在人教A版选择性必修第三册P81“探究与发现”中，同学们已经研究了二项分布P(X＝k)＝pk·(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，随k变化时，概率值的变化特点，相应结论如文中探究问题1所示，在2023年教育部教育考试院老高考新课标适应性测试中，已对该性质做了类似的命题．若n，k为常数，p为变量，概率pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，可视为参数p的函数，其概率值的变化特点，需要借助导数得到，2018年全国Ⅰ卷已对此做了命题，如文中探究问题2所示．
探究问题1探究函数f (k)＝pkqn－k(k＝0，1，2，…，n，p＋q＝1，0＜p＜1)的最值取得情况，其中k为自变量．
令＝＝1＋，k＝1，2，…，n．
得出结论如下：
①当(n＋1)p为整数时，则当k＝(n＋1)p时取得概率最大值，又＝1，故此时可取的k值有2个：k＝(n＋1)p或(n＋1)p－1；
②当(n＋1)p不为整数时，则当k取(n＋1)p的整数部分时，P(X＝k)是唯一的概率最大值．
[典例1] 为了提高广大青少年的法律意识，我市开展青少年“学宪法、讲宪法”知识竞赛活动，团员小明每天自觉登录“青少年普法”软件，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛．每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束．每天的四人赛共有20局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2，3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2，3，4名的得1分；后18局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分．经统计，小明每天在第1局四人赛中获得3分、2分、1分的概率分别为，在第2局四人赛中获得2分、1分的概率分别为．
(1)设小明每天获得的得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)若小明每天赛完20局，设小明在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为，每局是否赢得比赛相互独立，请问在每天的20局四人赛中，小明赢得多少局的比赛概率最大？
[解] (1)记事件Ai(i＝1，2，3)表示第一局获得i分，事件Bi(i＝1，2)表示第二局获得i分，这些事件相互独立，由条件知X的可能值为5，4，3，2．
P(X＝5)＝P(A3B2)＝P(A3)P(B2)＝＝；
P(X＝4)＝P(A3B1)＋P(A2B2)＝＝；
P(X＝3)＝P(A2B1)＋P(A1B2)＝＝；
P(X＝2)＝P(A1B1)＝＝．
则其分布列为
X 5 4 3 2
P
所以E(X)＝5×＋4×＋3×＋2×＝＝．
(2)设小明每天赢得的局数为Y，则易知Y～B，
于是P(Y＝k)＝．
假设赢得k局的概率最大，则据条件得
即
整理得解得≤k≤，
又因为k∈N*，所以k＝5，
因此在每天的20局四人赛中，小明赢得5局的比赛概率最大．
本题属于n，p固定，探究以k为自变量的离散函数(数列)f (k)＝0.25k(1－0.25)20-k，k＝0，1，…，20是否存在最值的问题，除本例解法外，也可以利用比商法，结合函数(数列)的单调性求解．
【教用·备选题】
第十四届全国冬季运动会(以下简称冬运)于2024年2月17日至2月27日举行，为进一步增强群众的法治意识，提高群众冬运法律知识水平和文明素质，让法治精神携手冬运走进千家万户，某市有关部门在该市市民中开展了以“迎接冬运·法治同行”为主题的法治宣传教育活动．该活动采取线上、线下相结合的方式，线上有“知识大闯关”冬运法律知识普及类趣味答题，线下有“冬运普法”知识讲座，实现“冬运＋普法”的全新模式．其中线上“知识大闯关”答题环节共计30个题目，每个题目2分，满分60分，现在从参与作答“知识大闯关”题目的市民中随机抽取1 000名，将他们的作答成绩分成6组：[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)请估计被抽取的1 000名市民作答成绩的平均数和中位数；
(2)视频率为概率，现从所有参与“知识大闯关”活动的市民中随机抽取20名，调查其掌握各类冬运法律知识的情况．记k名市民的成绩在[40，60]的概率为P(X＝k)，k＝0，1，2，…，20．请估计这20名市民的作答成绩在[40，60]的人数为多少时，P(X＝k)最大？并说明理由．
[解] (1)由频率分布直方图可知，抽取的1 000名市民作答成绩的平均数
＝5×0.05＋15×0.1＋25×0.2＋35×0.3＋45×0.25＋55×0.1＝34(分)．
设1 000名市民作答成绩的中位数为x，
则0.05＋0.1＋0.2＋0.03×(x－30)＝0.5，
所以x＝35，
所以这1 000名市民作答成绩的平均数为34分，中位数为35分．
(2)估计这20位市民的作答成绩在[40，60]的人数为7时概率最大．
由已知得X～B(20，0.35)，
所以P(X＝k)＝0.35k(1－0.35)20-k，k＝0，1，…，20，
令k＝1，2，…，19，
即
即
解得6.35≤k≤7.35，
由k∈N*，所以k＝7，
所以这20位市民的作答成绩在[40，60]的人数为7时，P(X＝k)最大．
探究问题2探究函数f (p)＝pkqn－k(k＝0，1，2，…，n，n∈Z，0＜p＜1，p＋q＝1)的最值取得情况，其中p为自变量，n，k为常数．
由f ′(p)＝[kpk-1(1－p)n－k－pk(n－k)(1－p)n－k-1]＝pk-1(1－p)n－k-1[k(1－p)－(n－k)p]＝pk-1(1－p)n－k-1(k－np)可知，
(1)当k＝0时，f ′(p)＜0恒成立，f (p)在(0，1)上单调递减，f (p)无最值；
(2)当k＝n时，f ′(p)＞0恒成立，f (p)在(0，1)上单调递增，f (p)无最值；
(3)当k＝1，2，…，n－1时，
由于当p＜时，f ′(p)＞0，f (p)单调递增，当p＞时，f ′(p)＜0，f (p)单调递减，故当p＝时，f (p)取得最大值，f (p)max＝f．
又当p→0时，f (p)→0，当p→1时，f (p)→0，从而f (p)无最小值．
上述两个问题的解决运用了函数与方程的思想，问题1中通过解不等式≥1比较f (k)与f (k－1)的大小．问题2中通过求导判断函数的单调性求出最值．出于实际意义，一般更关注概率的最大值点的取得情况．存在最大值点的前提下，若视k为自变量，最大值点为某个随机变量，也可能是两个．若视p为自变量，f (p)＝pkqn－k，n，k为常数，相当于以p为自变量的多项式函数在(0，1)上求最大值，最大值点只有一个．
