课后作业(十)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．B [∵f (2－x)＝f (2＋x)，∴f (x)的图象关于直线x＝2对称，故－＝2，∴a＝－4．故选B．]
2．A [因为函数f (x)＝为奇函数，所以函数f (x)的图象关于原点(0，0)对称，
又y＝f (x－1)＋1的图象是由f (x)＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，
所以函数y＝f (x－1)＋1的图象关于点(1，1)对称．故选A．]
3．A [由已知可得，f (2－x)＝22-x＋＝＋4＝＋2x＝f (x)，所以f (x)的图象关于直线x＝1对称，故A项正确；
因为f (2－x)＝2x＋，则f (2－x)≠－f (x)，故B项错误；
f (－x)＝2－x＋＝42x＋，则f (－x)≠f (x)，故C项错误；
因为f (－x)＝42x＋，则f (－x)≠－f (x)，故D项错误．]
4．C [∵f (x)的图象关于点(1，0)对称，
∴f (0)＋f (2)＝0，即＋＝0，
解得a＝1，∴f (x)＝，
经检验知f (x)的图象关于点(1，0)对称．故选C．]
5．D [由复合函数的对称性知函数y＝－f (x＋4)与y＝f (6－x)的图象关于点，即点(1，0)对称．故选D．]
6．A [函数f 的图象关于直线x＝3对称，则必有f (3－x)＝f (x＋3)，所以f (0)＝f (6)，
f (1)＝f (5)，f (2)＝f (4)，又因为f 满足f ＝2－f ，取x＝1，所以f (1)＝2－f (1)，f (1)＝1，则f (1)＝f (5)＝1，取x＝5，则f (－3)＝2－f (5)＝1，故选A．]
7．BD [对于A，对x∈R，有f (x＋1)＝f (x－1)，
令x＋1替换x，得f (x＋2)＝f (x)，可得函数f (x)是周期为2的周期函数，
则y＝f (x)的图象对称性不确定，即A错误；
对于B，∵f (x)是奇函数，∴f (x)的图象关于原点对称，
而y＝f (x－1)的图象是将y＝f (x)的图象向右平移1个单位长度得到，
∴y＝f (x－1)的图象关于点A(1，0)对称，故B正确；
对于C，函数y＝f (1＋x)是由y＝f (x)的图象向左平移1个单位长度得到；
函数y＝f (1－x)的图象是由y＝f (－x)的图象向右平移1个单位长度得到，
而y＝f (x)与y＝f (－x)的图象关于y轴对称，
所以函数y＝f (1＋x)与函数y＝f (1－x)的图象关于y轴对称，故C错误；
对于D，若函数f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，
则将其向左平移1个单位长度得到f (x)的图象，则对称轴也向左平移1个单位长度，
则f (x)的图象关于y轴对称，即f (x)为偶函数，故D正确．
故选BD．]
8．BC [因为f (x)的定义域为R，且f (x＋2)＋f (x)＝0，所以f (x＋2)＝－f (x)，所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，函数f (x)的周期为4，A错误；
因为函数y＝f (2－x)是偶函数，所以f (2－x)＝f (2＋x)，函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，
且f (2－x)＝－f (x)，即f (2－x)＋f (x)＝0，函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，B正确；
由f (2－x)＝f (2＋x)，得f (－x)＝f (4＋x)＝f (x)，则函数f (x)为偶函数，C正确；
由f (x＋2)＋f (x)＝0，得f (x＋3)＋f (1＋x)＝0，由f (2－x)＝f (2＋x)，得f (3－x)＝f (1＋x)，
因此f (x＋3)＋f (3－x)＝0，函数f (x)的图象关于点(3，0)对称，D错误．故选BC．]
9．(答案不唯一) [函数f (x)＝的图象关于点(2，0)对称，满足要求．]
10．8 090 [∵f (x)＝－x3＋3x2，
则a＝－1，b＝3，∴－＝1，f (1)＝2，
即函数y＝f (x)的图象的对称中心为(1，2)，
则f (x)＋f (2－x)＝4，故f ＋f ＋f ＋…＋f ＋f
＝＋＋…＋＋f ＝4×2 022＋2＝8 090．]
[B组 在综合中考查关键能力]
11．ACD [∵f (2＋x)＝f (2－x)，∴f (x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；
∵函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，∴f (－x)＝f (x＋4)，又f (－x)＝f (x)，∴f (x＋4)＝f (x)，∴函数f (x)的周期为4，故C正确；
∵f (x)的周期为4且为偶函数，∴y＝f (x＋4)为偶函数，故D正确．]
12．[解] (1)证明：因为f (x)＝，所以f (1－x)＝＝＝，
所以f (x)＋f (1－x)＝1，即函数f (x)的图象关于点对称．
(2)由(1)知f (x)＋f (1－x)＝1，
因为S＝f (－2 022)＋f (－2 021)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 022)＋f (2 023)，
