课后作业(九) 函数的奇偶性、周期性
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共68分
一、单项选择题
1．(2024北京朝阳二模)下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是( )
A．f (x)＝sin x B．f (x)＝cos x
C．f (x)＝ D．f (x)＝x3
2．(2025辽宁实验中学模拟)已知函数f (x)＝(x＋a－2)(x2＋a－1)为奇函数，则f (a)的值是( )
A．0 B．－12
C．12 D．10
3．(2024重庆三模)已知f (x)是定义域为R的奇函数且满足f (x)＋f (2－x)＝0，则f (20)＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．±1
4．若f (x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且f (x)＋g(x)＝2x，则f (0)＋g(1)＝( )
A．1 B．2
C． D．
5．(2025江苏南通模拟)已知f (x)是定义域为R的奇函数，且f (x－2)是偶函数，当0x2时，f (x)＝x2－4x，则当6x8时，f (x)的解析式为( )
A．f (x)＝－x2－4x B．f (x)＝x2－16x＋60
C．f (x)＝x2－12x＋32 D．f (x)＝－x2＋12x－32
6．已知函数f (x)满足对于任意的实数x，都有f (x＋3)＝，且f (3)＝，则f (2 025)＝( )
A．－ B．
C．－1 D．1
二、多项选择题
7．(2025重庆模拟)函数f (x)＝，g(x)＝ln (－3x)，那么( )
A．f (x)＋g(x)是偶函数
B．f (x)g(x)是奇函数
C．是奇函数
D．g(f (x))是奇函数
8．(2025湖南长沙模拟)已知函数y＝f (x)是定义在R上的奇函数，且满足f (2＋x)＝f (2－x)，则下列说法正确的是( )
A．f (2 024)＝0
B．y＝f (x－2)是奇函数
C．f (4－x)＝－f (4＋x)
D．y＝f (x)是周期为4的周期函数
三、填空题
9．(2024广东佛山二模)已知定义在R上的偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递减，且f (1)＝2，则满足f (x)＋f (－x)>4的实数x的取值范围为________．
10．已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋6)＝f (x)，当－3x＜－1时，f (x)＝－(x＋2)2，当－1x＜3时，f (x)＝x，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 026)＝________．
11．(多选)已知定义域为R的函数f (x)满足： x，y∈R，f (x＋y)＋f (x－y)＝f (x)f (y)，且f (1)＝1，则下列结论正确的是( )
A．f (0)＝2 B．f (x)为偶函数
C．f (x)为奇函数 D．f (2)＝－1
12．(2025浙江绍兴模拟)若定义在R上的偶函数f (x)满足f (－1)＝f (x)＋f (x＋1)＝2，则f ＝_________，f (2 023)＋f (2 024)＋f (2 025)＝________．
13．已知函数f (x)＝ln (＋x)＋x，若f (2x－1)＋f (2－x)＞0，则x的取值范围是________．
1/2课后作业(九)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．D [f (x)＝sin x是奇函数，它在区间(k∈Z)上单调递增，在定义域内不是增函数，所以选项A是错误的；
f (x)＝cos x是偶函数，所以选项B是错误的；
f (x)＝既不是奇函数也不是偶函数，所以选项C是错误的；
f (x)＝x3满足既是奇函数又在其定义域上是增函数，所以选项D是正确的．故选D．]
2．D [显然函数f (x)＝(x＋a－2)(x2＋a－1)的定义域为R且关于原点对称，
因为函数f (x)＝(x＋a－2)(x2＋a－1)为奇函数，
所以f (0)＝0，即(a－2)(a－1)＝0，即a＝2或a＝1，
且当a＝2时，有f (x)＝x(x2＋1)，从而有f (－x)＝－x(x2＋1)＝－f (x)，
当a＝1时，有f (x)＝x2(x－1)，但f (－1)＝－2≠－f (1)＝0，
所以a＝2，即f (x)＝x(x2＋1)，所以f (a)＝f (2)＝2×(22＋1)＝10．故选D．]
3．B [由f (x)是定义域为R的奇函数，
则f (－x)＝－f (x)，且f (0)＝0，
又由f (x)满足f (x)＋f (2－x)＝0，
即f (2－x)＝－f (x)，
则有f (2－x)＝f (－x)，可得f (x＋2)＝f (x)，
即函数f (x)是周期为2的周期函数，
故f (20)＝f (0)＝0．故选B．]
4．D [f (x)＋g(x)＝2x，①
则f (－x)＋g(－x)＝2－x，
又f (x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，
∴－f (x)＋g(x)＝2－x，②
①②两式相加除以2得g(x)＝，
①②两式相减除以2得f (x)＝，
∴f (0)＝0，g(1)＝＝，
∴f (0)＋g(1)＝．]