[典例2] (2018·全国Ⅰ卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p)，求f (p)的最大值点p0．
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
[解] (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p)＝p2(1－p)18．
因此f ′(p)＝[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝p(1－p)17(1－10p)．
令f ′(p)＝0，得p＝0.1．当p∈(0，0.1)时，f ′(p)＞0；当p∈(0.1，1)时，f ′(p)＜0．所以f (p)的最大值点为p0＝0.1．
(2)由(1)知，p＝0.1．
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180，0.1)，E(Y)＝180×0.1＝18，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y．
所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490．
②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元．
由于E(X)＞400，故应该对余下的所有产品作检验．
命题者以概率p为自变量，视角新颖，求解该题除了判断分布类型，在解题过程中主要的难点来自用函数的思想来解决问题，应用导数求最大值点，并且在(2)问中要通过计算期望的数值作分析和决策．涉及求值、求值域、求参数的取值范围等问题时，树立函数意识，列出相应的函数解析式，将问题转化为求函数值和函数最值的问题来研究．
1 / 6在人教A版选择性必修第三册P81“探究与发现”中，同学们已经研究了二项分布P(X＝k)＝pk·(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，随k变化时，概率值的变化特点，相应结论如文中探究问题1所示，在2023年教育部教育考试院老高考新课标适应性测试中，已对该性质做了类似的命题．若n，k为常数，p为变量，概率pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，可视为参数p的函数，其概率值的变化特点，需要借助导数得到，2018年全国Ⅰ卷已对此做了命题，如文中探究问题2所示．
探究问题1探究函数f (k)＝pkqn－k(k＝0，1，2，…，n，p＋q＝1，0＜p＜1)的最值取得情况，其中k为自变量．
令＝＝1＋，k＝1，2，…，n．
得出结论如下：
①当(n＋1)p为整数时，则当k＝(n＋1)p时取得概率最大值，又＝1，故此时可取的k值有2个：k＝(n＋1)p或(n＋1)p－1；
②当(n＋1)p不为整数时，则当k取(n＋1)p的整数部分时，P(X＝k)是唯一的概率最大值．
[典例1] 为了提高广大青少年的法律意识，我市开展青少年“学宪法、讲宪法”知识竞赛活动，团员小明每天自觉登录“青少年普法”软件，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛．每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束．每天的四人赛共有20局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2，3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2，3，4名的得1分；后18局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分．经统计，小明每天在第1局四人赛中获得3分、2分、1分的概率分别为，在第2局四人赛中获得2分、1分的概率分别为．
(1)设小明每天获得的得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)若小明每天赛完20局，设小明在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为，每局是否赢得比赛相互独立，请问在每天的20局四人赛中，小明赢得多少局的比赛概率最大？
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
本题属于n，p固定，探究以k为自变量的离散函数(数列)f (k)＝0.25k(1－0.25)20-k，k＝0，1，…，20是否存在最值的问题，除本例解法外，也可以利用比商法，结合函数(数列)的单调性求解．
探究问题2 探究函数f (p)＝pkqn－k(k＝0，1，2，…，n，n∈Z，0＜p＜1，p＋q＝1)的最值取得情况，其中p为自变量，n，k为常数．
由f ′(p)＝[kpk-1(1－p)n－k－pk(n－k)(1－p)n－k-1]＝pk-1(1－p)n－k-1[k(1－p)－(n－k)p]＝pk-1(1－p)n－k-1(k－np)可知，
(1)当k＝0时，f ′(p)＜0恒成立，f (p)在(0，1)上单调递减，f (p)无最值；
(2)当k＝n时，f ′(p)＞0恒成立，f (p)在(0，1)上单调递增，f (p)无最值；
(3)当k＝1，2，…，n－1时，
由于当p＜时，f ′(p)＞0，f (p)单调递增，当p＞时，f ′(p)＜0，f (p)单调递减，故当p＝时，f (p)取得最大值，f (p)max＝f．
又当p→0时，f (p)→0，当p→1时，f (p)→0，从而f (p)无最小值．
上述两个问题的解决运用了函数与方程的思想，问题1中通过解不等式≥1比较f (k)与f (k－1)的大小．问题2中通过求导判断函数的单调性求出最值．出于实际意义，一般更关注概率的最大值点的取得情况．存在最大值点的前提下，若视k为自变量，最大值点为某个随机变量，也可能是两个．若视p为自变量，f (p)＝pkqn－k，n，k为常数，相当于以p为自变量的多项式函数在(0，1)上求最大值，最大值点只有一个．
[典例2] (2018·全国Ⅰ卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p)，求f (p)的最大值点p0．
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
命题者以概率p为自变量，视角新颖，求解该题除了判断分布类型，在解题过程中主要的难点来自用函数的思想来解决问题，应用导数求最大值点，并且在(2)问中要通过计算期望的数值作分析和决策．涉及求值、求值域、求参数的取值范围等问题时，树立函数意识，列出相应的函数解析式，将问题转化为求函数值和函数最值的问题来研究．
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