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一轮复习
《高考快车道》2026版高三一轮总复习(数学)36 第四章 第7课时 正弦定理、余弦定理(pdf版, 含解析)
文档属性
名称
《高考快车道》2026版高三一轮总复习(数学)36 第四章 第7课时 正弦定理、余弦定理(pdf版, 含解析)
格式
zip
文件大小
471.4KB
资源类型
试卷
版本资源
通用版
科目
数学
更新时间
2025-07-02 11:49:40
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文档简介
第7课时 正弦定理、余弦定理
[考试要求] 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形. 2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径,则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ===2R a2=b2+c2-2bc cos A; b2=c2+a2-2ca cos B; c2=a2+b2-2ab cos C
变形 (1)a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C; (2)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (3)==2R cos A=; cos B=; cos C=
2.三角形常用面积公式
(1)S=a·ha(ha表示边a上的高);
(2)S=ab sin C=ac sin B=bc sin A;
(3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径);
(4)S=.
[常用结论]
1.三角形中的边角关系
在△ABC中,大边对大角,大角对大边,A>B a>b sin A>sin B cos A<cos B.
2.三角形中的三角函数关系
(1)sin (A+B)=sin C;(2)cos (A+B)=-cos C;
(3)sin =cos ;(4)cos =sin .
3.三角形中的射影定理
在△ABC中,a=b cos C+c cos B;b=a cos C+c cos A;c=b cos A+a cos B.
4.数量积的余弦定理式
在△ABC中,=.
5.角平分线定理
=(在△ABC中,AD是∠BAC的平分线).
6.在△ABC中,sin 2A=sin 2B A=B或A+B=.
7.在△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c成等差(等比)数列,则0<B≤.
一、易错易混辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在△ABC中,一定有a+b+c=sin A+sin B+sin C. ( )
(2)在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则必有A=B. ( )
(3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素. ( )
(4)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,△ABC为直角三角形;当b2+c2-a2<0时,△ABC为钝角三角形. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材经典衍生
1.(人教A版必修第二册P47例7改编)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=,B=,a=1,则b=( )
A.2 B.1 C. D.
D [由=得,b===×2=.]
2.(人教A版必修第二册P44练习T1(2)改编)在△ABC中,若a=2,c=4,B=60°,则b等于( )
A.2 B.12
C.2 D.28
A [由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得b2=4+16-8=12,所以b=2.]
3.(人教A版必修第二册P47例8改编)在△ABC中,已知B=45°,b=2,c=,则C=________.
30° [由正弦定理得sin C===,因为b>c,B=45°,所以C=30°.]
4.(人教A版必修第二册P44练习T2改编)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=4,b=5,c=6,则cos A=________,△ABC的面积为________.
[依题意得cos A==,
所以sin A==,
所以△ABC的面积为bc sin A=.]
考点一 利用正、余弦定理解三角形
[典例1] (2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2.
(1)求A;
(2)若a=2,b sin C=c sin 2B,求△ABC的周长.
[解] (1)由sin A+cos A=2,得
sin A+cos A=1,即sin =1,
由于A∈(0,π),所以A+∈,
故A+=,
所以A=.
(2)由题设条件和正弦定理得
sin B sin C=2sin C sin B cos B,
又B,C∈(0,π),则sin B sin C≠0,所以cos B=,所以B=,所以C=π-A-B=.
sin C=sin (π-A-B)=sin (A+B)=sin A cos B+sin B cos A=,
由正弦定理==,可得==,解得b=2,c=,
故△ABC的周长为2++3.
解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理.以上特征都不明显时,要考虑两个定理都有可能用到.
[跟进训练]
1.(1)(2025·福建厦门模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A=( )
A.- B.
C.- D.
(2)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知csin A=acos C,c=2,ab=8,则a+b的值是( )
A.6 B.8
C.4 D.2
(3)(2025·河北邢台模拟)在△ABC中,已知A=,a=2,若△ABC有两解,则边b的取值范围为________.
