第9课时 函数的零点与方程的解
[考试要求] 1．理解函数的零点与方程的解的联系．2．理解函数零点存在定理，并能简单应用．3．了解用二分法求方程的近似解．
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f (x)，我们把使___________的实数x叫做函数y＝f (x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f (x)＝0有实数解 函数y＝f (x)有____ 函数y＝f (x)的图象与___有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条________的曲线，且有___________________，那么，函数y＝f (x)在区间________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得___________，这个c也就是方程f (x)＝0的解．
提醒：函数f (x)的零点不是一个“点”，而是方程f (x)＝0的实根．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象________且___________________的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法，二分法只能求变号零点．
[常用结论]
1．若连续不断的函数f (x)在(a，b)上是单调函数，而且f (a)f (b)<0，则f (x)在(a，b)上有且仅有一个零点．
2．由函数y＝f (x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f (a)·f (b)<0，如图所示，所以f (a)·f (b)<0是y＝f (x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点． ( )
(2)若函数y＝f (x)在区间[a，b]内有零点(函数图象连续不断)，则f (a)·f (b)＜0. ( )
(3)函数y＝f (x)为R上的单调函数，则f (x)有且仅有一个零点． ( )
(4)只要函数有零点，就可以用二分法求出零点的近似值． ( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P155习题4.5T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
A B
C D
2．(多选)(人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4 5 6 7
f (x) －4 －2 1 4 2 －1 －3
在下列区间中，函数f (x)必有零点的区间为( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(5，6) D．(6，7)
3．(人教A版必修第一册P143例1改编)方程log2x＋x－2＝0的实根个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4. (人教A版必修第一册P156习题4.5T13改编)函数f (x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为________．
考点一 判定函数零点所在的区间
[典例1] (1)(2025·河北邯郸模拟)函数f (x)＝2x＋x3－2的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(0，1)
C．(－1，0) D．(1，2)
(2)已知函数f (x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，则再看是否有f (a)·f (b)<0，若有，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点．
[跟进训练]
1．若aA．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
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考点二 确定函数零点的个数
[典例2] (1) 函数f (x)＝的零点个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
(2)已知函数f (x)＝则函数g(x)＝f (x)－的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f (x)＝0，方程有多少个解，则f (x)有多少个零点．
(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
[跟进训练]
2．(1)设函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f (x)＝ex＋x－3，则f (x)的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)(2021·北京高考)已知f (x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论：
①若k＝0，则f (x)有两个零点；
② k＜0，使得f (x)有一个零点；
③ k＜0，使得f (x)有三个零点；
④ k＞0，使得f (x)有三个零点．
以上正确结论的序号是________．
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考点三 函数零点的应用
根据函数零点个数求参数
[典例3] 已知函数f (x)＝若关于x的方程f (x)＝m有3个不相等的实数根，则m的取值范围是________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
根据函数零点范围求参数
[典例4] (1)函数f (x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)上存在零点，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－5) B．(－5，－1)
C．(1，5) D．(5，＋∞)
(2)(2025·河南南阳模拟)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，当x∈[－1，1]时，f (x)＝x2，函数g(x)＝若函数h(x)＝f (x)－g(x)在区间[－5，5]上恰有8个零点，则a的取值范围为( )
A．(2，4) B．(2，5)
C．(1，5) D．(1，4)
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
已知函数零点求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．
[跟进训练]
3．(1)函数f (x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C． D．
(2)若函数f (x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是________．
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函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．
[典例] 函数f (x)＝若函数g(x)＝f (f (x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
[赏析] 第一步：换元解套
设t＝f (x)，令f (f (x))－a＝0，则a＝f (t)．
第二步：辅助图形
在同一平面直角坐标系内作出y＝a，y＝f (t)的图象(如图)．
第三步：数形结合
当a≥－1时，y＝a与y＝f (t)的图象有两个交点．
设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2＞t1)，则t1＜－1，t2≥－1.
