与三角形有关的范围(最值)问题
题型一 已知三角形的一角求取值范围
[典例1] (2020·浙江高考)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2b sin A－a＝0.
(1)求角B的大小；
(2)求cos A＋cos B＋cos C的取值范围．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
借助三角形内角和定理把待求问题转化为某一角的三角函数取值范围问题，进而借助三角函数的性质求解．
[跟进训练]
1．若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且C为钝角，则B＝________；的取值范围是________．
题型二 已知三角形的一角及其对边求取值范围
[典例2] (2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinB sin C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
本题的求解可采用两种思路：思路一是借助余弦定理及AC·AB≤求周长的范围；思路二是借助正弦定理把AC，AB表示成三角函数，利用三角函数的性质求最值．重视在余弦定理中利用基本不等式，体现a＋b，ab，a2＋b2三者互化，进而求三角形面积的最值或周长的最值．
[跟进训练]
2．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b＝2，2sin A＝a cos B.
(1)求角B的大小；
(2)求AC边上高的最大值．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
题型三 已知三角形的一角及其邻边求取值范围
[典例3] (2025·江苏高邮中学模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin ＝b sin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝2，
(ⅰ)求角C的取值范围；
(ⅱ)求△ABC面积的取值范围．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
本例由于含有附加条件“△ABC为锐角三角形”，故不能利用基本不等式求解，可以将边转化成三角函数后进行求解，求解思路类似于典例2．锐角三角形中求最值或范围尽量向角转化，因为用基本不等式无法转化锐角三角形这个条件．
[跟进训练]
3．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，c＝2，A＝，则a＋b的取值范围是________．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
题型四 已知三角形中角(或边)的关系求取值范围
[典例4] (15分)(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值．
【规范解答】 (1)因为＝＝＝，··············2分
所以sin B＝cos A cos B－sin A sin B＝cos (A＋B)＝－cos C＝，········3分
而0＜B＜，所以B＝. ··························································4分
(2)由(1)知，sin B＝－cos C＞0，所以＜C＜π，0＜B＜，
······················································6分
所以C＝＋B，····································································7分
即有A＝－2B. ·····································································8分
＝···································································9分
＝····························································10分
＝4cos2B＋－5·······························································12分
≥2－5＝4 －5，··························································14分
当且仅当cos2B＝时取等号，所以的最小值为4－5. ········15分
本题第(1)问难度较小，可以从中体会由角B，C的关系求B，进而发现求解第(2)问需要的角A，B，C的关系，再采用消元思想求解，解题的关键点是“sin B＝－cos C＝sin ”．
[跟进训练]
4．(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B，则的取值范围为( )
A．(3，4] B．
C． D．(2，5]
(2)(2025·山东烟台模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B的平分线交AC于点D，BD＝1且b＝2，则△ABC周长的最小值为________．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3 / 4 与三角形有关的范围(最值)问题
题型一 已知三角形的一角求取值范围
[典例1] (2020·浙江高考)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2b sin A－a＝0.
(1)求角B的大小；
(2)求cos A＋cos B＋cos C的取值范围．
[解] (1)由正弦定理，得2sin B sin A＝sin A，
因为sin A≠0，0＜B＜，故sin B＝，B＝.
(2)由A＋B＋C＝π，得C＝－A.
由△ABC是锐角三角形，得A∈.
由cos C＝cos ＝－cos A＋sin A，得
cos A＋cos B＋cos C＝sin A＋cos A＋
＝sin ∈.
故cos A＋cos B＋cos C的取值范围是.
借助三角形内角和定理把待求问题转化为某一角的三角函数取值范围问题，进而借助三角函数的性质求解．
[跟进训练]
1．若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且C为钝角，则B＝________；的取值范围是________．
60° (2，＋∞) [由已知得(a2＋c2－b2)＝ac sin B，所以＝sin B，由余弦定理的推论得cos B＝sin B，所以tan B＝，所以B＝60°.又C＞90°，B＝60°，所以A＜30°，且A＋C＝120°，所以＝＝＝.又A＜30°，所以0＜tan A＜，即＞，所以＞＝2.]
【教用·备选题】
(2025·江苏南通模拟)已知锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin (A－B)＝cos C.
