阶段提能(五) 解三角形
1．(2024·河北保定二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos B－b cos A＝－a－c.
(1)求B；
(2)若a＝2，b＝2，D为AC边的中点，求BD的长．
[解] (1)因为a cos B－b cos A＝－a－c，
根据正弦定理，得sin A cos B－cos A sin B＝－sin A－sin C＝－sin A－，
化简得2sin A cos B＝－sin A，因为sin A>0，
所以cos B＝－，
因为B∈，所以B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理得(2)2＝22＋c2－2×2c cos ，
所以c2＋2c－24＝0，
解得c＝4(舍负)．
因为BD为△ABC的中线，所以2＝，
所以4||2＝c2＋a2＋2ac·cos ，
因为a＝2，c＝4，所以4||2＝12，解得＝，故BD的长为.
2．(2024·黑龙江哈尔滨一模)已知函数f (x)＝sin2ωx＋sinωx cos ωx－(ω>0)．
(1)当ω＝1时，求函数f (x)在上的值域；
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为∠BAC的平分线，若f (x)的最小正周期是2π，f＝0，a＝，AD＝，求△ABC的面积．
[解] (1)f (x)＝sin2ωx＋sinωx cos ωx－＝sin 2ωx－
＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin ，
当ω＝1时，f＝sin ，又x∈，故2x－∈，
又y＝sin x在上单调递增，在上单调递减，且sin ＝－，sin ＝1，sin ＝，
故函数f (x)在上的值域为.
(2)由(1)知，f＝sin (ω＞0)，若其最小正周期为2π，
可得＝2π，解得ω＝，则f＝sin .
由f＝0，得sin ＝0，
又∠BAC∈，可得∈，则＝0，
即∠BAC＝.
AD为∠BAC的平分线，故∠BAD＝30°，∠CAD＝30°，
则sin ∠BAC·bc＝sin ∠BAD·c·AD＋sin ∠CAD·b·AD，即bc＝，b＋c＝bc.
在△ABC中，由余弦定理的推论可得cos ∠BAC＝，即＝＝，
将b＋c＝bc代入上式可得：bc＝－2bc－3，即＝0，
解得bc＝2，或bc＝－(舍去)．
故△ABC的面积为sin ∠BAC·bc＝×2＝.
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c是公差为2的等差数列．
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数b，使得△ABC的外心在△ABC的外部？若存在，求b的取值集合；若不存在，请说明理由．
[解] (1)∵2sin C＝3sin A，∴由正弦定理得2c＝3a，
∵a，b，c是公差为2的等差数列，∴a＝b－2，c＝b＋2，
∴2＝3，∴b＝10，∴a＝8，c＝12，
∴cos C＝＝＝，
∵C∈，且sin2C＋cos2C＝1，∴sinC＝，
故△ABC的面积为×8×10×＝15.
(2)假设存在正整数b，使得△ABC的外心在△ABC的外部，则△ABC为钝角三角形，
依题意可知c>b>a，则C为钝角，
则cos C＝＝<0，
即<0，解得2
∵b＋b－2>b＋2，∴b>4，
∴4∴存在正整数b，使得△ABC的外心在△ABC的外部，此时b的取值集合为.
4．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
(1)求b的值；
(2)若cos B＋sin B＝2，求△ABC的周长的取值范围．
[解] (1)在△ABC中，∵
＝，
∴＝，
∴＝，解得b＝.
(2)法一(三角函数法): ∵cos B＋sin B＝2sin ＝2，
∴sin ＝1，
∵0∴B＋＝，∴B＝.
由正弦定理得＝＝＝＝1，
∴a＝sin A，c＝sin C.
由A＋B＋C＝π得A＋C＝，
∴C＝－A，且0∴a＋c＝sin A＋sin C＝sin A＋sin
＝sin A＋sin cos A－cos sin A
＝sin A＋cos A＝sin .
∵0∴∴∴a＋c的取值范围是.
∴△ABC周长的取值范围是.
法二(基本不等式)：
∵cos B＋sin B＝2sin ＝2，
∴sin ＝1，
∵0∴B＋＝，∴B＝.
由(1)得b＝，
∴由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B得b2＝(a＋c)2－3ac，
∵ac≤，
∴3ac＝(a＋c)2－b2≤，即(a＋c)2≤4b2，
∴a＋c≤2b＝，当且仅当a＝c时等号成立，
∵三角形两边之和大于第三边，
∴b∴1 / 5阶段提能(五) 解三角形
1．(2024·河北保定二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos B－b cos A＝－a－c.
(1)求B；
(2)若a＝2，b＝2，D为AC边的中点，求BD的长．
2．(2024·黑龙江哈尔滨一模)已知函数f (x)＝sin2ωx＋sinωx cos ωx－(ω>0)．
(1)当ω＝1时，求函数f (x)在上的值域；
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为∠BAC的平分线，若f (x)的最小正周期是2π，f＝0，a＝，AD＝，求△ABC的面积．
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c是公差为2的等差数列．
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数b，使得△ABC的外心在△ABC的外部？若存在，求b的取值集合；若不存在，请说明理由．
4．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
(1)求b的值；
(2)若cos B＋sin B＝2，求△ABC的周长的取值范围．
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(一题多解