(1)A (2)A (3)(2,4) [(1)由2sin B=3sin C,则2b=3c,
则b-c=b-b=a,即b=a,
则c=b=a=a,
故cos A====-.故选A.
(2)由csin A=acos C及正弦定理可得
sin Csin A=sin Acos C,因为A∈(0,π),
所以sin A≠0,所以sin C=cos C,
可得tan C=,
又C∈(0,π),所以C=.
又c=2,ab=8,
所以由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,可得
12=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=(a+b)2-24,
所以a+b=6.
(3)由图可得,要使△ABC有两解,
则b sin A
]
【教用·备选题】
1.在下列关于△ABC的四个条件中选择一个,能够使角A被唯一确定的是( )
①sin A=;②cos A=-;
③cos B=-,b=3a;④C=,b=2,c=.
A.①② B.②③ C.②④ D.②③④
B [对于①:sin A=,因为A∈(0,π),所以A=或,故①错误;
对于②:cos A=-,因为y=cos x在(0,π)上单调,所以角A被唯一确定,故②正确;
对于③:cos B=-,b=3a,因为cos B=-<0,B∈(0,π),所以B∈,所以A∈,
所以sin B==,
又b=3a,由正弦定理得sinB=3sin A,
所以sin A==,
所以角A被唯一确定,故③正确;
对于④:C=,b=2,c=,
因为b sin C=2×sin =,
所以b sin C<c<b,
如图,△ABC不唯一,故④错误.
故选B.]
2.(2024·山东济南期中)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2C-cos2B+sin2A=sinA sin B=,且△ABC的面积为,则边c的值为________.
[∵cos2C-cos2B+sin2A=sinA sin B,
∴1-sin2C-(1-sin2B)+sin2A=sinA sin B,即sin2B+sin2A-sin2C=sinA sin B,
由正弦定理角化边得b2+a2-c2=ab,
∴cos C===,
又C∈(0,π),∴C=,
由正弦定理==,
∴=,
即2ab=,
化简得c2=ab,
又S△ABC=ab sinC=,
∴ab=4,
∴c2=6,解得c=.]
3.(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C sin (A-B)=sin Bsin(C-A).
(1)证明:2a2=b2+c2;
(2)若a=5,cos A=,求△ABC的周长.
[解] (1)证明:因为sin C sin (A-B)=sin B·sin (C-A),
所以sin C sin A cos B-sin C sin B cos A=sin B·sin C cos A-sin B sin A cos C,
所以ac·-2bc·
=-ab·,
即-(b2+c2-a2)=-,
所以2a2=b2+c2.
(2)因为a=5,cos A=,
由(1)得b2+c2=50,
由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,
得50-bc=25,
所以bc=,
故(b+c)2=b2+c2+2bc=50+31=81,
所以b+c=9,
所以△ABC的周长为a+b+c=14.
考点二 判断三角形的形状
[典例2] 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
A [法一(化角为边):因为b cos C+c cos B=b·+c·==a,所以a sin A=a,即sin A=1,故A=,因此△ABC是直角三角形.
法二(化边为角):因为bcos C+ccos B=asin A,
所以sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,
即sin(B+C)=sin2A,
所以sinA=sin2A,
故sinA=1,即A=,因此△ABC是直角三角形.
法三(射影定理):因为b cos C+c cos B=a=a sin A,
所以sin A=1,故A=,因此△ABC是直角三角形.]
[拓展变式]
若本例条件变为=,判断△ABC的形状.
[解] 由=,
得=,
所以sin A cos A=cos B sin B,
所以sin 2A=sin 2B.
因为A,B为△ABC的内角,
所以2A=2B或2A=π-2B,
所以A=B或A+B=,
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
判定三角形形状的两种常用途径
[跟进训练]
2.在△ABC中,=sin2(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为( )
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
A [因为sin2=,
所以=,即cos B=.
法一:由余弦定理得=,
即a2+c2-b2=2a2,所以a2+b2=c2.
所以△ABC为直角三角形,无法判断两直角边是否相等.
