第7课时 正弦定理、余弦定理
[考试要求] 1．掌握正弦定理、余弦定理及其变形． 2．能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝c2＋a2－2ca cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C
变形 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝
2．三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)；
(4)S＝.
[常用结论]
1．三角形中的边角关系
在△ABC中，大边对大角，大角对大边，A＞B a＞b sin A＞sin B cos A＜cos B.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin (A＋B)＝sin C；(2)cos (A＋B)＝－cos C；
(3)sin ＝cos ；(4)cos ＝sin .
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B．
4．数量积的余弦定理式
在△ABC中，＝.
5．角平分线定理
＝(在△ABC中，AD是∠BAC的平分线)．
6．在△ABC中，sin 2A＝sin 2B A＝B或A＋B＝.
7．在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差(等比)数列，则0＜B≤.
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在△ABC中，一定有a＋b＋c＝sin A＋sin B＋sin C． ( )
(2)在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则必有A＝B. ( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素． ( )
(4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第二册P47例7改编)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝( )
A．2 B．1 C． D．
D [由＝得，b＝＝＝×2＝.]
2．(人教A版必修第二册P44练习T1(2)改编)在△ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b等于( )
A．2 B．12
C．2 D．28
A [由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝4＋16－8＝12，所以b＝2.]
3．(人教A版必修第二册P47例8改编)在△ABC中，已知B＝45°，b＝2，c＝，则C＝________．
30° [由正弦定理得sin C＝＝＝，因为b＞c，B＝45°，所以C＝30°.]
4．(人教A版必修第二册P44练习T2改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则cos A＝________，△ABC的面积为________．
[依题意得cos A＝＝，
所以sin A＝＝，
所以△ABC的面积为bc sin A＝.]
考点一 利用正、余弦定理解三角形
[典例1] (2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2.
(1)求A；
(2)若a＝2，b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长．
[解] (1)由sin A＋cos A＝2，得
sin A＋cos A＝1，即sin ＝1，
由于A∈(0，π)，所以A＋∈，
故A＋＝，
所以A＝.
(2)由题设条件和正弦定理得
sin B sin C＝2sin C sin B cos B，
又B，C∈(0，π)，则sin B sin C≠0，所以cos B＝，所以B＝，所以C＝π－A－B＝.
sin C＝sin (π－A－B)＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A＝，
由正弦定理＝＝，可得＝＝，解得b＝2，c＝，
故△ABC的周长为2＋＋3.
解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，要考虑用正弦定理．以上特征都不明显时，要考虑两个定理都有可能用到．
[跟进训练]
1．(1)(2025·福建厦门模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b－c＝a，2sin B＝3sin C，则cos A＝( )
A．－ B．
C．－ D．
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csin A＝acos C，c＝2，ab＝8，则a＋b的值是( )
A．6 B．8
C．4 D．2
(3)(2025·河北邢台模拟)在△ABC中，已知A＝，a＝2，若△ABC有两解，则边b的取值范围为________．
(1)A (2)A (3)(2，4) [(1)由2sin B＝3sin C，则2b＝3c，
则b－c＝b－b＝a，即b＝a，
则c＝b＝a＝a，
故cos A＝＝＝＝－.故选A.
(2)由csin A＝acos C及正弦定理可得
sin Csin A＝sin Acos C，因为A∈(0，π)，
所以sin A≠0，所以sin C＝cos C，
可得tan C＝，
又C∈(0，π)，所以C＝.
又c＝2，ab＝8，
所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，可得
12＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝(a＋b)2－24，
所以a＋b＝6.
(3)由图可得，要使△ABC有两解，
则b sin A
]
【教用·备选题】
1．在下列关于△ABC的四个条件中选择一个，能够使角A被唯一确定的是( )
①sin A＝；②cos A＝－；
③cos B＝－，b＝3a；④C＝，b＝2，c＝.
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
B [对于①：sin A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝或，故①错误；
对于②：cos A＝－，因为y＝cos x在(0，π)上单调，所以角A被唯一确定，故②正确；
对于③：cos B＝－，b＝3a，因为cos B＝－＜0，B∈(0，π)，所以B∈，所以A∈，
所以sin B＝＝，
又b＝3a，由正弦定理得sinB＝3sin A，
所以sin A＝＝，
所以角A被唯一确定，故③正确；
对于④：C＝，b＝2，c＝，
因为b sin C＝2×sin ＝，
所以b sin C＜c＜b，
如图，△ABC不唯一，故④错误.