(1)求角B的大小；
(2)求的取值范围．
[解] (1)在锐角△ABC中，sin (A－B)＝cos C>0，则0
于是A－B＝－C，即A＋C－B＝，而A＋C＝π－B，则π－2B＝，
所以B＝.
(2)由(1)知，C＝－A，由得由正弦定理得＝＝2sin2A＋2sin2C＝1－cos2A＋1－cos 2C
＝2－cos 2A－cos
＝2＋sin 2A－cos 2A＝2＋sin ，
而<2A－<，则所以的取值范围是(3，2＋].
题型二 已知三角形的一角及其对边求取值范围
[典例2] (2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinB sin C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
[解] (1)由正弦定理和已知条件得
BC2－AC2－AB2＝AC·AB. ①
由余弦定理得
BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A. ②
由①②得cos A＝－.
因为0＜A＜π，所以A＝.
(2)法一(基本不等式)：由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A＝AC2＋AB2＋AC·AB＝9，
即－AC·AB＝9.
因为AC·AB≤(当且仅当AC＝AB时取等号)，所以9＝－AC·AB≥－＝，
解得AC＋AB≤2(当且仅当AC＝AB时取等号)，
所以△ABC周长L＝AC＋AB＋BC≤3＋2，
所以△ABC周长的最大值为3＋2.
法二(三角函数法)：由正弦定理及(1)得
＝＝＝2，
从而AC＝2sin B，
AB＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sin B.
故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B
＝3＋2sin .
又0＜B＜，
所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2.
本题的求解可采用两种思路：思路一是借助余弦定理及AC·AB≤求周长的范围；思路二是借助正弦定理把AC，AB表示成三角函数，利用三角函数的性质求最值．重视在余弦定理中利用基本不等式，体现a＋b，ab，a2＋b2三者互化，进而求三角形面积的最值或周长的最值．
[跟进训练]
2．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b＝2，2sin A＝a cos B.
(1)求角B的大小；
(2)求AC边上高的最大值．
[解] (1)由2sin A＝a cos B，
得＝，
由正弦定理＝，得＝，
又b＝2，∴sin B＝cos B，
即tan B＝，
∵B∈(0，π)，∴B＝.
(2)法一：设AC边上的高为h，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得4＝a2＋c2－2ac cos ，
即a2＋c2－ac＝4.
∵a2＋c2≥2ac，∴2ac－ac≤4，即ac≤4，当且仅当a＝c时，等号成立，
∴S△ABC＝ac sin B＝ac∈(0，].
又S△ABC＝bh＝h，∴h∈(0，]，∴AC边上高的最大值为.
法二：设AC边上的高为h，
由正弦定理得，a＝sin A＝sin A，c＝sin C＝sin C，
∴S△ABC＝ac sin B＝ac＝sin A sin C＝sin A sin C，
∵A＋B＋C＝π，∴sin A＝sin (B＋C)，
∴S△ABC＝sin (B＋C)sin C
＝
＝
＝sin .
∵C∈，∴2C－∈，
∴sin ∈，∴S△ABC∈(0，].
又S△ABC＝bh＝h，
∴h∈(0，]，∴AC边上高的最大值为.
题型三 已知三角形的一角及其邻边求取值范围
[典例3] (2025·江苏高邮中学模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin ＝b sin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝2，
(ⅰ)求角C的取值范围；
(ⅱ)求△ABC面积的取值范围．
[解] (1)因为a sin ＝b sin A，
由正弦定理得sin A sin ＝sin B sin A，
因为sin A≠0，所以sin ＝sin B.
由A＋B＋C＝π，可得sin ＝sin ＝cos ，
所以cos ＝sin B，
所以cos ＝2sin cos ，
因为B∈，则∈，所以cos >0，所以sin ＝，
因为∈，所以＝，则B＝.
(2)(ⅰ)因为△ABC为锐角三角形，
所以0由(1)知，A＋C＝，即
所以(ⅱ)由题设及(1)知，△ABC的面积S△ABC＝ac sin B＝a.
由正弦定理得a＝＝
＝
＝＝＋1.
因为，
则0<<，0<<3，
所以1因此△ABC面积的取值范围是.