法二:由正弦定理得cos B=,
又sin A=sin (B+C)=sin B cos C+cos B sin C,
所以cos B sin C=sin B cos C+cos B sin C,
即sin B cos C=0,又sin B≠0,所以cos C=0,
又角C为三角形的内角,所以C=,
所以△ABC为直角三角形,无法判断两直角边是否相等.]
考点三 三角形面积的计算
[典例3] (1)(2025·八省联考)在△ABC中,BC=8,AC=10,cos ∠BAC=,则△ABC的面积为( )
A.6 B.8
C.24 D.48
(2)(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab.
①求B;
②若△ABC的面积为3+,求c.
(1)C [∵BC=8,AC=10,cos ∠BAC=,
∴根据余弦定理知,
BC2=AC2+AB2-2AB·AC cos ∠BAC,
∴64=100+AB2-2AB×10×,
∴AB2-12AB+36=0,∴AB=6,∴AB2+BC2=AC2,即△ABC为直角三角形,∴AB⊥BC.
∴S△ABC=AB·BC=×6×8=24.故选C.]
(2)[解] ①由余弦定理有a2+b2-c2=2ab cos C,对比已知a2+b2-c2=ab,
可得cos C===,
因为C∈(0,π),所以sin C>0,
从而sin C===,
又因为sinC=cos B,即cos B=,
又B∈(0,π),
所以B=.
②由①可得B=,cos C=,C∈(0,π),
从而C=,A=π-=,
而sin A=sin =sin ==,
由正弦定理有==,
从而a=c=c,b=c=c,
所以S△ABC=ab sin C=c·c·=c2,
由已知△ABC的面积为3+,可得c2=3+,
所以c=2.
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S=ab sin C=ac sin B=bc sin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
[跟进训练]
3.(1)在平面四边形ABCD中,B=C=120°,AB=4,BC=CD=2,则四边形ABCD的面积等于________.
(2)在△ABC中,设A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足c cos A-a cos C=a+b.
①求角C;
②若c=5,△ABC的内切圆半径r=,求△ABC的面积.
(1)5 [连接BD,如图,
在△BCD中,由于BC=CD=2,∠C=120°,
∴∠CBD==30°,∴∠ABD=90°.
在△BCD中,由余弦定理知,BD2=BC2+CD2-2BC·CD cos ∠BCD=22+22-2×2×2cos 120°=12,∴BD=2,
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×4×2×2×2×sin 120°=5.]
(2)[解] ①在△ABC中,由c cos A-a cos C=a+b得sin C cos A-sin A cos C=sin A+sin B,
即sin C cos A-sin A cos C=sin A+sin (A+C),
故-2sin A cos C=sin A,由于A∈(0,π),∴sin A≠0,
故cos C=-,而C∈(0,π),故C=.
②由C=可得c2=a2+b2+ab,而c=5,
故a2+b2=25-ab,则(a+b)2=25+ab,
由△ABC的内切圆半径r=,可得(a+b+c)·r=ab sin C,
即(a+b+5)=ab,即a+b=2ab-5,
故(2ab-5)2=25+ab,解得ab=,
故△ABC的面积S=ab sin C==.
【教用·备选题】
1.如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥AD,AB=1,AD=,BC=.
(1)若CD=2,求sin ∠ADC;
(2)若∠C=,求四边形ABCD的面积.
[解] (1)连接BD,
在Rt△ABD中,
BD==2,
且tan ∠ADB=
=,∠ADB∈,
所以∠ADB=.
在△BCD中,由余弦定理的推论得
cos ∠BDC===,
所以sin ∠BDC==.
所以sin ∠ADC=sin
=sin ∠BDC cos +cos ∠BDC sin
==.
(2)在△BCD中,由余弦定理得BD2=CD2+BC2-2CD·BC·cos ,即CD2-2CD-2=0,解得CD=1+或CD=1-(舍去),
所以四边形ABCD的面积为
S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB·AD+BC·CD·sin =.