故选B.]
2．(2024·山东济南期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2C－cos2B＋sin2A＝sinA sin B＝，且△ABC的面积为，则边c的值为________．
[∵cos2C－cos2B＋sin2A＝sinA sin B，
∴1－sin2C－(1－sin2B)＋sin2A＝sinA sin B，即sin2B＋sin2A－sin2C＝sinA sin B，
由正弦定理角化边得b2＋a2－c2＝ab，
∴cos C＝＝＝，
又C∈(0，π)，∴C＝，
由正弦定理＝＝，
∴＝，
即2ab＝，
化简得c2＝ab，
又S△ABC＝ab sinC＝，
∴ab＝4，
∴c2＝6，解得c＝.]
3．(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin (A－B)＝sin Bsin(C－A)．
(1)证明：2a2＝b2＋c2；
(2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长．
[解] (1)证明：因为sin C sin (A－B)＝sin B·sin (C－A)，
所以sin C sin A cos B－sin C sin B cos A＝sin B·sin C cos A－sin B sin A cos C，
所以ac·－2bc·
＝－ab·，
即－(b2＋c2－a2)＝－，
所以2a2＝b2＋c2.
(2)因为a＝5，cos A＝，
由(1)得b2＋c2＝50，
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，
得50－bc＝25，
所以bc＝，
故(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝50＋31＝81，
所以b＋c＝9，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝14.
考点二 判断三角形的形状
[典例2] 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
A [法一(化角为边)：因为b cos C＋c cos B＝b·＋c·＝＝a，所以a sin A＝a，即sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形．
法二(化边为角)：因为bcos C＋ccos B＝asin A，
所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
即sin(B＋C)＝sin2A，
所以sinA＝sin2A，
故sinA＝1，即A＝，因此△ABC是直角三角形．
法三(射影定理)：因为b cos C＋c cos B＝a＝a sin A，
所以sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形．]
[拓展变式]
若本例条件变为＝，判断△ABC的形状．
[解] 由＝，
得＝，
所以sin A cos A＝cos B sin B，
所以sin 2A＝sin 2B.
因为A，B为△ABC的内角，
所以2A＝2B或2A＝π－2B，
所以A＝B或A＋B＝，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
判定三角形形状的两种常用途径
[跟进训练]
2．在△ABC中，＝sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
A [因为sin2＝，
所以＝，即cos B＝.
法一：由余弦定理得＝，
即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.
所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．
法二：由正弦定理得cos B＝，
又sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，
所以cos B sin C＝sin B cos C＋cos B sin C，
即sin B cos C＝0，又sin B≠0，所以cos C＝0，
又角C为三角形的内角，所以C＝，
所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．]
考点三 三角形面积的计算
[典例3] (1)(2025·八省联考)在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos ∠BAC＝，则△ABC的面积为( )
A．6 B．8
C．24 D．48
(2)(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
①求B；
②若△ABC的面积为3＋，求c.
(1)C [∵BC＝8，AC＝10，cos ∠BAC＝，
∴根据余弦定理知，
BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC cos ∠BAC，
∴64＝100＋AB2－2AB×10×，
∴AB2－12AB＋36＝0，∴AB＝6，∴AB2＋BC2＝AC2，即△ABC为直角三角形，∴AB⊥BC.
∴S△ABC＝AB·BC＝×6×8＝24.故选C.]
(2)[解] ①由余弦定理有a2＋b2－c2＝2ab cos C，对比已知a2＋b2－c2＝ab，
可得cos C＝＝＝，
因为C∈(0，π)，所以sin C>0，
从而sin C＝＝＝，
又因为sinC＝cos B，即cos B＝，
又B∈(0，π)，
所以B＝.
②由①可得B＝，cos C＝，C∈(0，π)，
从而C＝，A＝π－＝，
而sin A＝sin ＝sin ＝＝，
由正弦定理有＝＝，
从而a＝c＝c，b＝c＝c，
所以S△ABC＝ab sin C＝c·c·＝c2，
由已知△ABC的面积为3＋，可得c2＝3＋，
所以c＝2.
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
[跟进训练]
3．(1)在平面四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则四边形ABCD的面积等于________．
(2)在△ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足c cos A－a cos C＝a＋b.
①求角C；
②若c＝5，△ABC的内切圆半径r＝，求△ABC的面积．
(1)5 [连接BD，如图，
在△BCD中，由于BC＝CD＝2，∠C＝120°，
∴∠CBD＝＝30°，∴∠ABD＝90°.