本例由于含有附加条件“△ABC为锐角三角形”，故不能利用基本不等式求解，可以将边转化成三角函数后进行求解，求解思路类似于典例2．锐角三角形中求最值或范围尽量向角转化，因为用基本不等式无法转化锐角三角形这个条件．
[跟进训练]
3．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，c＝2，A＝，则a＋b的取值范围是________．
(1＋，4＋2) [因为c＝2，A＝，
则由正弦定理， 可得a＝＝，b＝＝，
所以a＋b＝
＝1＋＝1＋
＝1＋，
由△ABC是锐角三角形，可得0所以<<，2－所以1＋题型四 已知三角形中角(或边)的关系求取值范围
[典例4] (15分)(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值．
【规范解答】 (1)因为＝＝＝，··············2分
所以sin B＝cos A cos B－sin A sin B＝cos (A＋B)＝－cos C＝，········3分
而0＜B＜，所以B＝. ··························································4分
(2)由(1)知，sin B＝－cos C＞0，所以＜C＜π，0＜B＜，
······················································6分
所以C＝＋B，····································································7分
即有A＝－2B. ·····································································8分
＝···································································9分
＝····························································10分
＝4cos2B＋－5·······························································12分
≥2－5＝4 －5，··························································14分
当且仅当cos2B＝时取等号，所以的最小值为4－5. ········15分
本题第(1)问难度较小，可以从中体会由角B，C的关系求B，进而发现求解第(2)问需要的角A，B，C的关系，再采用消元思想求解，解题的关键点是“sin B＝－cos C＝sin ”．
[跟进训练]
4．(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B，则的取值范围为( )
A．(3，4] B．
C． D．(2，5]
(2)(2025·山东烟台模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B的平分线交AC于点D，BD＝1且b＝2，则△ABC周长的最小值为________．
(1)C (2)2＋2 [(1)∵A＝2B，B＋2B＋C＝π，∴B∈，sin A＝sin 2B＝2sin B cos B，sin C＝sin (A＋B)＝sin 3B＝3sin B－4sin3B，
由正弦定理可得＝＝＝6cos B＋4(1－cos2B)－3＝－4cos2B＋6cosB＋1，
令cos B＝t∈，则＝－4t2＋6t＋1，
由二次函数性质知y＝－4t2＋6t＋1∈，
∴∈.故选C.
(2)因为∠ABC的平分线交AC于点D，BD＝1，
所以S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，即
ac sin ∠ABC＝BD·c·sin BD·a·sin ，
因为sin ≠0，所以由二倍角公式可得
2ac cos ＝a＋c，
即cos ＝，所以
cos ∠ABC＝2cos2－1＝2－1，
由余弦定理的推论得，cos∠ABC＝，
所以2－1＝，
整理得(a＋c)2＝ac[(a＋c)2－4]，
所以(a＋c)2＝ac[(a＋c)2－4]≤·[(a＋c)2－4]，
整理得(a＋c)2≥8，所以a＋c≥2，
当且仅当a＝c＝时等号成立，
所以△ABC周长的最小值为2＋2.]
【教用·备选题】
(2025·湖南长沙模拟)在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，a＝c－2a cos B.
(1)证明：B＝2A；
(2)求的取值范围．
[解] (1)证明：因为在锐角△ABC中，a＝c－2a cos B，
由正弦定理得sin A＝sin C－2sin A cos B，
则sin A＝sin －2sin A cos B，
所以sin A＝sin A cos B＋sin B cos A－2sin A cos B，
则sin A＝sin (B－A)，所以B－A＝A或B＝π(舍去)，所以B＝2A.
(2)因为△ABC是锐角三角形，又B＝2A，
所以
所以A∈，则sin A∈，
又sin C＝sin ＝sin
＝sin A cos 2A＋cos A sin 2A
＝sin A
＝sinA＝3sinA－4sin3A，
则＝
＝＝，
设y＝4sin A＋，
令t＝sin A，t∈，
则f ＝4t＋，f ′＝4－>0，
所以f ＝4t＋在上单调递增，
所以f ∈，即y∈，
则∈，
即∈，
所以的取值范围是(2，3)．
培优训练(五) 与三角形有关的范围(最值)问题
一、单项选择题
1．在△ABC中，BC＝2AB＝2，则角C的取值范围为( )
A． B．
C． D．
A [由已知可知cos C＝＝，当且仅当AC＝时等号成立，所以02．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝2，A＝30°，则△ABC面积的最大值为( )
A．2＋ B．3＋2
C．4＋2 D．2＋2
A [由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc＝4≥2bc－bc(当且仅当b＝c时取等号)，
∴bc≤＝4＝8＋4，
∴S△ABC＝bc sin A＝bc≤2＋，
∴△ABC面积的最大值为2＋.故选A.]