2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3+4=.
(1)求;
(2)已知B=3C,c=1,求△ABC的面积.
[解] (1)由已知得3bc cos A+4ac cos B=ab cos C,
由余弦定理,得
3(b2+c2-a2)+4(a2+c2-b2)=a2+b2-c2,
化简得4c2=b2,所以=2.
(2)由正弦定理知=,
即sin B=2sin C,
又B=3C,故
sin B=sin 3C=sin (2C+C)=sin 2C·cos C+cos 2C·sin C=2sin C(1-sin2C)+(1-2sin2C)sinC=3sin C-4sin3C=2sinC,
又C∈(0,π),所以sin C≠0,
即3-4sin2C=2,得sinC=,故C=(C=舍去),此时,B=3C=,b=2c=2AB=2,BC=,则S△ABC=×1×=.
课后作业(二十六) 正弦定理、余弦定理
一、单项选择题
1.(2024·浙江金华三模)已知△ABC中,A=,a=,b=2,则c=( )
A. B.
C.3 D.3
D [由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A,
即13=4+c2-2c,
解得c=3(c=-舍去).
故选D.]
2.已知△ABC中,AB=3,BC=4,AC=,则△ABC的面积等于( )
A.3 B.
C.5 D.2
B [由余弦定理的推论得,cos B===,
因为B为三角形内角,
则sin B==,
所以S△ABC=AB·BC·sinB=×3×4×=.
故选B.]
3.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b sin 2A=a sin B,且c=2b,则等于( )
A.2 B.3
C. D.
D [由正弦定理及b sin 2A=asin B,得2sin B·sin Acos A=sin Asin B,又A,B∈(0,π),所以sin A≠0,sin B≠0,则cos A=.又c=2b,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+4b2-4b2×=3b2,得=.故选D.]
4.(2024·广东汕头一模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=60°,b=10,则结合a的值,下列解三角形有两解的为( )
A.a=8 B.a=9
C.a=10 D.a=11
B [由正弦定理可得,=,所以sin B===,因为三角形有两解,所以sin B<1,且b>a,因此由选项知,只有a=9符合.故选B.]
5.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b cos C+c cos B=b,且a=c cos B,则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
D [b cos C+c cos B=b sin B cos C+sin C cos B=sin B sin =sin B,
即sin A=sin B,故a=b,
a=c cos B sin A=sin C cos B sin =sin C cos B sin B cos C+cos B sin C=sin C cos B sin B cos C=0,
因为B∈(0,π),所以sin B≠0,故cos C=0,
因为C∈,所以C=,
故△ABC为等腰直角三角形.
故选D.]
6.在△ABC中,若2cos2A-cosA=2cos2B+2cos2C-2+cos(B-C),则A=( )
A. B.
C. D.
B [因为2cos2A-cosA=2cos2B+2cos2C-2+cos(B-C),
所以2(1-sin2A)-cos[π-(B+C)]
=2(1-sin2B)+2(1-sin2C)-2+cos(B-C),
则2-2sin2A+cosB cos C-sin B sin C
=2-2sin2B-2sin2C+cosB cos C+sin B sin C,
整理得sin2B+sin2C-sin2A=sinB sin C.
所以b2+c2-a2=bc,
由余弦定理的推论得cos A===,
因为A∈(0,π),故A=.
故选B.]
二、多项选择题
7.(2024·广西桂林三模)在△ABC中,sin =,BC=1,AC=5,则( )
A.cos C=
B.AB=
C.△ABC的面积为
D.△ABC外接圆的直径是2
ABD [对于A,cos C=1-2sin2=1-2×=,故A正确;
对于B,由A选项知cosC=,由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BC·AC cos C=1+25-2×5×=21,故AB=,故B正确;
对于C,由于在△ABC中,C∈,故sin C>0,
所以sin C===,
所以S△ABC=BC·AC sinC=×5×=,故C错误;
对于D,设△ABC的外接圆半径为R,
则由正弦定理得2R===2,故D正确.