当t1＜－1时，t1＝f (x)有一解；
当t2≥－1时，t2＝f (x)有两解．
第四步：归纳总结
综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f (f (x))－a有三个不同的零点．
[答案] [－1，＋∞)
该类问题考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合思想是解决本类问题的关键．含参数的嵌套函数方程，应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合，如本例由y＝a与y＝f (t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由y＝f (x)与y＝t的图象确定零点的个数．
[跟进训练]
1．(2024·浙江金华三模)若函数f (x)＝x＋，则方程f (f (x))＝3的实数根个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
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2．(2024·安徽合肥三模)设a∈R，函数f (x)＝若函数y＝f (f (x))恰有5个零点，则实数a的取值范围为( )
A．(－2，2) B．(0，2)
C．[－1，0) D．(－∞，－2)
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8 / 8第9课时 函数的零点与方程的解
[考试要求] 1．理解函数的零点与方程的解的联系．2．理解函数零点存在定理，并能简单应用．3．了解用二分法求方程的近似解．
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f (x)，我们把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f (x)＝0有实数解 函数y＝f (x)有零点 函数y＝f (x)的图象与x轴有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解．
提醒：函数f (x)的零点不是一个“点”，而是方程f (x)＝0的实根．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)f (b)<0的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法，二分法只能求变号零点．
[常用结论]
1．若连续不断的函数f (x)在(a，b)上是单调函数，而且f (a)f (b)<0，则f (x)在(a，b)上有且仅有一个零点．
2．由函数y＝f (x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f (a)·f (b)<0，如图所示，所以f (a)·f (b)<0是y＝f (x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点． ( )
(2)若函数y＝f (x)在区间[a，b]内有零点(函数图象连续不断)，则f (a)·f (b)＜0. ( )
(3)函数y＝f (x)为R上的单调函数，则f (x)有且仅有一个零点． ( )
(4)只要函数有零点，就可以用二分法求出零点的近似值． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P155习题4.5T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
A B
C D
A [根据二分法的概念可知选项A中的函数不能用二分法求零点．]
2．(多选)(人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4 5 6 7
f (x) －4 －2 1 4 2 －1 －3
在下列区间中，函数f (x)必有零点的区间为( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(5，6) D．(6，7)
BC [由所给的函数值表知，
f (1)f (2)>0，f (2)f (3)<0，f (5)f (6)<0，f (6)f (7)＞0，∴函数f (x)必有零点的区间为(2，3)，(5，6)．故选BC.]
3．(人教A版必修第一册P143例1改编)方程log2x＋x－2＝0的实根个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [令f (x)＝log2x＋x－2，易知函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝－1，f (2)＝1，所以f (1)f (2)＜0，
故方程f (x)＝0在(0，＋∞)上只有一个实根．故选B.]
4. (人教A版必修第一册P156习题4.5T13改编)函数f (x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为________．
0或－ [当a＝0时，f (x)＝－x－1，
令f (x)＝0得x＝－1，
故f (x)只有一个零点为－1.
当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－.]
考点一 判定函数零点所在的区间
[典例1] (1)(2025·河北邯郸模拟)函数f (x)＝2x＋x3－2的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(0，1)
C．(－1，0) D．(1，2)
(2)已知函数f (x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2(1)B (2)2 [(1)由函数f (x)＝2x＋x3－2可知f (x)在R上单调递增，
因为f (－2)＝－8－2＝－<0，f (－1)＝－1－2＝－<0，
f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0，
根据函数零点存在定理，f (x)的零点所在的区间是(0，1)，且零点是唯一的．故选B.
(2)对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一直角坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断出两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，所以函数f (x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.
]
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，则再看是否有f (a)·f (b)<0，若有，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点．
[跟进训练]
1．若aA．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
A [函数y＝f (x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a0，f (b)＝(b－c)(b－a)<0，f (c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f (a)f (b)<0，f (b)f (c)<0，即f (x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．]
考点二 确定函数零点的个数
[典例2] (1) 函数f (x)＝的零点个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
(2)已知函数f (x)＝则函数g(x)＝f (x)－的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(1)D (2)C [(1)当x≤0时，令x2－1＝0，解得x＝－1；
当x>0时，f (x)＝x－2＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，并且f (1)＝1－2＋ln 1＝－1<0，
f (2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0，即f (1)f (2)<0，
所以函数f (x)在区间(1，2)内必有一个零点，
综上，函数f (x)的零点个数为2.
(2)令g(x)＝0得f (x)＝，
在同一直角坐标系中作出f (x)及y＝的大致图象如图所示．
由图象可知，函数y＝f (x)与y＝的图象有3个交点，
即函数g(x)有3个零点．故选C.]