3．在△ABC中，A＝，BC边上的中线AD＝，则△ABC面积的最大值为( )
A．2 B．
C． D．
B [AD为中线，则2＝，
两边平方得4＝＋2，
所以4×()2＝b2＋c2＋2bc cos ，
所以12＝b2＋c2＋bc≥3bc，所以bc≤4，
当且仅当b＝c时取等号，
则S△ABC＝bc sin A＝bc≤.故选B.]
4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin B cos C＋csin B cos A＝b，b＝，a>b，则2a＋c的最大值为( )
A．2 B．3
C．2 D．3
A [∵a sin B cos C＋c sin B cos A＝b，
∴sin A sin B cos C＋sin C sin B cos A＝sin B，
∵sin B≠0，
∴sin A cos C＋sin C cos A＝，
∴sin B＝.
∵a>b，∴A>B，∴B＝.
∴2a＋c＝4sin A＋2sin C＝4sin A＋2sin
＝5sin A＋cos A＝2sin ，
∴2a＋c的最大值为2.故选A.]
5．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a cos C－c cos A＝c，则sin A＋cos 2C的取值范围是( )
A．(0，2] B．(1，)
C．(，2] D．(－，0)
B [由正弦定理可得sin A cos C－cos A sin C＝sin C，即sin (A－C)＝sin C，∵0∴1<2sin <.
故选B.]
6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a2＋3b2＝7c2，则( )
A．cos 2C有最小值，且最小值为－
B．cos 2C有最小值，且最小值为
C．cos 2C有最大值，且最大值为－
D．cos 2C有最大值，且最大值为
A [因为3a2＋3b2＝7c2，所以a2＋b2＝c2≥2ab，
则，cos C＝＝＝，
从而cos 2C＝2cos2C－1≥2×－1＝－，
当且仅当a＝b时，等号成立，故cos2C有最小值，且最小值为－.
故选A.]
二、多项选择题
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设BC边上的中点为M，△ABC的面积为S，其中a＝2，b2＋c2＝24，下列选项正确的是( )
A．若A＝，则S＝3
B．S的最大值为3
C．AM＝3
D．角A的最小值为
ABC [选项A，若A＝，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得12＝24－bc，所以bc＝12，
则三角形的面积S＝bc sin A＝×12×＝3，A正确；
选项B，由基本不等式可得24＝b2＋c2≥2bc，即bc≤12，
当且仅当b＝c＝2时，等号成立，
由余弦定理的推论可得cos A＝＝＝，
则S＝bc sin A＝bc
＝＝3，B正确；
选项C，因为BC边上的中点为M，所以＝，
而a2＝b2＋c2－2bc cosA，即12＝24－2bc cos A，则bc cos A＝6，
所以
＝
＝
＝＝3，C正确；
选项D，因为24＝b2＋c2≥2bc，即bc≤12，
所以由余弦定理的推论得cos A＝＝＝，
又08．锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a－b＝2b cos C，则( )
A．C＝2B
B．B的取值范围是
C．B＝2C
D．的取值范围是
AB [由a－b＝2b cos C，可得
sin A－sin B＝2sin B cos C，
即sin (B＋C)－2sin B cos C＝sin B，
即有sin C cos B－cos C sin B＝sin (C－B)＝sin B，
因为△ABC为锐角三角形，
所以C－B＝B，即C＝2B，故A正确，C错误；
由0而＝＝＝2cos B∈()，故D错误．
故选AB.]
三、填空题
9．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝4，且＝sin C，则△ABC面积的最大值为________．
4 4 [因为a＝4，且＝sin C，
由正弦定理得＝c，化简得b2＋c2－a2＝bc，
故cos A＝＝，所以A＝60°.