5．D [因为f (x)是定义在R上的奇函数，f (x－2)为偶函数，所以f (－x)＝－f (x)，f (－x－2)＝f (x－2)，
即f (－x)＝f (x－4)，所以f (x－4)＝－f (x)，
所以f (x＋4)＝－f (x)，可得f (x＋8)＝－f (x＋4)＝f (x)，
所以f (x)的周期为8，
又当0x2时，f (x)＝x2－4x，
当6x8时，则08－x2，所以f (8－x)＝(8－x)2－4(8－x)＝x2－12x＋32，
又由f (x)是周期为8的奇函数，
则f (x)＝f (x－8)＝－f (8－x)＝－(x2－12x＋32)＝－x2＋12x－32，
故f (x)＝－x2＋12x－32，x∈[6，8]．故选D．]
6．B [由f (x＋3)＝得f (x)的周期T＝6，f (2 025)＝f (337×6＋3)＝f (3)＝．故选B．]
7．BC [因为f (－x)＝＝f (x)，所以f (x)＝为偶函数，因为g(－x)＋g(x)＝ln (＋3x)＋ln (－3x)
＝ln [(＋3x)(－3x)]＝ln 1＝0，
即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)＝ln (－3x)为奇函数，所以f (x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
f (－x)g(－x)＝－[f (x)g(x)]，所以f (x)g(x)为奇函数，B正确；
＝＝－，所以是奇函数，C正确；
令H(x)＝g(f (x))，H(－x)＝g(f (－x))＝g(f (x))＝H(x)，H(x)为偶函数，D错误．故选BC．]
8．AC [由函数y＝f (x)是定义在R上的奇函数，得f (－x)＝－f (x)且f (0)＝0．
由f (2＋x)＝f (2－x)，得f (4＋x)＝f (－x)＝－f (x)，即f (8＋x)＝f (x)，于是函数y＝f (x)的周期为8．
对于A，f (2 024)＝f (8×253)＝f (0)＝0，故A正确；
对于B，因为f (－x－2)＝－f (x＋2)＝－f (2－x)＝f (x－2)，f (x－2)的定义域是全体实数，
所以y＝f (x－2)是偶函数，故B错误；
对于C，f (4－x)＝－f (x－4)＝－f ((x＋4)－8)＝－f (x＋4)，故C正确；对于D，y＝f (x)是周期为8的周期函数，故D错误．故选AC．]
9．(－1，1) [由f (x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，故f (x)在(－∞，0)上单调递增，
又f (1)＝2，故当f (x)>2，可得x∈(－1，1)，
又f (－x)＝f (x)，故f (x)＋f (－x)>4等价于f (x)>2，
故x的取值范围为(－1，1)．]
10．339 [因为f (x＋6)＝f (x)，所以f (x)的周期T＝6，于是f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f (4)＝f (－2)＝－(－2＋2)2＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝1，而2 026＝6×337＋4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 026)＝337×1＋1＋2－1＋0＝339．]
[B组 在综合中考查关键能力]
11．ABD [因为 x，y∈R，f (x＋y)＋f (x－y)＝f (x)f (y)，
取x＝1，y＝0可得f (1)＋f (1)＝f (1)f (0)，
又f (1)＝1，所以f (0)＝2，A正确；
取x＝0，y＝x可得f (x)＋f (－x)＝f (0)f (x)，
因为f (0)＝2，所以f (－x)＝f (x)，
所以f (x)为偶函数，C错误，B正确；
取x＝1，y＝1可得f (2)＋f (0)＝f (1)f (1)，
又f (1)＝1，f (0)＝2，所以f (2)＝－1，D正确．]
12．1 4 [在f (x)＋f (x＋1)＝2中令x＝－得f ＋f ＝2，
又f (x)为偶函数，所以2f ＝2，所以f ＝1．
由f (x)＋f (x＋1)＝2得f (x＋1)＋f (x＋2)＝2，所以f (x)＝f (x＋2)，所以f (x)的周期为2，
因为f (x)为偶函数，所以f (－1)＝f (1)＝2，
在f (x)＋f (x＋1)＝2中令x＝0得f (0)＋f (1)＝2，
所以f (0)＝0，
所以f (2 023)＋f (2 024)＋f (2 025)＝f (1)＋f (0)＋f (1)＝4．]
13．(－1，＋∞) [因为函数f (x)＝ln (＋x)＋x的定义域为R，且f (－x)＋f (x)＝ln (－x)－x＋ln (＋x)＋x
＝ln [(－x)(＋x)]＝ln (x2＋1－x2)＝ln 1＝0，
所以f (－x)＝－f (x)，即f (x)为奇函数，
当x＞0时，y＝＋x，y＝ln x，y＝x均单调递增，所以f (x)＝ln (＋x)＋x在(0，＋∞)上单调递增，则f (x)在(－∞，0)上单调递增，
所以f (x)是奇函数且在R上单调递增，
由f (2x－1)＋f (2－x)＞0，得f (2x－1)＞f (x－2)，
所以2x－1＞x－2，解得x＞－1，
即x的取值范围为(－1，＋∞)．]
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