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f (x)＝0，方程有多少个解，则f (x)有多少个零点．
(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
[跟进训练]
2．(1)设函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f (x)＝ex＋x－3，则f (x)的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)(2021·北京高考)已知f (x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论：
①若k＝0，则f (x)有两个零点；
② k＜0，使得f (x)有一个零点；
③ k＜0，使得f (x)有三个零点；
④ k＞0，使得f (x)有三个零点．
以上正确结论的序号是________．
(1)C (2)①②④
[(1)因为函数f (x)是定义域为R的奇函数，所以f (0)＝0，即x＝0是函数f (x)的1个零点．当x＞0时，令f (x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f (x) 在(0，＋∞)上有1个零点．根据对称性知，当x＜0时，函数f (x)也有1个零点．综上所述，f (x)的零点个数为3.
(2)将问题转化成两个函数y1＝|lg x|，y2＝kx＋2图象的交点问题．
对于①，当k＝0时，|lg x|＝2，两函数图象有两个交点，①正确；
对于②，存在k＜0，使y1＝|lg x|与y2＝kx＋2相切，②正确；
对于③，若k＜0，y1＝|lg x|与y2＝kx＋2的图象最多有2个交点，③错误；
对于④，当k＞0时，过点(0，2)可作函数g(x)＝lg x(x＞1)的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故④正确．]
【教用·备选题】
已知函数f＝则关于x的函数y＝4f2－13f＋9的零点的个数为( )
A．8 B．7 C．5 D．2
B [根据题意，令4f 2(x)－13f (x)＋9＝0，
得f (x)＝1或f (x)＝.作出f (x)的简图，如图，
由图象可得直线y＝1、y＝与f (x)的图象，分别有4个和3个交点，故关于x的函数y＝4f2－13f＋9的零点的个数为7.故选B.]
考点三 函数零点的应用
根据函数零点个数求参数
[典例3] 已知函数f (x)＝若关于x的方程f (x)＝m有3个不相等的实数根，则m的取值范围是________．
[1，2] [作出f (x)的大致图象．如图所示，
方程f (x)＝m有3个不等实数根等价于f (x)的图象与直线y＝m有3个不同的交点，则1≤m≤2.]
【教用·备选题】
1．(多选)已知函数f (x)＝ 函数g(x)＝[f (x)]2－(a－1)f (x)－a，则下列说法错误的是( )
A．若a<－，则g(x)恰有2个零点
B．若1≤a<2，则g(x)恰有4个零点
C．若g(x)恰有3个零点，则a的取值范围是[0，1)
D.若g(x)恰有2个零点，则a的取值范围是∪(2，＋∞)
ACD [令g(x)＝[f (x)]2－(a－1)f (x)－a＝0，
则[f (x)－a][f (x)＋1]＝0，解得f (x)＝－1或f (x)＝a.
当x>0时，f′(x)＝ln x＋1.由f′(x)>0，得x>；由f′(x)<0，得0则f (x)在上单调递减，在上单调递增，f＝－.
f (x)＝－x2－2x＋1，x≤0，当x＝－1时，f (－1)＝2，
故f (x)的大致图象如图所示．由图可知，方程f (x)＝－1有且仅有1个实根．
当a＝－1时，g(x)恰有1个零点，故A错误；
当1≤a<2时，方程f (x)＝a有3个实根，则g(x)恰有4个零点，故B正确；
由g(x)恰有3个零点，得方程f (x)＝a恰有2个实根，则a＝2或0≤a<1或a＝－，则C错误；
由g(x)恰有2个零点，得方程f (x)＝a恰有1个实根，且a≠－1，则a<－1或－12，则D错误．
故选ACD.]
2．已知函数f (x)＝若函数f (x)有且只有一个零点，则实数a的取值范围是 ________；若函数f (x)存在三个零点，则实数a的取值范围是 ________．
(－∞，－)∪ [，＋∞) [y＝ 当x≤a时，y′＝3－3x2≥0 x∈[－1，1]，可得y＝3x－x3在[－1，1]上单调递增，在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，
解方程3x－x3＝0，其根依次记为x1＝－，x3＝0，x4＝，而2x＋1＝0的根记为x2＝－，可得其草图如图所示．
若函数f (x)有且只有一个零点，由函数解析式可知该零点只能为x1＝－，或x2＝－.
