阶段提能(一) 集合、常用逻辑用语、不等式 函数的概念与性质
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共88分
一、单项选择题
1．(2025·江苏南京模拟)已知集合A＝{x|log2x≤1}，B＝{y|y＝2x，x≤2}，则( )
A．A∪B＝B B．A∪B＝A
C．A∩B＝B D．A∩ RB＝R
2．(2025·天津耀华中学模拟)已知4a＝5，log89＝b，则22a-3b＝( )
A． B．5 C． D．25
3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝logax＋a(a>0且a≠1)的图象可能是( )
A B
C D
4．(2025·广东广州模拟)已知函数f (x)＝ (a>0且a≠1)在定义域内是增函数，则a的取值范围是( )
A．(2，3) B．(2，＋∞)
C．[2，3] D．(1，4)
5．(2025·山东青岛模拟)已知函数f (x)＝－x，若a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.5-0.5，则( )
A．f (b)
B．f (c)C．f (b)D．f (a)6．(2025·安徽合肥模拟)若x，y∈R，则“2x－2y>－”是“ln (x－y)>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．(2025·广东深圳模拟)已知f (x)的定义域为R，y＝f (2x－1)为奇函数，y＝f (x＋1)为偶函数，若当x∈(－1，1)时，f (x)＝ex，则f (194)＝( )
A． B．0 C．1 D．e
8．已知函数f (x)＝3x-2－32-x，则满足f (x)＋f (8－3x)>0的x的取值范围是( )
A．(－∞，4) B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D．(－2，2)
二、多项选择题
9．已知函数f (x)＝log2(mx2＋2x＋m－1)，m∈R，则下列说法正确的是( )
A．若函数f (x)的定义域为R，则实数m的取值范围是
B．若函数f (x)的值域为[－1，＋∞)，则实数m＝
C．若函数f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是[0，＋∞)
D．若m＝0，则不等式f (x)<1的解集为
10．(2024·河北沧州一模)已知函数f (x)的定义域为R，且 x∈R，都有f (－3＋x)＋f (－1－x)＝0，f＝f，f (－5)＝－2，f＝－，当x∈[－1，0]时，f (x)＝ax2＋bx，则下列说法正确的是( )
A．函数f (x)的图象关于点(－2，0)对称
B．f (1)＝2
C．f (2 023)＋f (2 024)＋f (2 025)＝2
D．函数f (x)与函数y＝|ln |x||的图象有8个不同的公共点
11．(2025·八省联考)在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数sinh x＝，双曲余弦函数cosh x＝，双曲正切函数tanh x＝.则( )
A．双曲正弦函数是增函数
B．双曲余弦函数是增函数
C．双曲正切函数是增函数
D．tanh(x＋y)＝
三、填空题
12．(2024·广东广州二模)已知f (x)是奇函数，且当x<0时，f (x)＝－eax，若f (ln 2)＝，则a＝________．
13．(2025·河北保定模拟)已知函数y＝ax-2＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＝2上，其中m>0，n>0，则的最小值为________．
14．设函数f (x)＝g(x)＝loga(x－1)(其中a>1)．
(1)f (2 025)＝________；
(2)若函数f (x)与g(x)的图象有3个交点，则实数a的取值范围为________．
四、解答题
15．(2024·上海静安二模)已知k∈R，记f (x)＝ax＋k·a－x(a>0且a≠1)．
(1)当a＝e(e是自然对数的底)时，试讨论函数y＝f (x)的单调性和最值；
(2)试讨论函数y＝f (x)的奇偶性；
(3)拓展与探究：
①当k在什么范围取值时，函数y＝f (x)的图象在x轴上存在对称中心？请说明理由；
②请提出函数y＝f (x)的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．(不必证明)
3 / 3阶段提能(一) 集合、常用逻辑用语、不等式 函数的概念与性质
一、单项选择题
1．(2025·江苏南京模拟)已知集合A＝{x|log2x≤1}，B＝{y|y＝2x，x≤2}，则( )
A．A∪B＝B B．A∪B＝A
C．A∩B＝B D．A∩ RB＝R
A [由log2x≤1，解得0由x≤2，则0<2x≤4；
所以A＝，B＝，
则A B，且 RB＝或，
则A∪B＝B，A∩B＝A，A∩ RB＝ .故选A.]