在△BCD中，由余弦定理知，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ∠BCD＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，∴BD＝2，
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2×2×2×sin 120°＝5.]
(2)[解] ①在△ABC中，由c cos A－a cos C＝a＋b得sin C cos A－sin A cos C＝sin A＋sin B，
即sin C cos A－sin A cos C＝sin A＋sin (A＋C)，
故－2sin A cos C＝sin A，由于A∈(0，π)，∴sin A≠0，
故cos C＝－，而C∈(0，π)，故C＝.
②由C＝可得c2＝a2＋b2＋ab，而c＝5，
故a2＋b2＝25－ab，则(a＋b)2＝25＋ab，
由△ABC的内切圆半径r＝，可得(a＋b＋c)·r＝ab sin C，
即(a＋b＋5)＝ab，即a＋b＝2ab－5，
故(2ab－5)2＝25＋ab，解得ab＝，
故△ABC的面积S＝ab sin C＝＝.
【教用·备选题】
1．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD＝，BC＝.
(1)若CD＝2，求sin ∠ADC；
(2)若∠C＝，求四边形ABCD的面积．
[解] (1)连接BD，
在Rt△ABD中，
BD＝＝2，
且tan ∠ADB＝
＝，∠ADB∈，
所以∠ADB＝.
在△BCD中，由余弦定理的推论得
cos ∠BDC＝＝＝，
所以sin ∠BDC＝＝.
所以sin ∠ADC＝sin
＝sin ∠BDC cos ＋cos ∠BDC sin
＝＝.
(2)在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CD2＋BC2－2CD·BC·cos ，即CD2－2CD－2＝0，解得CD＝1＋或CD＝1－(舍去)，
所以四边形ABCD的面积为
S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝AB·AD＋BC·CD·sin ＝.
2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3＋4＝.
(1)求；
(2)已知B＝3C，c＝1，求△ABC的面积．
[解] (1)由已知得3bc cos A＋4ac cos B＝ab cos C，
由余弦定理，得
3(b2＋c2－a2)＋4(a2＋c2－b2)＝a2＋b2－c2，
化简得4c2＝b2，所以＝2.
(2)由正弦定理知＝，
即sin B＝2sin C，
又B＝3C，故
sin B＝sin 3C＝sin (2C＋C)＝sin 2C·cos C＋cos 2C·sin C＝2sin C(1－sin2C)＋(1－2sin2C)sinC＝3sin C－4sin3C＝2sinC，
又C∈(0，π)，所以sin C≠0，
即3－4sin2C＝2，得sinC＝，故C＝(C＝舍去)，此时，B＝3C＝，b＝2c＝2AB＝2，BC＝，则S△ABC＝×1×＝.
课后作业(二十六) 正弦定理、余弦定理
一、单项选择题
1．(2024·浙江金华三模)已知△ABC中，A＝，a＝，b＝2，则c＝( )
A． B．
C．3 D．3
D [由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
即13＝4＋c2－2c，
解得c＝3(c＝－舍去)．
故选D.]
2．已知△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝，则△ABC的面积等于( )
A．3 B．
C．5 D．2
B [由余弦定理的推论得，cos B＝＝＝，
因为B为三角形内角，
则sin B＝＝，
所以S△ABC＝AB·BC·sinB＝×3×4×＝.
故选B.]
3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b sin 2A＝a sin B，且c＝2b，则等于( )
A．2 B．3
C． D．
D [由正弦定理及b sin 2A＝asin B，得2sin B·sin Acos A＝sin Asin B，又A，B∈(0，π)，所以sin A≠0，sin B≠0，则cos A＝.又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，得＝.故选D.]
4．(2024·广东汕头一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，b＝10，则结合a的值，下列解三角形有两解的为( )
A．a＝8 B．a＝9
C．a＝10 D．a＝11
B [由正弦定理可得，＝，所以sin B＝＝＝，因为三角形有两解，所以sin B<1，且b>a，因此由选项知，只有a＝9符合．故选B.]
5．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b cos C＋c cos B＝b，且a＝c cos B，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
D [b cos C＋c cos B＝b sin B cos C＋sin C cos B＝sin B sin ＝sin B，
即sin A＝sin B，故a＝b，
a＝c cos B sin A＝sin C cos B sin ＝sin C cos B sin B cos C＋cos B sin C＝sin C cos B sin B cos C＝0，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，故cos C＝0，
因为C∈，所以C＝，
故△ABC为等腰直角三角形．
故选D.]