又因为a2＝b2＋c2－2bc cos A，即16＝b2＋c2－bc≥bc，
所以bc≤16，当且仅当b＝c＝4时取等号．
故S△ABC＝bc sin 60°≤4.]
10．(2025·山西太原模拟)钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B＝c sin A，则sin A＋sin B的最大值是________．
[由a cos B＝c sin A及正弦定理得
sin A cos B＝sin C sin A，
因为A∈(0，π)，可得sin A≠0，
所以sin C＝cos B，则C＝－B或C＝＋B.
当C＝－B时，可得A＝，与△ABC是钝角三角形矛盾，所以C＝＋B，
由则A＝－2B>0，可得0所以sin A＋sin B＝sin sin B＝cos 2B＋sin B＝－2sin2B＋sin B＋1＝－2＋，
所以当sin B＝时，sin A＋sin B取得最大值.]
四、解答题
11．(2025·浙江杭州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos B＝.
(1)若A＝，求B；
(2)若△ABC是锐角三角形，且c＝4，求b的取值范围．
[解] (1)因为cos B＝，由正弦定理可得
cos B＝，
则2sin C cos B＝sin A－sin C＝sin (B＋C)－sin C＝sin B cos C＋sin C cos B－sin C，
整理得sin C＝sin B cos C－sin C cos B＝sin (B－C)，
因为B，C∈，则B－C∈，则C＝B－C，即B＝2C，
由A＝，得B＋C＝3C＝π，则C＝π，B＝π.
(2)因为△ABC是锐角三角形，
则解得则由正弦定理得＝，得b＝＝＝8cos C，
可得412．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin B＋c sin C－a sin A＝2b sin B sin C且C≠.
(1)求证：B＝A＋；
(2)求cos A＋sin B＋sin C的取值范围．
[解] (1)证明：因为b sin B＋c sin C－a sin A＝2b sin B sin C，
由正弦定理得，b2＋c2－a2＝2bc sin B，由余弦定理得b2＋c2－a2＝2bc cos A＝2bc sin B，
所以cos A＝sin B，又cos A＝sin ，所以sin ＝sin B.
又0所以A＋B＝或B＝A＋，
又C≠，所以A＋B＝π－C≠，所以B＝A＋，得证．
(2)由(1)知B＝A＋，所以C＝π－A－B＝－2A，
又cos A＝sin B，所以cos A＋sin B＋sin C＝2sin B＋sin C＝2sin ＋sin
＝2cos A＋cos 2A＝2cos2A＋2cosA－1＝2－，
因为所以0所以令cos A＝t，t∈.
因为函数y＝2－在上单调递增，
所以2－＝<2－<2－＝3，
所以cos A＋sin B＋sin C的取值范围为.
13．(2025·湖北武汉模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
(1)求tan A；
(2)若△ABC的面积为.
①E为BC的中点，求△ABC底边BC上中线AE长的最小值；
②求内角A的平分线AD长的最大值．
[解] (1)由正弦定理，得＝，
即c2＋b2－a2＝bc，
故cos A＝＝＝，
因为cos A>0，所以A∈，
所以sin A＝＝＝，
所以tanA＝2.
(2)①由(1)知sin A＝，
因为△ABC的面积为，
所以bc sin A＝，解得bc＝8，
由于＝，所以
＝
＝(c2＋b2＋2bc cos A)＝
≥＝bc＝，
当且仅当b＝c时，等号成立，
所以||2≥ ，
故AE的最小值为.
②因为AD为角A的平分线，
所以sin ∠BAD＝sin ∠CAD＝A，
因为S△ADB＋S△ADC＝S△ABC，
所以AD·c sin AD·b sin ＝bc sin A＝bc sin cos ，
因为sin ≠0，所以AD(c＋b)＝2bc cos ，
因为cos A＝2cos2－1＝ cos2＝ cos＝，
又bc＝8，所以AD(c＋b)＝2bc cos＝2×8×＝，
由基本不等式得b＋c≥2＝4，当且仅当b＝c时，等号成立，
故＝AD(c＋b)≥2AD＝4AD，
故AD≤，
故AD的最大值为.
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