2．(2025·天津耀华中学模拟)已知4a＝5，log89＝b，则22a-3b＝( )
A． B．5 C． D．25
A [4a＝22a＝5，log89＝ ＝log23＝b，
3b＝2log23＝log232＝log29，23b＝＝9，
所以22a-3b＝＝.故选A.]
3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝logax＋a(a>0且a≠1)的图象可能是( )
A B
C D
A [对于A，B，若y＝a－x＝的图象正确，则0∴y＝logax＋a单调递减，又当x＝1时，y＝loga1＋a＝a>0，故A正确，B错误；
对于C，D，若y＝a－x＝的图象正确，则a>1，
∴y＝logax＋a单调递增，故C，D错误．]
4．(2025·广东广州模拟)已知函数f (x)＝ (a>0且a≠1)在定义域内是增函数，则a的取值范围是( )
A．(2，3) B．(2，＋∞)
C．[2，3] D．(1，4)
C [由函数f (x)＝ (a＞0且a≠1)在定义域内是增函数，
则满足解得2≤a≤3，即实数a的取值范围为[2，3].故选C.]
5．(2025·山东青岛模拟)已知函数f (x)＝－x，若a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.5-0.5，则( )
A．f (b)B．f (c)C．f (b)D．f (a)C [∵0＝log51log0.50.52＝2，1＝0.50<0.5-0.5<0.5-1＝2，
∴b>c>a>0，且f (x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴f (b)6．(2025·安徽合肥模拟)若x，y∈R，则“2x－2y>－”是“ln (x－y)>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [设命题p：2x－2y>－，命题q：ln (x－y)>0，
对于命题p，因为2x－2y>－，
所以2x－>2y－，
构造函数f (x)＝2x－，易知f (x)在R上为增函数，所以x>y，
对于命题q，因为ln (x－y)>0，所以x－y>1，即x>y＋1，
所以pDq，q p，
所以p是q的必要不充分条件．故选B.]
7．(2025·广东深圳模拟)已知f (x)的定义域为R，y＝f (2x－1)为奇函数，y＝f (x＋1)为偶函数，若当x∈(－1，1)时，f (x)＝ex，则f (194)＝( )
A． B．0 C．1 D．e
C [y＝f (2x－1)为奇函数，即f (2x－1)＋f (－2x－1)＝0，
所以f (x)的图象关于(－1，0)对称，即f (x)＝－f (－2－x)，
y＝f (x＋1)为偶函数，即f (x＋1)＝f (－x＋1) f (2－x)＝f (x)，所以f (2－x)＝－f (－2－x) f (x＋2)＝－f (x－2) f (x＋4)＝－f (x)，
故f (x＋8)＝－f (x＋4)＝f (x)，即f (x)是周期为8的周期函数，所以f (194)＝f (8×24＋2)＝f (2)＝f (0)＝1.故选C.]
8．已知函数f (x)＝3x-2－32-x，则满足f (x)＋f (8－3x)>0的x的取值范围是( )
A．(－∞，4) B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D．(－2，2)
B [设g(x)＝3x－3－x，x∈R，则g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．
又f (x)＝3x-2－32-x＝3x-2－3－(x-2)＝g(x－2)，
则f (x)的图象是由g(x)的图象向右平移2个单位长度得到的，所以f (x)图象的对称中心为(2，0)，
所以f (x)＋f (4－x)＝0.
因为y＝3x在R上单调递增，y＝3－x在R上单调递减，
所以g(x)在R上单调递增，则f (x)在R上单调递增，
因为f (x)＋f (8－3x)>0＝f (x)＋f (4－x)，
所以f (8－3x)>f (4－x)，所以8－3x>4－x，解得x<2,
故满足f (x)＋f (8－3x)>0的x的取值范围为(－∞，2)．故选B.]