6．在△ABC中，若2cos2A－cosA＝2cos2B＋2cos2C－2＋cos(B－C)，则A＝( )
A． B．
C． D．
B [因为2cos2A－cosA＝2cos2B＋2cos2C－2＋cos(B－C)，
所以2(1－sin2A)－cos[π－(B＋C)]
＝2(1－sin2B)＋2(1－sin2C)－2＋cos(B－C)，
则2－2sin2A＋cosB cos C－sin B sin C
＝2－2sin2B－2sin2C＋cosB cos C＋sin B sin C，
整理得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinB sin C.
所以b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理的推论得cos A＝＝＝，
因为A∈(0，π)，故A＝.
故选B.]
二、多项选择题
7．(2024·广西桂林三模)在△ABC中，sin ＝，BC＝1，AC＝5，则( )
A．cos C＝
B．AB＝
C．△ABC的面积为
D．△ABC外接圆的直径是2
ABD [对于A，cos C＝1－2sin2＝1－2×＝，故A正确；
对于B，由A选项知cosC＝，由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC cos C＝1＋25－2×5×＝21，故AB＝，故B正确；
对于C，由于在△ABC中，C∈，故sin C>0，
所以sin C＝＝＝，
所以S△ABC＝BC·AC sinC＝×5×＝，故C错误；
对于D，设△ABC的外接圆半径为R，
则由正弦定理得2R＝＝＝2，故D正确．
故选ABD.]
8．(2025·安徽安庆模拟)锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列结论一定成立的是( )
A．sin2A＋sin2BB．sin＝sin C
C．若A>B，则sin A>sin B
D．若A＝，则BCD [对于A，因为△ABC为锐角三角形，所以cos C>0，由余弦定理的推论得，cos C＝>0，即a2＋b2－c2>0，由正弦定理得，sin2A＋sin2B>sin2C，故A错误；
对于B，sin(A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，故B正确；
对于C，因为△ABC为锐角三角形，且A>B，所以>A>B>0，又因为y＝sin x在上单调递增，所以sin A>sin B，故C正确；
对于D，由A＝得，C＝π－A－B＝π－B，
由△ABC为锐角三角形得，
即解得三、填空题
9．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________．
4 [在△ABC中，由b2＝a2＋c2－2ac cos B及b＋c＝7知，b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，整理得15b－60＝0，所以b＝4.]
10．(2022·浙江高考)我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S＝，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，c＝2，则该三角形的面积S＝________．
[法一：S＝＝＝.
法二：由余弦定理的推论得cos A＝＝＝＝，sin A＝，S＝bc sin A＝×2×＝.]
四、解答题
11．(2024·北京高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A为钝角，a＝7，sin 2B＝b cos B．
(1)求∠A；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．
条件①：b＝7；
条件②：cos B＝；
条件③：c sin A＝.
[解] (1)由题知，2sin B·cos B＝b cos B.
又A为钝角，所以B为锐角，
故cos B≠0，所以2sin B＝b.
又＝＝＝，
所以sin A＝.
又A为钝角，所以A＝.
(2)若选①，结合(1)得2sin B＝×7，所以sin B＝，B＝，A＋B＝π，
则△ABC不存在，所以条件①不符合要求，故不选择条件①.
若选②，由题知sin B＝＝，
又＝，即＝，所以b＝3.
又C＝π－(A＋B)，所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝＝.
所以S△ABC＝ab sin C＝×7×3×＝.
若选③，由题知c·＝，所以c＝5.
由a2＝b2＋c2－2bc cos A得，49＝b2＋25＋5b，即(b＋8)(b－3)＝0，解得b＝3(负值舍去)．
所以S△ABC＝bc sin A＝×3×5×＝.
12．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝，∠ACD＝，AD＝，S为△ABC的面积，且2S＝－.
(1)求角B；
(2)若cos D＝，求四边形ABCD的周长．
[解] (1)由2S＝－，
在△ABC中，得2×AB×BC sin B＝－AB×BC cos B，
即sin B＝－cos B，可得tan B＝－，
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为cos D＝，D∈(0，π)，所以D＝，
所以△ACD为等边三角形，AC＝，∠CAD＝，
所以∠BAC＝，∠ACB＝，
由正弦定理知＝，得
AB＝＝＝1＝BC，
故四边形ABCD的周长为2＋2.
