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一轮复习
《高考快车道》2026版高三一轮总复习(数学)28 第三章 教考衔接课1 切线不等式在导数中的应用(pdf版, 含解析)
文档属性
名称
《高考快车道》2026版高三一轮总复习(数学)28 第三章 教考衔接课1 切线不等式在导数中的应用(pdf版, 含解析)
格式
zip
文件大小
1.6MB
资源类型
试卷
版本资源
通用版
科目
数学
更新时间
2025-07-02 11:49:33
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文档简介
“ex≥1+x” “x-1≥ln x,x∈(0,+∞)”“sin x
1.几个常见函数的泰勒公式
(1)ex=1+x++…;
(2)=1+x+x2+x3+…;
(3)ln (1+x)=x-+…;
(4)cos x=1-+…;
(5)sin x=x-+….
2.两个超越不等式
从泰勒公式中截取片段就构成了常见的不等式:
总结如下(注意解答题需先证明后使用):
(1)对数型超越放缩:≤ln x≤x-1(x>0);
(2)指数型超越放缩:x+1≤ex≤(x<1).
命题点一 比较大小
[典例1] (1)(2022·新高考Ⅰ卷)设a=0.1e0.1,b=,c=-ln 0.9,则( )
A.a
C.c
(2)(2022·全国甲卷)已知a=,b=cos ,c=4sin ,则( )
A.c>b>a B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
(1)C (2)A [法一(构造法):构造函数f (x)=ln x+,x>0,则f ′(x)=,x>0,
当f ′(x)=0时,x=1,
∴当0
当x>1时,f ′(x)>0,f (x)单调递增.
∴f (x)在x=1处取最小值,且f (1)=1,
∴ln x≥1-(当x=1时取等号),
∴ln 0.9>1-=-,∴-ln 0.9<,∴c
∵-ln 0.9=ln >1-=,
∴>e0.1,∴0.1e0.1<,∴a
∵0.1e0.1>0.1×1.1=0.11,
而-ln 0.9=ln<=<0.11,
∴a>c,∴c
法二(利用不等式):由不等式ln x<(x>1),
得-ln 0.9=ln <=<0.11,
又∵e0.1>0.1+1=1.1,∴a=0.1e0.1>0.11,
∴c
由ex≥x+1,得e-x≥-x+1,得ex≤(x<1),∴e0.1<=,
∴a=0.1e0.1<=,∴a
法三(泰勒公式):设x=0.1,则
a=xex=0.1,
b==0.1(1+0.1+0.01+0.001+…),
c=-ln (1-x)=0.1++…,
∴c<a<b.故选C.
(2)法一(构造法):设f (x)=cos x+x2-1(0
设g(x)=x-sin x(0
0,
故g(x)在(0,1)上单调递增,
即g(x)>g(0)=0,
即f ′(x)>0,故f (x)在(0,1)上单调递增,
∴f>f (0)=0,可得cos >,故b>a.
利用不等式可得x∈时,tan x>x,
∴tan >,即>,
∴4sin >cos ,故c>b.
综上,c>b>a,故选A.
法二(泰勒公式):设x=0.25,则
a=1-=1-,
b=cos x=1--…,
c==1--…,
∴a<b<c.故选A.]
几个常用不等式:
(1)x∈(0,1)时,sin x>ln (x+1);
(2)x>0时,ln x≥1-(x=1时取等号);
(3)x>0时,x>sin x;
(4)x>1时,ln x>.
命题点二 证明不等式
[典例2] 已知函数f (x)=,g(x)=,且曲线y=f (x)在x=1处的切线方程为x-2y+n=0.
(1)求m,n的值;
(2)证明:f (x)>2g(x)-1.
[解] (1)由已知得f (1)=0,∴1-0+n=0,解得n=-1.
∵f ′(x)=,
∴f ′(1)==,解得m=1.
(2)证明:设h(x)=ex-x-1(x>0),
则h′(x)=ex-1>0,
∴h(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴h(x)>h(0)=0,即ex>x+1>1,
∴<.
要证f (x)>2g(x)-1,即证>-1,
即证-1,即证x ln x≥x-1,
令m(x)=x ln x-x+1(x>0),
则m′(x)=ln x,
当x∈(0,1)时,m′(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,m′(x)>0,
∴m(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴m(x)min=m(1)=0,∴m(x)≥0,
∴x ln x≥x-1,
∴f (x)>2g(x)-1得证.
导数方法证明不等式的问题中,最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题,对于这类问题,可以考虑先对ex和ln x进行放缩,使问题简化,简化后再构造函数进行证明.常见的放缩公式如下:
(1)ex≥1+x,当且仅当x=0时取等号;
(2)ln x≤x-1,当且仅当x=1时取等号.
1/1“ex≥1+x” “x-1≥ln x,x∈(0,+∞)”“sin x
1.几个常见函数的泰勒公式
(1)ex=1+x++…;
(2)=1+x+x2+x3+…;
(3)ln (1+x)=x-+…;
(4)cos x=1-+…;
(5)sin x=x-+….
2.两个超越不等式
从泰勒公式中截取片段就构成了常见的不等式:
总结如下(注意解答题需先证明后使用):
(1)对数型超越放缩:≤ln x≤x-1(x>0);
(2)指数型超越放缩:x+1≤ex≤(x<1).
命题点一 比较大小
[典例1] (1)(2022·新高考Ⅰ卷)设a=0.1e0.1,b=,c=-ln 0.9,则( )
A.a
C.c
(2)(2022·全国甲卷)已知a=,b=cos ,c=4sin ,则( )
A.c>b>a B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
[听课记录]
几个常用不等式:
(1)x∈(0,1)时,sin x>ln (x+1);
(2)x>0时,ln x≥1-(x=1时取等号);
(3)x>0时,x>sin x;
(4)x>1时,ln x>.
命题点二 证明不等式
[典例2] 已知函数f (x)=,g(x)=,且曲线y=f (x)在x=1处的切线方程为x-2y+n=0.
(1)求m,n的值;
[听课记录]
(2)证明:f (x)>2g(x)-1.
[解] (1)由已知得f (1)=0,∴1-0+n=0,解得n=-1.
∵f ′(x)=,
∴f ′(1)==,解得m=1.
[听课记录]
导数方法证明不等式的问题中,最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题,对于这类问题,可以考虑先对ex和ln x进行放缩,使问题简化,简化后再构造函数进行证明.常见的放缩公式如下:
(1)ex≥1+x,当且仅当x=0时取等号;
(2)ln x≤x-1,当且仅当x=1时取等号.
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