(i)若零点为x2＝－，只需a<－，即函数左半段无零点，零点在右半段，即直线段部分上；
(ii)若零点为x1＝－，由函数解析式及图象可知，只需a∈，
所以若f (x)有且只有一个零点，则实数a的取值范围为(－∞，－.
若函数f (x)存在三个零点，则零点为x1＝－，x3＝0，x4＝，只需a≥.]
3．已知函数f (x)＝g(x)＝f (x)＋x＋a.若函数g(x)存在2个零点，则a的取值范围是________．
[－1，＋∞) [函数g(x)＝f (x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f (x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f (x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f (x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.
]
根据函数零点范围求参数
[典例4] (1)函数f (x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)上存在零点，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－5) B．(－5，－1)
C．(1，5) D．(5，＋∞)
(2)(2025·河南南阳模拟)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，当x∈[－1，1]时，f (x)＝x2，函数g(x)＝若函数h(x)＝f (x)－g(x)在区间[－5，5]上恰有8个零点，则a的取值范围为( )
A．(2，4) B．(2，5)
C．(1，5) D．(1，4)
(1)B (2)A [(1)由y1＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，y2＝x2＋m在(0，＋∞)上单调递增，得函数f (x)＝log2x＋x2＋m在区间(0，＋∞)上单调递增，
因为函数f (x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)上存在零点，
所以即解得－5所以实数m的取值范围是(－5，－1)．故选B.
(2)函数h(x)＝f (x)－g(x)在区间[－5，5]上恰有8个零点，即函数f (x)与函数g(x)的图象在区间[－5，5]上有8个交点，由f (x＋2)＝f (x)知，f (x)是R上周期为2的函数，作函数f (x)与函数g(x)在区间[－5，5]上的图象，如图所示，
由图象知，当x∈[－5，1]时，图象有5个交点，故在(1，5]上有3个交点即可，
故解得2 已知函数零点求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．
[跟进训练]
3．(1)函数f (x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C． D．
(2)若函数f (x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是________．
(1)D (2) [(1)由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.
(2)依题意，结合函数f (x)的图象(图略)分析可知，m需满足
即
解得函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．
[典例] 函数f (x)＝若函数g(x)＝f (f (x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
[赏析] 第一步：换元解套
设t＝f (x)，令f (f (x))－a＝0，则a＝f (t)．
第二步：辅助图形
在同一平面直角坐标系内作出y＝a，y＝f (t)的图象(如图)．
第三步：数形结合
当a≥－1时，y＝a与y＝f (t)的图象有两个交点．
设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2＞t1)，则t1＜－1，t2≥－1.
当t1＜－1时，t1＝f (x)有一解；
当t2≥－1时，t2＝f (x)有两解．
第四步：归纳总结
综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f (f (x))－a有三个不同的零点．
[答案] [－1，＋∞)
该类问题考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合思想是解决本类问题的关键．含参数的嵌套函数方程，应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合，如本例由y＝a与y＝f (t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由y＝f (x)与y＝t的图象确定零点的个数．
[跟进训练]
1．(2024·浙江金华三模)若函数f (x)＝x＋，则方程f (f (x))＝3的实数根个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
D [f (x)＝x＋＝
当x<0时，f (x)＝x－，此时f (x)＝x－在(－∞，0)上单调递增，
当x>0时，f (x)＝x＋，则f′(x)＝1－＝，
故当x>1时，f′(x)>0，当0故f (x)＝x＋在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
作出函数f (x)和y＝3的图象如图：
令x＋＝3得，x2＝，x3＝，
故x1∈(－1，0)，x2∈(0，1)，x3∈(2，＋∞)，
令f (x)＝t，则f (t)＝3，且t1∈(－1，0)，t2∈(0，1)，t3∈(2，＋∞)，
当f (x)＝t1∈(－1，0)时，结合图象可知，只有1个根x4，
当f (x)＝t2∈(0，1)时，结合图象可知，只有1个根x5，
当f (x)＝t3∈(2，＋∞)时，结合图象可知，有3个根x6，x7，x8，
综上，方程f (f (x))＝3的实数根的个数为5.故选D.]