二、多项选择题
9．已知函数f (x)＝log2(mx2＋2x＋m－1)，m∈R，则下列说法正确的是( )
A．若函数f (x)的定义域为R，则实数m的取值范围是
B．若函数f (x)的值域为[－1，＋∞)，则实数m＝
C．若函数f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是[0，＋∞)
D．若m＝0，则不等式f (x)<1的解集为
AC [对于A，因为f (x)的定义域为R，所以mx2＋2x＋m－1>0恒成立，则解得m>，故A正确；
对于B，因为f (x)的值域为[－1，＋∞)，所以y＝mx2＋2x＋m－1的最小值为，所以 解得m＝2，故B错误；
对于C，因为函数f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增，
所以当m＝0时，f (x)＝log2(2x－1)，符合题意；
当m≠0时，解得m>0，所以m≥0，故C正确；
对于D，当m＝0时，f (x)＝log2(2x－1)，由f (x)<1，可得0<2x－1<2，解得10．(2024·河北沧州一模)已知函数f (x)的定义域为R，且 x∈R，都有f (－3＋x)＋f (－1－x)＝0，f＝f，f (－5)＝－2，f＝－，当x∈[－1，0]时，f (x)＝ax2＋bx，则下列说法正确的是( )
A．函数f (x)的图象关于点(－2，0)对称
B．f (1)＝2
C．f (2 023)＋f (2 024)＋f (2 025)＝2
D．函数f (x)与函数y＝|ln |x||的图象有8个不同的公共点
ABD [由f (－3＋x)＋f (－1－x)＝0得函数f (x)的图象关于点(－2，0)对称，A正确；
由f＝f得函数f (x)的图象关于x＝－1对称，
所以f (－4＋x)＋f (－x)＝0，f (－2＋x)＝f (－x)，
所以f (x－4)＋f (x－2)＝0，即f (x)＋f (x＋2)＝0，
所以f (x)＝－f (x＋2)＝f (x＋4)，故函数f (x)的周期为4，
由f (－5)＝－2知f (－1)＝－2，f＝f＝－，
又x∈[－1，0]时，f (x)＝ax2＋bx，
所以解得
所以x∈[－1，0]时，f (x)＝－x2＋x，
所以f (1)＝－f (－1)＝2，B正确；
f (2 023)＋f (2 024)＋f (2 025)＝f (－1)＋f (0)＋f (1)＝0，C错误；
在同一直角坐标系中画出函数f (x)和函数y＝|ln |x||的图象，如图：
－7||＝ln 7<2＝f (－7)，观察图象可得函数f (x)与函数y＝|ln |x||的图象有8个不同的公共点，D正确．
故选ABD.]
11．(2025·八省联考)在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数sinh x＝，双曲余弦函数cosh x＝，双曲正切函数tanh x＝.则( )
A．双曲正弦函数是增函数
B．双曲余弦函数是增函数
C．双曲正切函数是增函数
D．tanh(x＋y)＝
ACD [对于A，令f (x)＝sinh x＝，则f′(x)＝>0恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确；
对于B，令g(x)＝cosh x＝，
则g′(x)＝，由选项A知，g′(x)为增函数，又g′(0)＝＝0，故当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，故g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误；
对于C，tanh x＝＝＝＝＝1－，
由y＝e2x＋1在R上单调递增，且y＝e2x＋1>1，
故tanh x＝1－是增函数，故C正确；
对于D，由选项C知tanh x＝，则
tanh(x＋y)＝，
＝
＝
＝
＝＝，
故tanh(x＋y)＝，故D正确．
故选ACD.]
三、填空题
12．(2024·广东广州二模)已知f (x)是奇函数，且当x<0时，f (x)＝－eax，若f (ln 2)＝，则a＝________．
3 [由题意知f (x)是奇函数，且当x<0时，f (x)＝－eax，
故f (ln 2)＝－f (－ln 2)＝－f＝＝＝，
则＝，∴a＝3.]