13．(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD sin ∠ABC＝a sin C.
(1)证明：BD＝b；
(2)若AD＝2DC，求cos ∠ABC.
[解] (1)证明：设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理，得sin ∠ABC＝，sin C＝，
因为BD sin ∠ABC＝a sin C，
所以BD·＝a·，
即BD·b＝ac.又因为b2＝ac，所以BD＝b.
(2)法一：(两次应用余弦定理)
因为AD＝2DC，如图，在△ABC中，cos C＝.①
在△BCD中，cos C＝.②
由①②得a2＋b2－c2＝3，整理得2a2－b2＋c2＝0.
又因为b2＝ac，所以6a2－11ac＋3c2＝0，
解得a＝或a＝.
当a＝，b2＝ac＝时，a＋b＝＜c(舍去)．
当a＝，b2＝ac＝时，
cos ∠ABC＝＝.
所以cos ∠ABC＝．
法二：(向量法)
因为AD＝2DC，所以＝2，
即＝.
所以＝＋，
即b2＝a2＋ac cos ∠ABC＋c2，
又因为b2＝ac，
所以9ac＝4a2＋4ac·cos ∠ABC＋c2.③
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos ∠ABC，
所以ac＝a2＋c2－2ac cos ∠ABC.④
联立③④，得6a2－11ac＋3c2＝0.
所以a＝或a＝.
当a＝，b2＝ac＝时，a＋b＝＜c(舍去)．
当a＝，b2＝ac＝时，
cos ∠ABC＝＝.
所以cos ∠ABC＝.
1 / 20第7课时 正弦定理、余弦定理
[考试要求] 1．掌握正弦定理、余弦定理及其变形． 2．能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R a2＝_____________________； b2＝_____________________； c2＝_____________________
变形 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R cos A＝__； cos B＝__； cos C＝__
2．三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝ab sin C＝ac sin B＝____________；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)；
(4)S＝.
[常用结论]
1．三角形中的边角关系
在△ABC中，大边对大角，大角对大边，A＞B a＞b sin A＞sin B cos A＜cos B.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin (A＋B)＝sin C；(2)cos (A＋B)＝－cos C；
(3)sin ＝cos ；(4)cos ＝sin .
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B．
4．数量积的余弦定理式
在△ABC中，＝.
5．角平分线定理
＝(在△ABC中，AD是∠BAC的平分线)．
6．在△ABC中，sin 2A＝sin 2B A＝B或A＋B＝.
7．在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差(等比)数列，则0＜B≤.
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在△ABC中，一定有a＋b＋c＝sin A＋sin B＋sin C． ( )
(2)在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则必有A＝B. ( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素． ( )
(4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形． ( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第二册P47例7改编)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝( )
A．2 B．1 C． D．
2．(人教A版必修第二册P44练习T1(2)改编)在△ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b等于( )
A．2 B．12
C．2 D．28
3．(人教A版必修第二册P47例8改编)在△ABC中，已知B＝45°，b＝2，c＝，则C＝________．
4．(人教A版必修第二册P44练习T2改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则cos A＝________，△ABC的面积为________．
考点一 利用正、余弦定理解三角形
[典例1] (2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2.
(1)求A；
(2)若a＝2，b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，要考虑用正弦定理．以上特征都不明显时，要考虑两个定理都有可能用到．
[跟进训练]
1．(1)(2025·福建厦门模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b－c＝a，2sin B＝3sin C，则cos A＝( )
A．－ B．
C．－ D．
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csin A＝acos C，c＝2，ab＝8，则a＋b的值是( )
A．6 B．8
C．4 D．2
(3)(2025·河北邢台模拟)在△ABC中，已知A＝，a＝2，若△ABC有两解，则边b的取值范围为________．
考点二 判断三角形的形状
[典例2] 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[拓展变式]
若本例条件变为＝，判断△ABC的形状．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
判定三角形形状的两种常用途径
[跟进训练]
2．在△ABC中，＝sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
考点三 三角形面积的计算
[典例3] (1)(2025·八省联考)在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos ∠BAC＝，则△ABC的面积为( )
A．6 B．8
C．24 D．48
(2)(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
①求B；
②若△ABC的面积为3＋，求c.
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
[跟进训练]
3．(1)在平面四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则四边形ABCD的面积等于________．
(2)在△ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足c cos A－a cos C＝a＋b.
①求角C；
②若c＝5，△ABC的内切圆半径r＝，求△ABC的面积．
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