进阶特训(五)
1．解：(1)渐近线l1：y＝x，渐近线l2：y＝－x．
设O为坐标原点，由题意，不妨设M在l1上，N在l2上，OM是线段NF2的中垂线，△F2OM≌△NOM，
所以∠F2OM＝∠NOM．由对称性，∠F2OM＝∠F1ON，
所以∠F2OM＝∠NOM＝∠F1ON，从而∠F2OM＝，
所以|F2M|＝＝b，
又|F1F2|＝8，所以c＝4，
在Rt△F2OM中，sin ∠F2OM＝＝＝，
解得b＝2．
所以a2＝c2－b2＝42－12＝4，
故双曲线C的方程为＝1．
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，S(x3，y3)，T(x4，y4)，
由题意可得直线PQ的斜率存在且不为0，所以设直线PQ：y＝k(x－6)．
可得直线PS：y＝(x＋4)．
联立
得－12(x1＋4)2＝0，Δ＞0，
则x1＋x3＝，又＝－12，
所以x1＋x3＝＝＝，
所以x3＝－，y3＝＝＝，
所以S，
同理T．
则kST＝
＝
＝
＝＝－．
直线ST：y－＝－，
令y＝0，得x＝－＝－，
所以直线ST过定点．
2．证明：(1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则P．
由 两式相减得＝0，即＝－．
所以kOP·kMN＝＝＝－＝e2－1＝－1＝－．
(2)由 解得 所以椭圆C的方程为＝1．
将直线方程y＝kx＋4代入椭圆C的方程，化简整理得(2k2＋1)x2＋16kx＋24＝0．①
由Δ＝32(2k2－3)>0，解得k2>．
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝．②
设M(x1，kx1＋4)，N(x2，kx2＋4)，
则直线MB的方程为y＝x－2，③
直线NA的方程为y＝x＋2，④
由③④两式解得
y＝
＝
＝＝1，
即yG＝1，所以直线BM与直线AN的交点G在定直线y＝1上．
3．解：(1)证明：由y＝x2，得y′＝2x，
设，P(xP，yP)．
所以l1的方程为y＝，整理得y＝．
同理可得，l2的方程为y＝．
联立方程
解得
因为点T(1，2)在抛物线内部，可知直线AB的斜率存在，且与抛物线必相交，
设直线AB的方程为y＝k(x－1)＋2，与抛物线方程联立得x2－kx＋k－2＝0，Δ＞0，
故x1＋x2＝k，x1x2＝k－2，
所以xP＝，yP＝k－2，可知yP＝2xP－2．
所以点P在定直线y＝2x－2上．
(2)在l1，l2的方程中，令y＝0，得M，N，
所以△PMN的面积S＝|MN|·|yP|＝|(x1－x2)x1x2|＝．
故(x1－x2)2(x1x2)2＝[(x1＋x2)2－4x1x2](x1x2)2＝32，代入x1＋x2＝k，x1x2＝k－2可得(k2－4k＋8)(k2－4k＋4)＝32．
整理得 ＝0，解得k＝0或k＝4．
所以点P的坐标为(0，－2)或(2，2)．
(3)若x1＝0，则P，N重合，与题设矛盾．
抛物线的焦点F，由M得直线MF的斜率kMF＝－＝－，
可知MF⊥MP，
同理NF⊥NP，所以PF是△PMN外接圆的直径．
若点T也在该圆上，则TF⊥TP．
由kTF＝，得直线TP的方程为y＝－(x－1)＋2．
又点P在定直线y＝2x－2上，
联立两直线方程
解得
所以点P的坐标为．
4．解：(1)由题设得＝1，＝，解得a2＝6，b2＝3．所以C的方程为＝1．
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入＝1，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0．Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－6)＞0，即－m2＋3＋6k2＞0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝．①
由AM⊥AN知＝0，故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，可得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0．
将①代入上式，可得(k2＋1)－(km－k－2)·＋(m－1)2＋4＝0．
整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0．
因为A(2，1)不在直线MN上，
所以2k＋m－1≠0，故2k＋3m＋1＝0，k≠1，m＝－k－．
于是MN的方程为y＝k(k≠1)．
所以直线MN过点P．
若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，－y1)．
由＝0，得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0．
又＝1，所以－8x1＋4＝0，解得x1＝2(舍去)，x1＝．
此时直线MN过点P．
令Q为AP的中点，即Q．
若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，故|DQ|＝|AP|＝．
若D与P重合，则|DQ|＝|AP|．
综上，存在点Q，使得|DQ|为定值．
1 / 5进阶特训(五) 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题
1．(2025·广东八校模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为M，延长F2M交另一条渐近线于点N，且|F2M|＝|MN|．
(1)求双曲线C的方程；
(2)如图，过A(6，0)作直线l(l不与x轴重合)与双曲线C的两支交于P，Q两点，直线F1P，F1Q与C的另一个交点分别为S，T，求证：直线ST过定点．
2．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A，B分别为C的上、下顶点，O为坐标原点，直线y＝kx＋4与C交于不同的两点M，N．
(1)设点P为线段MN的中点，证明：直线OP与直线MN的斜率之积为定值；
(2)若|AB|＝4，证明：直线BM与直线AN的交点G在定直线上．
3．(2024·湖北武汉4月联考)已知抛物线E：y＝x2，过点T(1，2)的直线与抛物线E交于A，B两点，设抛物线E在点A，B处的切线分别为l1和l2，已知l1与x轴交于点M，l2与x轴交于点N，设l1与l2的交点为P．
(1)证明：点P在定直线上；
(2)若△PMN的面积为，求点P的坐标；
(3)若P，M，N，T四点共圆，求点P的坐标．
4．(2020·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2，1)．
(1)求C的方程；
(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
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