2．(2024·安徽合肥三模)设a∈R，函数f (x)＝若函数y＝f (f (x))恰有5个零点，则实数a的取值范围为( )
A．(－2，2) B．(0，2)
C．[－1，0) D．(－∞，－2)
D [设t＝f (x)，当x≥0时，f (x)＝2|x-1|－1，此时t≥0，由f (t)＝0得t＝1，即f (x)＝2|x-1|－1＝1，解得x＝0或x＝2，所以y＝f (f (x))在[0，＋∞)上有2个零点；
当x<0时，若a≥0，f (x)＝－x2＋ax，图象对称轴为x＝，函数y＝f (x)的大致图象如图，
此时f (x)＝－x2＋ax<0，即t<0，则f (t)<0，
所以f (t)＝0无解，则y＝f (f (x))无零点，即a≥0时，y＝f (f (x))只有2个零点，不符合题意，若a<0，此时f (x)的大致图象如图，
令－t2＋at＝0，解得t＝a<0(t＝0舍去)，
显然f (x)＝a在(－∞，0)上存在唯一负解，
所以要使y＝f (f (x))恰有5个零点，
需f>1，即－>1，解得a<－2，
所以a∈(－∞，－2)．故选D.]
课后作业(十五) 函数的零点与方程的解
一、单项选择题
1．(2025·重庆模拟)函数f (x)＝ex＋x2－2的零点有( )
A．4个 B．2个 C．1个 D．0个
B [令f (x)＝ex＋x2－2＝0，即ex＝2－x2，
可知函数f (x)的零点个数即为y＝ex与y＝2－x2的图象交点个数，结合函数的图象，可知y＝ex与y＝2－x2的函数图象有两个交点，所以函数有两个零点，即函数f (x)＝ex＋x2－2的零点有2个．故选B.]
2．(2025·浙江温州模拟)设h(x)＝2x＋log2(x＋1)－2，某同学用二分法求方程h(x)＝0的近似解(精确度为0.5)，列出了对应值表如下：
x －0.5 0.125 0.437 5 0.75 2
h(x) －1.73 －0.84 －0.42 0.03 2.69
依据此表格中的数据，方程的近似解x0可能为( )
A．x0＝－0.125 B．x0＝0.375
C．x0＝0.525 D．x0＝1.5
C [由题中参考数据可得根在区间(0.437 5，0.75)内，故通过观察四个选项，符合要求的方程近似解 x0可能为0.525.故选C.]
3．(2025·河北保定模拟)已知函数f (x)＝(x)＝f (x)－x－a.若g(x)有2个零点，则实数a的取值范围是( )
A．[－1，0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
D [x>0时，f (x)＝－x，函数在(0，＋∞)上单调递减，f (1)＝0，
令g(x)＝0可得f (x)＝x＋a，在同一直角坐标系中画出函数y＝f (x)与函数y＝x＋a的图象，如图所示：
由图可知，当a≥1时，函数y＝f (x)与函数y＝x＋a的图象有2个交点，此时，函数y＝g(x)有2个零点．因此，实数a的取值范围是[1，＋∞)．故选D.]
4．(2025·河南郑州模拟)若定义域为R的奇函数f (x)满足f (x＋1)＝f (x)，则f (x)在(－2，2)上的零点个数至少为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
C [由f (x)是定义域为R的奇函数可得f (0)＝0，
再由f (x＋1)＝f (x)可得函数周期为1，所以f (－1)＝f (0)＝f (1)＝0.
在f (x＋1)＝f (x)中取x＝－，
得f＝f＝－f，
所以f ＝0，f ＝0，f＝0，f ＝0，
所以f (x)在(－2，2)上的零点个数至少为7.故选C.]
5．(2024·浙江温州三模)已知函数f (x)＝则关于x的方程f (x)＝ax＋2的根的个数不可能是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
C [画出函数y＝f (x)的图象，如图所示：
将原问题转化为直线y＝ax＋2(过定点(0，2))与函数y＝f (x)的图象交点的个数，
由图可知，当a＝0时，直线y＝2与函数y＝f (x)的图象只有一个交点；
当a<0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f (x)的图象没有交点；
当a>0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f (x)的图象有三个交点；
所以直线y＝ax＋2与函数y＝f (x)的图象不可能有两个交点．故选C.]
