课后作业(五) 基本不等式的综合应用
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共75分
一、单项选择题
1．(2025·河北保定模拟)已知正实数a，b，则“a＋b≤2”是“a2＋b2≤2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．某品牌手机在官网发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则( )
A．x＝ B．x≤
C．x> D．x≥
3．(人教A版必修第一册P49习题2.2T7改编)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买100 g黄金，售货员先将50 g的砝码放在天平的左盘中，取出x g黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将50 g的砝码放在天平右盘中，再取出y g黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则( )
A．x＋y>100 B．x＋y＝100
C．x＋y<100 D．以上都有可能
4．若“ x∈，使得3x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ的最大值是( )
A．2 B．2
C．4 D．5
5．(2024·黑龙江哈尔滨一模)已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元(m≠n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为a1，a2，则( )
A．a1＝a2 B．a1
C．a1>a2 D．a1，a2的大小无法确定
6．(2025·河南洛阳模拟)某合作社需要分装一批蔬菜．已知这批蔬菜只有一名男社员分装时，需要12天完成，只有一名女社员分装时，需要18天完成．为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕．由于现有的男、女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装．已知分装这批蔬菜时会不可避免地造成一些损耗．根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克．则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量(千克)与女社员的平均损耗蔬菜量(千克)之和的最小值为( )
A．10 B．15
C．30 D．45
二、多项选择题
7．(2024·河北保定二模)已知a2＋4b2＋2ab＝1，则( )
A．ab的最大值为
B．a2＋4b2的最小值为
C．a2＋4b2的最大值为2
D．ab的最小值为－
8．已知正实数x，y满足2x＋y＝3，则( )
A．xy≤ B．4x＋2y≥4
C．x2＋
三、填空题
9．(2024·江西重点中学协作体一模)已知正数x，y满足x＋y＝6，若不等式a≤恒成立，则实数a的取值范围是________．
10．已知正实数x，y满足x＋y＝1，则x2＋y2的最小值为________；若≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．
四、解答题
11．某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm．当直角梯形的高为多少时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)
12．某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3 m，底面为24 m2，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的背面靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左、右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14 400元．设屋子的左、右两面墙的长度均为x m(3≤x≤6)．
(1)当左、右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；
(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元(a>0)，若无论左、右两面墙的长度为多少，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．
1/3课后作业(五)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．B [若a＋b≤2，取a＝，b＝，则a2＋b2＝>2，即a＋b≤2不能推出a2＋b2≤2，故充分性不成立；
若a2＋b2≤2，由基本不等式可知≤1，所以a＋b≤2，两个等号同时取到的条件是a＝b＝1，
所以由a2＋b2≤2可以推出a＋b≤2，所以必要性成立，所以“a＋b≤2”是“a2＋b2≤2”的必要不充分条件．故选B．]
2．B [依题意，80(1＋a)(1＋b)＝80(1＋x)2，而a>0，b>0，x>0，
因此1＋x＝＝1＋，当且仅当a＝b时取等号，
所以x≤．故选B．]
3．A [设天平左臂长为a，右臂长为b，且a≠b，则有50a＝xb，ya＝50b，即 x＝，y＝，
所以x＋y＝＝50≥50×2＝100，又因为a≠b，所以x＋y>100．故选A．]
4．B [由题意，得“ x∈，3x2－λx＋1≥0成立”是真命题，故当x∈时，3x＋≥λ恒成立，
由基本不等式，得3x＋≥2＝2，
当且仅当3x＝，即x＝∈时，等号成立，
故λ≤2．]
5．B [由题意得a1＝＝，a2＝＝，
因为m>0，n>0，m≠n，故><＝，即a16．B [设安排男社员x名，女社员y名，
根据题意，可得＝1，平均损耗蔬菜量之和为，
则＝＝≥2＝＝15，当且仅当＝，即x＝8，y＝6时等号成立，则分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量(千克)与女社员的平均损耗蔬菜量(千克)之和的最小值为15．
故选B．]
7．AC [对于A，由a2＋4b2≥4ab，得a2＋4b2＋2ab≥6ab，所以ab≤，
当且仅当a＝2b时取等号，故A正确；
对于B，由2ab＝a·2b≤，
得a2＋4b2＋2ab≤，
所以a2＋4b2≥，当且仅当a＝2b时取等号，故B错误；
对于C，由2ab＝a·2b≥－，
得a2＋4b2＋2ab≥，
所以a2＋4b2≤2，当且仅当a＝－2b时取等号，故C正确；
对于D，由a2＋4b2≥－4ab，得a2＋4b2＋2ab≥－2ab，
所以ab≥－，当且仅当a＝－2b时取等号，故D错误．
故选AC．]
8．ABD [因为2x＋y＝3，且x，y均为正实数，所以由基本不等式得2x＋y＝3≥2，即xy≤，4x＋2y≥2＝2＝4，当且仅当2x＝y时等号成立，A，B正确；
由不等式，得，所以4x2＋y2≥，即x2＋，当且仅当2x＝y时等号成立，C错误；
因为2x＋y＝3，所以＝(2x＋y)＝＋2＝，当且仅当y＝x时等号成立，D正确．故选ABD．]
9． [因为x＋y＝6，
所以t＝＝
＝x＋1＋－2＋y＋2＋－4＝3＋，
所以t＝3＋＝3＋
＝＋2＝4，当且仅当y＝4，x＝2时等号成立，
所以＝4，即a≤4，
故实数a的取值范围是．]
10． (－∞，9] [因为x＋y＝1，所以xy≤＝，
所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥1－×2＝，当且仅当x＝y＝时取等号，即x2＋y2的最小值为．
若a≤恒成立，则a≤，
因为＝(x＋y)＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时等号成立，所以的最小值为9，即a≤9，
故实数a的取值范围是(－∞，9]．]
11．[解] 设直角梯形的高为x cm，
∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm，
∴海报宽AD＝(x＋4)cm，海报长DC＝cm，
故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)＝8x＋＋1 472≥2＋1 472＝192＋1 472，
当且仅当8x＝，即x＝12时，等号成立．
∴当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少．
[B组 在综合中考查关键能力]
12．[解] (1)设甲工程队的总报价为y元，
则y＝3＋14 400＝1 800＋14 400≥1 800×2＋14 400＝28 800，当且仅当x＝，即x＝4时等号成立．
故当左、右两侧墙的长度为4 m时，甲工程队的报价最低为28 800元．
(2)由题意可得1 800＋14 400>，对任意的x∈[3，6]恒成立，故＞，从而>a恒成立，
令x＋1＝t，＝＝t＋＋6，t∈[4，7]．
令g(t)＝t＋＋6，则g(t)在t∈[4，7]上单调递增，故g(t)min＝12.25，又a＞0，故0＜a＜12.25．
所以a的取值范围为(0，12.25)．
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