故选ABD.]
8.(2025·安徽安庆模拟)锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,下列结论一定成立的是( )
A.sin2A+sin2B
B.sin=sin C
C.若A>B,则sin A>sin B
D.若A=,则
BCD [对于A,因为△ABC为锐角三角形,所以cos C>0,由余弦定理的推论得,cos C=>0,即a2+b2-c2>0,由正弦定理得,sin2A+sin2B>sin2C,故A错误;
对于B,sin(A+B)=sin (π-C)=sin C,故B正确;
对于C,因为△ABC为锐角三角形,且A>B,所以>A>B>0,又因为y=sin x在上单调递增,所以sin A>sin B,故C正确;
对于D,由A=得,C=π-A-B=π-B,
由△ABC为锐角三角形得,
即解得
三、填空题
9.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-,则b=________.
4 [在△ABC中,由b2=a2+c2-2ac cos B及b+c=7知,b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×,整理得15b-60=0,所以b=4.]
10.(2022·浙江高考)我国南宋著名数学家秦九韶,发现了从三角形三边求面积的公式,他把这种方法称为“三斜求积”,它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式,就是S=,其中a,b,c是三角形的三边,S是三角形的面积.设某三角形的三边a=,b=,c=2,则该三角形的面积S=________.
[法一:S===.
法二:由余弦定理的推论得cos A====,sin A=,S=bc sin A=×2×=.]
四、解答题
11.(2024·北京高考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∠A为钝角,a=7,sin 2B=b cos B.
(1)求∠A;
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求△ABC的面积.
条件①:b=7;
条件②:cos B=;
条件③:c sin A=.
[解] (1)由题知,2sin B·cos B=b cos B.
又A为钝角,所以B为锐角,
故cos B≠0,所以2sin B=b.
又===,
所以sin A=.
又A为钝角,所以A=.
(2)若选①,结合(1)得2sin B=×7,所以sin B=,B=,A+B=π,
则△ABC不存在,所以条件①不符合要求,故不选择条件①.
若选②,由题知sin B==,
又=,即=,所以b=3.
又C=π-(A+B),所以sin C=sin (A+B)=sin A cos B+cos A sin B==.
所以S△ABC=ab sin C=×7×3×=.
若选③,由题知c·=,所以c=5.
由a2=b2+c2-2bc cos A得,49=b2+25+5b,即(b+8)(b-3)=0,解得b=3(负值舍去).
所以S△ABC=bc sin A=×3×5×=.
12.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=,∠ACD=,AD=,S为△ABC的面积,且2S=-.
(1)求角B;
(2)若cos D=,求四边形ABCD的周长.
[解] (1)由2S=-,
在△ABC中,得2×AB×BC sin B=-AB×BC cos B,
即sin B=-cos B,可得tan B=-,
因为B∈(0,π),所以B=.
(2)因为cos D=,D∈(0,π),所以D=,
所以△ACD为等边三角形,AC=,∠CAD=,
所以∠BAC=,∠ACB=,
由正弦定理知=,得
AB===1=BC,
故四边形ABCD的周长为2+2.
13.(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BD sin ∠ABC=a sin C.
(1)证明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cos ∠ABC.
[解] (1)证明:设△ABC的外接圆半径为R,由正弦定理,得sin ∠ABC=,sin C=,
因为BD sin ∠ABC=a sin C,
所以BD·=a·,
即BD·b=ac.又因为b2=ac,所以BD=b.
(2)法一:(两次应用余弦定理)
因为AD=2DC,如图,在△ABC中,cos C=.①
在△BCD中,cos C=.②
由①②得a2+b2-c2=3,整理得2a2-b2+c2=0.
又因为b2=ac,所以6a2-11ac+3c2=0,
解得a=或a=.
当a=,b2=ac=时,a+b=<c(舍去).
当a=,b2=ac=时,
cos ∠ABC==.
所以cos ∠ABC=.
法二:(向量法)
因为AD=2DC,所以=2,
即=.