则S＝f (2 023)＋f (2 022)＋…＋f (1)＋f (0)＋…＋f (－2 021)＋f (－2 022)，
所以2S＝4 046，即S＝2 023．
13．[解] (1)因为φ(x)＝(x－1)2－1＋a[ex-1＋e－(x-1)]，
所以φ(1＋x)＝x2－1＋a(ex＋e－x)，
令h(x)＝φ(x＋1)，则该函数的定义域为R，
h(－x)＝(－x)2－1＋a(e－x＋ex)＝x2－1＋a(e－x＋ex)＝h(x)，
所以，函数h(x)＝φ(x＋1)为偶函数，
因此，函数φ(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)图象的对称轴方程为x＝1．
(2)①因为函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x1时，g(x)＝x2－，
当x<1时，2－x>1，则g(x)＝g(2－x)＝(2－x)2－＝(x－2)2＋，
所以，g(x)＝
②当x1时，g(x)＝x2－，因为函数y＝x2，y＝－在[1，＋∞)上单调递增，
所以，函数g(x)＝x2－在[1，＋∞)上单调递增，
因为g(x)>g(3x－1)，则|x－1|>|3x－2|，
不等式两边平方可得(3x－2)2<(x－1)2，即(2x－1)(4x－3)<0，解得因此，不等式g(x)>g(3x－1)的解集为．
4/4课后作业(十) 函数的对称性
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共86分
一、单项选择题
1．已知函数f (x)＝x2＋ax对定义域内任意的x都有f (2－x)＝f (2＋x)，则实数a等于( )
A．4 B．－4 C． D．－
2．(2024四川南充二模)已知函数f (x)＝，则函数y＝f (x－1)＋1的图象( )
A．关于点(1，1)对称 B．关于点(－1，1)对称
C．关于点(－1，0)对称 D．关于点(1，0)对称
3．已知函数f (x)＝2x＋(x∈R)，则f (x)的图象( )
A．关于直线x＝1对称
B．关于点(1，0)对称
C．关于直线x＝0对称
D．关于原点对称
4．若函数f (x)＝的图象关于点(1，0)对称，则a＝( )
A．0 B．－1
C．1 D．2
5．函数y＝f (x)是定义在R上的函数，那么y＝－f (x＋4)与y＝f (6－x)的图象( )
A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称
C．关于点(5，0)对称 D．关于点(1，0)对称
6．(2025福建福州模拟)定义在R上的函数f 满足f ＝2－f ．若f 的图象关于直线x＝3对称，则下列选项中一定成立的是( )
A．f ＝1 B．f ＝0
C．f ＝2 D．f ＝－1
二、多项选择题
7．(2025黑龙江鸡西模拟)对于定义在R上的函数f (x)，下述结论正确的是( )
A．若f (x＋1)＝f (x－1)，则f (x)的图象关于直线x＝1对称
B．若f (x)是奇函数，则f (x－1)的图象关于点A(1，0)对称
C．函数y＝f (1＋x)与函数y＝f (1－x)的图象关于直线x＝1对称
D．若函数f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f (x)为偶函数
8．(2025湖南师大附中模拟)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＋f (x)＝0，且y＝f (2－x)为偶函数，则下列说法一定正确的是( )
A．函数f (x)的周期为2
B．函数f (x)的图象关于点(1，0)对称
C．函数f (x)为偶函数
D．函数f (x)的图象关于直线x＝3对称
三、填空题
9．(2024广东大联考)写出一个满足“图象关于点(2，0)对称”的函数f (x)＝________．
10．已知所有的三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象都有对称中心，，若函数f (x)＝－x3＋3x2，则f ＋f ＋f ＋…＋f ＝________．
11．(多选)(2025河北承德模拟)已知函数f (x)的定义域为R，对任意x都有f (2＋x)＝f (2－x)，且f (－x)＝f (x)，则下列结论正确的是( )
A．f (x)的图象关于直线x＝2对称
B．f (x)的图象关于点(2，0)对称
C．f (x)的周期为4
D．y＝f (x＋4)为偶函数
12．已知函数f (x)＝．
(1)求证：函数f (x)的图象关于点对称；
(2)求S＝f (－2 022)＋f (－2 021)＋…＋f (0)＋…＋f (2 022)＋f (2 023)的值．
13．(2024湖南长沙期中)我们知道函数y＝f (x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f (x)的图象关于x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)为偶函数．
(1)已知函数φ(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)，求该函数图象的对称轴方程；
(2)若函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x1时，g(x)＝x2－．
①求g(x)的解析式；
②求不等式g(x)>g(3x－1)的解集．
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