝1，＝1，所以＝＝，所以选项C有可能正确；若0＜k＜1，则根据函数f (t)＝tk-1在(0，＋∞)上单调递减可得2k-1＞3k-1＞5k-1，所以＜＜，所以选项D有可能正确；若k＞1，则根据函数f (t)＝tk-1在(0，＋∞)上单调递增可得2k-1＜3k-1＜5k-1，所以＜＜，所以选项A有可能正确．]
培优训练(二) 指数式、对数式、幂式的大小比较
一、单项选择题
1．(2024·安徽名校联考三模)若a＝log37，b＝log940，c＝，则( )
A．cC．aD [依题意，a＝log37＝log949，故a>b；而a2．(2024·江西南昌三模)若＝log2a，＝＝2－c，则正数a，b，c的大小关系是( )
A．cC．aB [由＝log2a，则a为y＝与y＝log2x图象交点的横坐标，由＝b2，则b为y＝与y＝x2图象交点的横坐标，由＝2－c，即＝，则c为y＝与y＝图象交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出y＝，y＝log2x，y＝x2，y＝的图象，如图所示，
由图可知，c3．(2025·湖北武汉模拟)记a＝30.2，b＝0.3-0.2，c＝log0.20.3，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．b>a>c
D [因为b＝0.3-0.2＝，幂函数y＝x0.2在(0，＋∞)上单调递增，
又>3，所以>30.2>30＝1，所以b>a>1，
又对数函数y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，所以c＝log0.20.3a>1>c.故选D.]
4．(2024·广东广州一模)已知a＝，3b＝5，5c＝8，则( )
A．aC．cC [由题意得b＝log35，c＝log58，
因为a＝＝＝log3>log35＝b，即a>b，
a＝＝＝log5>log58，即a>c，
因为＝＝>＝＝>1，所以b>c，故a>b>c.故选C.]
5．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．a＜c＜b D．b＜c＜a
B [a＝＝，c＝＝，
令f (x)＝，所以a＝f ，b＝f (2)，c＝f (e)，
f′(x)＝，
所以当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，
所以f (x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
所以f (x)max＝f (e)＝＝c，所以a＜c，b＜c，
又b＝＝＝＝f (4)，因为4＞＞e，
所以f (4)＜f，所以b＜a，所以b＜a＜c.故选B.]
6．(2025·河北邯郸模拟)已知f (x)是定义在R上的偶函数，f (x＋2)＝f (x)，且f (x)在[－1，0]上单调递减，若a＝f (log345)，b＝f (－log58)，c＝f，则( )
A．aC．cB [∵f (x)是定义在R上的偶函数，f (x＋2)＝f (x)，
∴f (x)的周期为2，
又f (x)在[－1，0]上单调递减，
∴f (x)在[1，2]上单调递减．
又a＝f (log345)＝f (2＋log35)＝f (log35)，
b＝f (－log58)＝f (log58)，
∵53＝125>34＝81，83＝512<54＝625，
，
∴1∴f (log58)>f>f (log35)，
∴a二、多项选择题
7．(2024·重庆三模)已知实数a，b满足，则下列结论正确的是( )
A．< B．loga2>logb2
C．＜ D．2a－2b>3－a－3－b
ACD [因为>0，
所以log2a>log2b，又y＝log2x为增函数，故a>b>0，
对于A，因为 y＝为减函数，所以<，故A正确；
对于B，当a＝4，b＝2时，loga2＝对于C，0<<1<，故C正确；
对于D，令f (x)＝2x－3－x，因为y＝2x与y＝3x均为增函数，所以f (x)＝2x－3－x为R上的增函数，
所以2a－2b>3－a－3－b，故D正确．故选ACD.]
8．(2025·安徽阜阳模拟)已知正实数x，y，z满足＝＝，则( )
A．＝－ B．2z2C．x<2z<3y D．x<3y<2z
ABC [设＝＝＝m，则x＝－log3m，y＝－log4m，z＝－log6m，且0由＝＝＝＝－＝－，A正确；
由A可知，＝，所以＝1，由基本不等式得＝1≥2，即，所以，即2z2≤xy，
当且仅当＝＝，即x＝2z，y＝z时取得等号，又y＝z时，由＝可得y＝z＝0，
与y>0，z>0矛盾，所以2z2x－2z＝－log3m＋2log6m＝＝＝<0，
所以x<2z，2z－3y＝－2log6m＋3log4m＝＝＝<0，
所以2z<3y，所以x<2z<3y，C正确，D错误．
故选ABC.]