6．(人教A版必修第一册P160复习参考题4T5(3)改编)已知函数f (x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是( )
A．b>c>a B．a>b>c
C．c>b>a D．c>a>b
C [函数f (x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为a，b，c，即函数y1＝2x，y2＝ln x，y3＝－－1与函数y＝－x图象的交点的横坐标分别为a，b，c，在同一直角坐标系中画出y1＝2x，y2＝ln x，y3＝－－1，y＝－x的图象，结合图象可得c>b>a.故选C.
]
二、多项选择题
7．(2024·广东湛江二模)已知函数f (x)＝|2x－1|－a，g(x)＝x2－4|x|＋2－a，则( )
A．当g(x)有2个零点时，f (x)只有1个零点
B．当g(x)有3个零点时，f (x)只有1个零点
C．当f (x)有2个零点时，g(x)有2个零点
D．当f (x)有2个零点时，g(x)有4个零点
BD [令f (x)＝0，g(x)＝0，得＝a，x2－4＋2＝a，
利用指数函数与二次函数的性质，在同一直角坐标系中画出y＝，y＝x2－4＋2的大致图象，如图所示，
由图可知，当g(x)有2个零点时，a＝－2或a>2，
此时f (x)无零点或只有1个零点，故A错误；
当g(x)有3个零点时，a＝2，此时f (x)只有1个零点，故B正确；
当f (x)有2个零点时，08．对于函数f (x)，若在其定义域内存在x0，使得f (x0)＝x0，则称x0为函数f (x)的一个“不动点”，下列函数存在“不动点”的有( )
A．f (x)＝2x2＋ B．f (x)＝ex－3x
C．f (x)＝ex-1－2ln x D．f (x)＝ln x－
BC [对于A，f (x)的定义域为R，f (x)＝2x2＋＝x，则2x2－x＋＝0，由于Δ＝1－4×2×<0，故方程无实数根，故A错误；
对于B，f (x)的定义域为R，f (x)＝ex－3x＝x，记g(x)＝ex－4x，则g(x)的图象是连续不断的曲线，g(0)＝1>0，g(1)＝e－4<0，根据零点存在定理可知，g(x)在(0，1)上存在零点，故B正确；
对于C，f (x)的定义域为(0，＋∞)，f (x)＝ex-1－2ln x＝x，由于f (1)＝e0－0＝1，所以x＝1是f (x)的一个不动点，故C正确；
对于D，f (x)的定义域为(0，＋∞)，f (x)＝ln x－＝x，令F(x)＝ln x－－x，
则F′(x)＝－1＝＝，
故当x>2时，F′(x)<0，F(x)单调递减，
当0＜x＜2时，F′(x)>0，F(x)单调递增，
故当x＝2时，F(x)取极大值也是最大值，
故F(x)≤F(2)＝ln 2－3<0，故f (x)＝ln x－＝x在(0，＋∞)上无实数根，故D错误．故选BC.]
三、填空题
9．函数f的图象在区间(0，2)上连续不断，能说明“若f在区间(0，2)上存在零点，则f (0)·f (2)<0”为假命题的一个函数f的解析式可以为f＝________．
(答案不唯一) [函数f的图象在区间(0，2)上连续不断，且“若f在区间(0，2)上存在零点，则f (0)·f (2)<0”为假命题，可知函数f满足在(0，2)上存在零点，且f (0)·f (2)≥0，所以满足题意的函数解析式可以为f＝.]
10．(2024·北京朝阳一模)已知函数f (x)＝ 若实数a，b，c(a2 [6，7) [由f (x)＝故f (x)在(－∞，1]和(2，＋∞)上单调递减，
在[1，2]上单调递增，且有f (1)＝0，f (2)＝1，f (0)＝1，f (4)＝1，f (5)＝0.
由f (a)＝f (b)＝f (c)，则0≤a<1当x∈[0，2]时，f (x)＝|x－1|，则f (x)的图象关于x＝1对称，故a＋b＝2，则a＋b＋c＝2＋c∈[6，7)．]
11．关于函数f (x)＝ 其中a，b∈R，给出下列四个结论：
甲：5是该函数的零点；
乙：4是该函数的零点；
丙：该函数的所有零点之积为0；
丁：方程f (x)＝1有两个不等的实根．
若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
B [当x∈[3.5，＋∞)时，f (x)＝b－x单调递减，故5和4只有一个是函数的零点．
即甲、乙中有一个结论错误，一个结论正确，故丙、丁均正确．
由所有零点之积为0，结合分段函数的性质，知必有一个零点为0，
则f (0)＝log22－a＝0，可得a＝1.
