进阶特训(三) 利用导数解决函数的零点问题
1．(2024·湖南邵阳三模)已知函数f (x)＝－x3＋x2＋1．
(1)求函数f (x)的单调递增区间；
(2)若函数g(x)＝f (x)－k(k∈R)有且仅有三个零点，求k的取值范围．
2．已知函数f (x)＝ax－－(a＋1)ln x，若f (x)恰有一个零点，求a的取值范围．
3．已知函数f (x)＝．
(1)当a＝2时，求f (x)的单调区间；
(2)证明：若曲线y＝f (x)与直线y＝有且仅有两个交点，求a的取值范围．
4．设函数f (x)＝－k ln x，k＞0．
(1)求f (x)的单调区间和极值；
(2)证明：若f (x)存在零点，则f (x)在区间(1，]上仅有一个零点．
1/1进阶特训(三)
1．解：(1)由f (x)＝－x3＋x2＋1，得f ′(x)＝－x2＋2x，
令f ′(x)>0，得－x2＋2x>0，解得0所以f (x)在(0，2)上单调递增．
(2)令f ′(x)＝0，解得x＝0或x＝2．
当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表所示：
x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋ 0 －
f (x) 单调递减 1 单调递增 单调递减
由函数g(x)＝f (x)－k有且仅有三个零点，
得方程f (x)＝k(k∈R)有且仅有三个不等的实数根，所以函数y＝f (x)的图象与直线y＝k有且仅有三个交点．
显然，当x→－∞时，f (x)→＋∞；当x→＋∞时，f (x)→－∞．
所以由上表可知，f (x)的极小值为f (0)＝1，f (x)的极大值为f (2)＝，故k的取值范围为．
2．解：由f (x)＝ax－－(a＋1)ln x(x＞0)，
得f ′(x)＝a＋＝(x＞0)．
(1)当a＝0时，f (x)＝－－ln x，f ′(x)＝，
当x∈(0，1)时，f ′(x)＞0；
当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＜0，
所以f (x)≤f (1)＝－1＜0，
所以f (x)不存在零点；
(2)当a＜0时，f ′(x)＝，
当x∈(0，1)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
所以f (x)max＝f (1)＝a－1＜0，
所以f (x)不存在零点；
(3)当a＞0时，f ′(x)＝，
①当a＝1时，f ′(x)≥0，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f (1)＝a－1＝0，
所以函数f (x)恰有一个零点；
②当a＞1时，0＜＜1，故f (x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
因为f (1)＝a－1＞0，
所以f＞f (1)＞0，
当x→0＋时，f (x)→－∞，由零点存在定理可知
f (x)在上必有一个零点，
所以a＞1满足条件；
③当0＜a＜1时，＞1，故f (x)在(0，1)，上单调递增，在上单调递减．
因为f (1)＝a－1＜0，
所以f＜f (1)＜0，
当x→＋∞时，f (x)→＋∞，由零点存在定理可知f (x)在上必有一个零点，
即0＜a＜1满足条件．
综上，若f (x)恰有一个零点，则a的取值范围为(0，＋∞)．
3．解：(1)当a＝2时，f (x)＝，则f (x)的定义域为(0，＋∞)，
∵f ′(x)＝
＝＝
＝，
∴当x∈时，f ′(x)>0；当x∈时，f ′(x)<0，
∴f (x)在上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．
(2)由题意知：a>0且a≠1．
∵曲线y＝f (x)与直线y＝有且仅有两个交点，
∴方程＝有且仅有两个不等实根，即方程＝有且仅有两个不等实根，
即方程＝有且仅有两个不等实根．
令F (x)＝，则F (x)的定义域为(0，＋∞)，F ′(x)＝，
∴当x∈(0，e)时，F ′(x)>0；当x∈(e，＋∞)时，F ′(x)<0，
∴F (x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∴F (x)max＝F (e)＝，当x→＋∞时，F (x)→0；当x→0时，F (x)→－∞．
可得F (x)大致图象如图所示，
令t＝xa，则t∈(0，＋∞)，
∴F (t)＝F (a)有且仅有两个不同实根的充要条件为0<<，
即F (1)4．解：(1)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)．
由f (x)＝－k ln x(k＞0)，
得f ′(x)＝x－＝．
由f ′(x)＝0，解得x＝(负值舍去)．
f ′(x)与f (x)在区间(0，＋∞)上随x的变化情况如下表．
x (0，) (，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋
f (x) 单调递减 单调递增
所以f (x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．
f (x)在x＝处取得极小值f ()＝，无极大值．
(2)证明：由(1)知，f (x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f ()＝．
因为f (x)存在零点，所以≤0，从而k≥e，
当k＝e时，f (x)在区间(1，]上单调递减且f ()＝0，
所以x＝是f (x)在区间(1，]上的唯一零点；
当k＞e时，f (x)在区间(1，]上单调递减且f (1)＝＞0，f ()＝＜0，
所以f (x)在区间(1，]上仅有一个零点．
综上可知，若f (x)存在零点，则f (x)在区间(1，]上仅有一个零点．
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