所以=+,
即b2=a2+ac cos ∠ABC+c2,
又因为b2=ac,
所以9ac=4a2+4ac·cos ∠ABC+c2.③
由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos ∠ABC,
所以ac=a2+c2-2ac cos ∠ABC.④
联立③④,得6a2-11ac+3c2=0.
所以a=或a=.
当a=,b2=ac=时,a+b=<c(舍去).
当a=,b2=ac=时,
cos ∠ABC==.
所以cos ∠ABC=.
1 / 20第7课时 正弦定理、余弦定理
[考试要求] 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形. 2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径,则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ===2R a2=_____________________; b2=_____________________; c2=_____________________
变形 (1)a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C; (2)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (3)==2R cos A=__; cos B=__; cos C=__
2.三角形常用面积公式
(1)S=a·ha(ha表示边a上的高);
(2)S=ab sin C=ac sin B=____________;
(3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径);
(4)S=.
[常用结论]
1.三角形中的边角关系
在△ABC中,大边对大角,大角对大边,A>B a>b sin A>sin B cos A<cos B.
2.三角形中的三角函数关系
(1)sin (A+B)=sin C;(2)cos (A+B)=-cos C;
(3)sin =cos ;(4)cos =sin .
3.三角形中的射影定理
在△ABC中,a=b cos C+c cos B;b=a cos C+c cos A;c=b cos A+a cos B.
4.数量积的余弦定理式
在△ABC中,=.
5.角平分线定理
=(在△ABC中,AD是∠BAC的平分线).
6.在△ABC中,sin 2A=sin 2B A=B或A+B=.
7.在△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c成等差(等比)数列,则0<B≤.
一、易错易混辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在△ABC中,一定有a+b+c=sin A+sin B+sin C. ( )
(2)在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则必有A=B. ( )
(3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素. ( )
(4)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,△ABC为直角三角形;当b2+c2-a2<0时,△ABC为钝角三角形. ( )
二、教材经典衍生
1.(人教A版必修第二册P47例7改编)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=,B=,a=1,则b=( )
A.2 B.1 C. D.
2.(人教A版必修第二册P44练习T1(2)改编)在△ABC中,若a=2,c=4,B=60°,则b等于( )
A.2 B.12
C.2 D.28
3.(人教A版必修第二册P47例8改编)在△ABC中,已知B=45°,b=2,c=,则C=________.
4.(人教A版必修第二册P44练习T2改编)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=4,b=5,c=6,则cos A=________,△ABC的面积为________.
考点一 利用正、余弦定理解三角形
[典例1] (2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2.
(1)求A;
(2)若a=2,b sin C=c sin 2B,求△ABC的周长.
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理.以上特征都不明显时,要考虑两个定理都有可能用到.
[跟进训练]
1.(1)(2025·福建厦门模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A=( )
A.- B.
C.- D.
(2)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知csin A=acos C,c=2,ab=8,则a+b的值是( )
A.6 B.8
C.4 D.2
(3)(2025·河北邢台模拟)在△ABC中,已知A=,a=2,若△ABC有两解,则边b的取值范围为________.
考点二 判断三角形的形状
[典例2] 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[拓展变式]
若本例条件变为=,判断△ABC的形状.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
判定三角形形状的两种常用途径
[跟进训练]
2.在△ABC中,=sin2(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为( )
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
考点三 三角形面积的计算
[典例3] (1)(2025·八省联考)在△ABC中,BC=8,AC=10,cos ∠BAC=,则△ABC的面积为( )
A.6 B.8
C.24 D.48
(2)(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab.
①求B;
②若△ABC的面积为3+,求c.
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S=ab sin C=ac sin B=bc sin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
[跟进训练]
3.(1)在平面四边形ABCD中,B=C=120°,AB=4,BC=CD=2,则四边形ABCD的面积等于________.
(2)在△ABC中,设A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足c cos A-a cos C=a+b.
①求角C;
②若c=5,△ABC的内切圆半径r=,求△ABC的面积.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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