13．(2025·河北保定模拟)已知函数y＝ax-2＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＝2上，其中m>0，n>0，则的最小值为________．
[对于函数y＝ax-2＋3(a>0，且a≠1)，令x－2＝0，则y＝4，则函数y＝ax-2＋3(a>0且a≠1)的图象恒过定点A(2，4)，则2m＋4n＝2，∴m＋2n＝1，且m>0，n>0，
故＝(m＋2n)＝2＋＋2＝，
当且仅当即m＝，n＝时等号成立，即的最小值为.]
14．设函数f (x)＝g(x)＝loga(x－1)(其中a>1)．
(1)f (2 025)＝________；
(2)若函数f (x)与g(x)的图象有3个交点，则实数a的取值范围为________．
(1)1 (2) [由题意，函数f (x)＝
所以f (2 025)＝f (2 023)＝f (2 021)＝…＝f (1)＝f (－1)＝－1＝1.
当0可得f (x)＝f (x－2)＝－1；
当2可得f (x)＝f (x－2)＝－1；
当4可得f (x)＝f (x－2)＝－1；
当6可得f (x)＝f (x－2)＝－1，
画出函数y＝f (x)和y＝g(x)的图象，如图所示，
由loga(4－1)＝3，可得a＝由图象可知，若两个函数的图象有3个交点，可得四、解答题
15．(2024·上海静安二模)已知k∈R，记f (x)＝ax＋k·a－x(a>0且a≠1)．
(1)当a＝e(e是自然对数的底)时，试讨论函数y＝f (x)的单调性和最值；
(2)试讨论函数y＝f (x)的奇偶性；
(3)拓展与探究：
①当k在什么范围取值时，函数y＝f (x)的图象在x轴上存在对称中心？请说明理由；
②请提出函数y＝f (x)的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．(不必证明)
[解] (1)当a＝e时，函数f (x)＝ex＋k·e－x，可得f′(x)＝ex－k·e－x，
当k≤0时，f′(x)>0，故函数y＝f (x)在R上单调递增，函数y＝f (x)在R上无最值；
当k>0时，令f′(x)＝0，可得x＝ln k，
当x∈时，f′(x)＜0，函数y＝f (x)在上单调递减；
当x∈时，f′(x)＞0，函数y＝f (x)在上单调递增，
所以，当x＝ln k时，函数取得最小值，最小值为f＝2，无最大值．
综上：当k≤0时，函数f (x)在R上单调递增且无最值；当k>0时，函数f (x)在上单调递减，在上单调递增，最小值为2，无最大值．
(2)因为“y＝f (x)为偶函数” “对于任意的x∈R，都有f (－x)＝f (x)”，
即对于任意的x∈R，都有－x∈R，并且ax＋k·a－x＝a－x＋k·ax，
即对于任意的x∈R，(k－1)(ax－a－x)＝0，可得k＝1，
所以k＝1是y＝f (x)为偶函数的充要条件.
因为“y＝f (x)为奇函数” “对于任意的x∈R，都有f (－x)＝－f (x)”，
即对于任意的x∈R，都有－x∈R，并且－ax－k·a－x＝a－x＋k·ax，
即对于任意的x∈R，(k＋1)(ax＋a－x)＝0，可得k＝－1，
所以k＝－1是y＝f (x)为奇函数的充要条件，
当k≠±1时，y＝f (x)是非奇非偶函数．
(3)①当k<0时，函数y＝f (x)的图象有对称中心，
当k<0时，对于任意的x∈R，都有－x∈R，并且f (loga(－k)－x)＝－f (x)．
理由：当k<0时，令f (x)＝0，解得x＝loga(－k)为函数y＝f (x)的零点，
由f (x)＝ax＋k·a－x，
可得f (loga(－k)－x)＝＋k·＝－k·a－x－ax＝－f (x)．
②当k>0时，函数y＝f (x)的图象有对称轴x＝logak.
即当k>0时，对于任意的x∈R，都有－x∈R，并且f (logak－x)＝f (x)．
参考证明：当k>0时，由f (x)＝ax＋k·a－x，
可得f (logak－x)＝＋k·＝k·a－x＋ax＝f (x)．
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