①若甲正确，则f (5)＝b－5＝0，则b＝5，
可得f (x)＝
由f (x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1，0≤x<3.5或5－x＝1，x≥3.5，解得x＝2或x＝4，方程f (x)＝1有两个不等的实根，故丁正确．则甲正确，乙错误；
②若乙正确，则f (4)＝0，即b－4＝0，则b＝4，
可得f (x)＝
由f (x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1，0≤x<3.5或4－x＝1，x≥3.5，
解得x＝2，方程f (x)＝1只有一个实根，故丁错误，不满足题意．
综上，甲正确，乙错误．故选B.]
12．(多选)(2024·湖南怀化二模)已知函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋ln x的零点为x2，则( )
A．x1＋x2>0 B．x1x2<0
＋ln x2＝0 D．x1x2－x1＋x2>1
BC [依题意＝＝－x1，x2＋ln x2＝0 ln x2＝－x2，
则x1，x2分别是直线y＝－x与函数y＝ex，y＝ln x的图象交点的横坐标，
而函数y＝ex与y＝ln x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，
又直线y＝－x垂直于直线y＝x，则点)与点(x2，ln x2)关于直线y＝x对称，
则x2＝＝－x1>0，于是x1＋x2＝＋ln x2＝0，BC正确，A错误；
易知－1＜x1＜0，0＜x2＜1，则x1x2－x1＋x2－1＝(x1＋1)(x2－1)<0，即x1x2－x1＋x2<1，D错误．故选BC.]
13．(多选)已知函数f (x)＝下列关于函数y＝f＋1的零点个数的说法中正确的是( )
A．当k>1时，有1个零点
B．当k＝－2时，有3个零点
C．当0＜k＜1时，有4个零点
D．当k＝－4时，有7个零点
ABD [令y＝0，得f ＝－1，设f＝t，则方程f＝－1等价为f＝－1，函数y＝x2－kx＋1的图象开口向上，过点，对称轴为x＝.
对于A，当k>1时，画出函数f的图象，
∵f＝－1，此时方程f＝－1有1个根t＝，由f＝可知，此时只有1个解，即函数y＝f＋1有1个零点，故A正确；
对于B，当k＝－2时，画出函数f的图象，
∵f＝－1，此时方程f＝－1有1个根t＝，由f＝可知，此时有3个解，即函数y＝f (f (x))＋1有3个零点，故B正确；
对于C，当0＜k＜1时，图象类似于选项A对应的图象，只有1个零点，故C错误；
对于D，当k＝－4时，画出函数f的图象，
∵f＝－1，此时方程f＝－1有3个根，其中t1＝，t2∈(－1，0)，t3∈(－4，－3)，由f＝可知，此时有3个解，由f＝t2∈(－1，0)可知，此时有3个解，由f＝t3∈(－4，－3)可知，此时有1个解，即函数y＝f＋1有7个零点，故D正确．故选ABD.]
14．若函数f (x)＝x ln x－x＋|x－a|有且仅有两个零点，则a的取值范围是( )
A．∪(0，e)
B．∪(0，e)
C．∪(0，3)
D．∪(0，3)
A [由f (x)＝0可得|x－a|＝x－x ln x，则函数y＝|x－a|与函数y＝x－x ln x的图象有两个交点．
设g(x)＝x－x ln x，则g′(x)＝－ln x.
令g′(x)＝－ln x＞0，解得0＜x＜1；
令g′(x)＝－ln x＜0，解得x＞1.
所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
令g′(x)＝1，解得x＝，可求得g(x)的图象在x＝处的切线方程为y＝x＋.
令g′(x)＝－1，解得x＝e，可求得g(x)的图象在x＝e处的切线方程为y＝－x＋e.
据此作出函数y＝|x－a|与函数y＝x－x ln x的图象，如图所示．
切线y＝x＋与y＝－x＋e在x轴上的截距分别为－，e，又当a＝0时，函数y＝|x－a|与函数y＝x－x ln x的图象只有一个交点(1，1)，不符合题意，因此a≠0，
故数形结合可得实数a的取值范围为∪(0，e)，故选A.]
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