课后作业(八) 函数的单调性与最值
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分
一、单项选择题
1．(2023北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．f (x)＝－ln x B．f (x)＝
C．f (x)＝－ D．f (x)＝3|x-1|
2．函数f (x)＝－x＋在上的最大值是( )
A． B．－
C．－2 D．2
3．(2025湖南长沙一中模拟)若函数f (x)＝4|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
4．(2025山东菏泽模拟)函数y＝的单调递增区间为( )
A．
B．
C．和(1，＋∞)
D．(－∞，－6)∪
5．(2025黑龙江大庆期末)已知函数f (x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，0)
C．(－3，－2] D．[－3，－2]
6．已知函数y＝f (x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是( )
A．y＝f (x)＋x是增函数
B．y＝f (x)＋x是减函数
C．y＝f (x)是增函数
D．y＝f (x)是减函数
二、多项选择题
7．已知函数f (x)＝x－(a≠0)，下列说法正确的是( )
A．当a＞0时，f (x)在定义域上单调递增
B．当a＝－4时，f (x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)
C．当a＝－4时，f (x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．当a＞0时，f (x)的值域为R
8．已知函数f (x)， x∈R，都有f (－2－x)＝f (x)成立，且任取x1，x2∈[－1，＋∞)，＜0(x1≠x2)，以下说法正确的是( )
A．f (0)＞f (－3)
B． x∈R，f (x)f (－1)
C．f (a2－a＋1)
D．若f (m)＜f (2)，则－4＜m＜2
三、填空题
9．若函数f (x)是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x－1)＜f 的x的取值范围是________．
10．已知函数f (x)＝则f (x)的最小值是________．
四、解答题
11．已知函数f (x)＝(a＞0)．
(1)当a＝2时，试判断x∈[1，＋∞)时f (x)的单调性，并证明；
(2)当x∈(0，1]时，f (x)单调递减；x∈[1，＋∞)时，f (x)单调递增，试求a的值及x∈(0，＋∞)时f (x)的最小值．
12．已知a，b∈R，记max{a，b}＝函数f (x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)．
(1)写出f (x)的解析式，并求出f (x)的最小值；
(2)若函数g(x)＝x2－kf (x)在(－∞，－1]上具有单调性，求实数k的取值范围．
13．已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋1，且当x>0时，f (x)>－1．
(1)求f (0)的值，并证明f (x)在R上是增函数；
(2)若f (1)＝1，解关于x的不等式f (x2＋2x)＋f (1－x)>4．
2/3课后作业(八)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．C [对于A，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，A选项错误；
对于B，y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝在(0，＋∞)上单调递减，B选项错误；
对于C，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，C选项正确；
对于D，f (x)＝3|x-1|在(0，＋∞)上不单调，D选项错误．故选C．]
2．A [函数f (x)＝－x＋在(－∞，0)上单调递减，则函数f (x)在上的最大值为f (－2)＝2－＝．故选A．]
3．B [因为函数f (x)＝4|x－a|＋3在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
又函数f (x)在区间[1，＋∞)上不单调，所以a>1．故选B．]
4．C [设t＝－x2－5x＋6，则有x≠－6且x≠1，
所以函数y＝的定义域为{x|x≠－6且x≠1}，
由二次函数的性质可知t的单调递增区间为(－∞，－6)，；单调递减区间为和(1，＋∞)；
又因为y＝在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，
由复合函数的单调性可知，函数y＝的单调递增区间为和(1，＋∞)．故选C．]
5．D [因为函数f (x)＝ 是R上的增函数，所以解得－3a－2．故选D．]
6．A [不妨令x1∵>－1 f (x1)－f (x2)<－(x1－x2) f (x1)＋x1令g(x)＝f (x)＋x，∴g(x1)又x17．BCD [当a＞0时，f (x)＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f (x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，当x→＋∞时，f (x)→＋∞，当x→0＋时，f (x)→－∞，故f (x)的值域为R，故A错误，D正确；当a＝－4时，f (x)＝x＋为对勾函数，其单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，故B正确；当x＞0时，x＋2＝4(当且仅当x＝2时取等号)，当x＜0时，x＋＝－－2＝－4(当且仅当x＝－2时取等号)，故f (x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)，故C正确．]
8．AB [由函数f (x)满足f (－2－x)＝f (x)，可知函数f (x)的图象关于直线x＝－1对称，又x1，x2∈[－1，＋∞)，＜0(x1≠x2)，则函数f (x)在[－1，＋∞)上单调递减．对于选项A，因为|－3－(－1)|＞|0－(－1)|，所以f (0)＞f (－3)，故A正确；对于选项B，由已知可得f (x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减，即f (x)max＝f (－1)，故B正确；对于选项C，a2－a＋1＝＋，又f (x)在[－1，＋∞)上单调递减，所以f (a2－a＋1)f ，故C错误；对于选项D，若f (m)＜f (2)，则|m－(－1)|＞|2－(－1)|，则m＜－4或m＞2，故D错误．故选AB．]
9． [因为f (x)是定义在[0，＋∞)上的增函数，由f (2x－1)＜f 可得02x－1＜，解得x＜．]
10．2－6 [因为函数y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以当x1时，f (x)min＝f (0)＝0．当x>1时，y＝x＋2，当且仅当x＝时，等号成立，此时f (x)min＝2－6．又2－6<0，所以f (x)min＝2－6．]
11．[解] (1)f (x)在[1，＋∞)上单调递增，证明如下：
a＝2时，f (x)＝x＋＋2，
x1时，f ′(x)＝1－＞0，
∴函数f (x)在[1，＋∞)上单调递增．
(2)∵f (x)＝x＋＋2，∴f ′(x)＝1－．
∵当x∈(0，1]时，f (x)单调递减；当x∈[1，＋∞)时，f (x)单调递增，∴f ′(1)＝1－＝0，∴a＝1．
∵f (x)＝x＋＋2在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴当x＝1时，f (x)取最小值4．
12．[解] (1)因为|x＋1|2－|x－2|2＝6x－3，
当x时，|x＋1|2－|x－2|2＝6x－30，
则f (x)＝max{|x＋1|，|x－2|}＝|x＋1|＝x＋1；
当x＜时，|x＋1|2－|x－2|2＝6x－3＜0，
则f (x)＝max{|x＋1|，|x－2|}＝|x－2|＝2－x．
所以f (x)＝故函数f (x)在上单调递减，在上单调递增，
所以函数f (x)的最小值为f ＝＋1＝．
(2)当x－1时，f (x)＝2－x，则g(x)＝x2－kf (x)＝x2＋kx－2k，因为函数g(x)在(－∞，－1]上具有单调性，且二次函数g(x)的图象开口向上，故函数g(x)在(－∞，－1]上只能单调递减，所以－－1，解得k2，因此，实数k的取值范围是(－∞，2]．
[B组 在综合中考查关键能力]
13．[解] (1)令x＝y＝0，得f (0)＝－1．
在R上任取x1，x2且x1>x2，则x1－x2>0，
所以f (x1－x2)>－1．
又f (x1)＝f ((x1－x2)＋x2)＝f (x1－x2)＋f (x2)＋1>f (x2)，所以函数f (x)在R上是增函数．
(2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5．
由f (x2＋2x)＋f (1－x)>4得f (x2＋x＋1)>f (3)，
因为函数f (x)在R上是增函数，
所以x2＋x＋1>3，
解得x<－2或x>1，
故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
点拨：抽象函数证明单调性，利用定义法．
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