三、填空题
9．(2025·福建龙岩模拟)若a克不饱和糖水中含有b克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度．如果在此糖水中再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式＜(a＞b＞0，m＞0)，数学中常称其为糖水不等式．依据糖水不等式可判断log32与log1510的大小：例如log32＝＜＝＝log1510，试比较：log43________log54(填“＜”“＞”或“＝”)．
＜ [依题意log43＝＝＝＜＝log54.]
10．(2025·山东省实验中学模拟)使得不等式logabe，2(答案不唯一) [不妨取a>1，b>1，由ba令函数f (x)＝，x>1，求导得f′(x)＝，当10，当x>e时，f′(x)<0，
即函数f (x)在(1，e]上单调递增，在[e，＋∞)上单调递减，
取a，b∈(1，e]，由f (b)此时logab11 / 11 指数式、对数式、幂式的大小比较
题型一 临界值法比较大小
[典例1] (1)(2024·天津高考)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
(2)已知a＝log52，b＝，c＝0.70.3，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
临界值法比较大小的关键是寻找合适的中间值，如常考虑a，b，c与特殊数字“0”“1”“”的大小关系．
[跟进训练]
1．(1)(2025·山西运城模拟)设a＝，b＝log0.30.2，c＝log0.30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
(2)已知a＝，b＝，c＝，则( )
A．aC．c题型二 数形结合法比较大小
[典例2] (多选)(2025·重庆巴蜀中学模拟)已知实数a，b，c满足：2a＝＝log2c，则下列关系可能成立的是( )
A．bC．a[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
本例属于方程根问题，求解的关键是等价转化为相应函数图象的交点问题，如将问题转化为函数y＝2x, y＝， y＝log2x的图象与直线y＝t的交点的横坐标的大小关系，再画出图象，数形结合求解即可．
[跟进训练]
2．(2025·山西晋中模拟)若ea＝－ln a，e－b＝ln b，e－c＝－ln c，则( )
A．aC．b题型三 利用指数、对数及幂的运算性质比较大小
[典例3] (1)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c三个数从大到小的排列顺序为( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．b>a>c D．c>a>b
(2)已知a＝3log83，b＝－，c＝log43，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．c>a>b
C．b>c>a D．b>a>c
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
作差(商)比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差(商)，看其值与0(1)的关系，从而确定所比两值的大小关系．
[跟进训练]
3．(1)若a＝log54，b＝log43，c＝，则( )
A．b＞c＞a B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．c＞b＞a
(2)(2024·安徽阜阳一模)设a＝log23，b＝log812，c＝lg 15，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b题型四 构造函数法比较大小
[典例4] (1)已知a＝3ln 2π，b＝2ln 3π，c＝3ln π2，则下列选项正确的是( )
A．a＞b＞c B．c＞a＞b
C．c＞b＞a D．b＞c＞a
(2)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则( )
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
破解此类问题的关键是发现题眼、构造函数，如本例(1)的题眼是“对a，b，c同除以6π”，进而从中发现共性函数f (x)＝.
[跟进训练]
4．(2023·山东临沂一模)已知x＝＝，x＝logxz，则( )
A．x＜y＜z B．y＜x＜z
C．z＜x＜y D．z＜y＜x
题型五 特值法、设元法比较大小
[典例5] 设x，y，z为正实数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．3y＜2x＜5z B．2x＜3y＜5z
C．3y＜5z＜2x D．5z＜2x＜3y
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
本题利用特值法求解，显得简洁、明了；利用设元法求解，关键在于转化为比较的大小，其优点是便于运用对数函数的单调性．
[跟进训练]
5．(多选)设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则的大小关系可能是( )
A．＜＜ B．＜＜
C．＝＝ D．＜＜
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