课后作业(十二) 指数与指数函数
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分
一、单项选择题
1．(2024广西河池期末)已知指数函数f (x)＝(a－1)bx的图象经过点，则＝( )
A．
C．2 D．4
2．(2025广东广州模拟)函数f (x)＝的单调递增区间是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－2)
C．(4，＋∞) D．(1，＋∞)
3．函数y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为，则函数y＝3a2x-1在[0，1]上的最大值为( )
A．16 B．15
C．12 D．
4．(2024黑龙江大庆二模)已知a>0且a≠1，若函数f (x)＝为偶函数，则实数a＝( )
A．3 B．9
C． D．
5．(2025河南郑州模拟)若a，b∈R，则“a>b”是“3a－3b>2b－2a”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．(2023全国甲卷)已知函数f (x)＝．记a＝f ，b＝f ，c＝f ，则( )
A．b>c>a B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
二、多项选择题
7．已知函数y＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则以下结论正确的是( )
A．ab>1 B．ln (a＋b)>0
C．2b－a<1 D．ba>1
8．若f (x)＝(x∈R)，其中e为自然对数的底数，则下列命题正确的是( )
A．f (x)在(0，＋∞)上单调递增
B．f (x)在(0，＋∞)上单调递减
C．f (x)的图象关于直线x＝0对称
D．f (x)的图象关于点(0，0)中心对称
三、填空题
9．(2024北京房山一模)若对任意m，n∈R，函数f (x)满足f (m)f (n)＝f (m＋n)，且当m>n时，都有f (m)10．(人教A版必修第一册P120习题4.2T9改编)已知函数f ＝a＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，则f ＝________．
四、解答题
11．已知函数f (x)＝bax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．
(1)求f (x)的解析式；
(2)若不等式＋－m0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
12．已知定义域为R的函数f (x)＝ax－(k－1)a－x(a＞0且a≠1)是奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若f (1)＜0，判断函数f (x)的单调性，若f (m2－2)＋f (m)＞0，求实数m的取值范围．
13．定义在D上的函数f (x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f (x)|M成立，则称f (x)是D上的有界函数，其中M称为函数f (x)的上界，已知函数f (x)＝＋＋1．
(1)当a＝－1时，求函数f (x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f (x)在(－∞，0)上是不是有界函数，请说明理由；
(2)若函数f (x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
3/3课后作业(十二)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．A [由指数函数f (x)＝(a－1)bx的图象经过点，得解得a＝b＝2，
所以＝＝．故选A．]
2．A [函数f (x)＝的定义域为R，函数u＝x2－2x－8在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
而函数y＝在R上单调递减，因此函数f (x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以函数f (x)＝的单调递增区间是(－∞，1)．
故选A．]
3．C [∵函数y＝ax在定义域上是单调函数，且y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为，∴1＋a＝，解得a＝，∴函数y＝3a2x-1＝3＝12，∵函数y＝在定义域上为减函数，∴y＝3a2x-1在[0，1]上的最大值为x＝0对应的函数值12．故选C．]
4．B [已知a>0且a≠1，若函数f (x)＝为偶函数，则有f (－x) ＝f (x)，
即＝，化简得＝3x，所以a＝9．故选B．]
5．C [构造函数f (x)＝3x＋2x，则f (x)在R上单调递增，所以3a－3b>2b－2a 3a＋2a>3b＋2b f (a)>f (b) a>b．
故选C．]
6．A [函数f (x)＝是由函数y＝eu和u＝复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f (x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f (x)的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f ＝f ，又<2－<<1，所以f c>a．故选A．]
7．ABC [根据函数y＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象，
知函数y＝ax－b是增函数，所以a>1．
又x＝0时，y＝1－b，所以0<1－b<1，解得0所以y＝ax是增函数，ab>a0＝1，A正确．
由a＋b>1，得ln (a＋b)>0，B正确．
由b－a<0，得2b－a<20＝1，C正确．
由y＝bx是减函数，得ba故选ABC．]
8．BC [因为y＝1－x2在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，y＝ex在定义域R上单调递增，
所以f (x)＝在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故A错误，B正确；
又f (－x)＝＝＝f (x)，所以f (x)＝(x∈R)为偶函数，函数图象关于y轴对称，即关于直线x＝0对称，故C正确，D错误．故选BC．]
9．f (x)＝(答案不唯一) [由题意，可取f (x)＝，
函数f (x)＝是减函数，满足m>n时，都有f (m)因为f (m)f (n)＝＝＝f (m＋n)，
所以函数f (x)＝满足题意．]
10． [因为f 的图象过原点，所以f ＝a＋b＝0，即a＋b＝0．又因为f 的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1，a＝－1，所以f ＝＋1，
所以f ＝－＋1＝．]
11．[解] (1)因为f (x)的图象过点A(1，6)，B(3，24)，
所以
所以a2＝4．
又a>0，所以a＝2，b＝3．所以f (x)＝32x．
(2)由(1)知a＝2，b＝3，
则当x∈(－∞，1]时，＋－m0恒成立，
即m＋在(－∞，1]上恒成立．
又因为y＝与y＝在(－∞，1]上均单调递减，所以y＝＋在(－∞，1]上也单调递减，所以当x＝1时，y＝＋有最小值，所以m，即m的取值范围是．
12．[解] (1)∵f (x)是定义域为R的奇函数，
∴f (0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，
∴k＝2，
经检验k＝2符合题意，所以k＝2．
(2)由(1)知，f (x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)，
∵f (1)＜0，即a－＜0，
又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，
而y＝ax在R上单调递减，y＝－a－x在R上单调递减，
故由单调性的性质可判断f (x)＝ax－a－x在R上单调递减，
不等式f (m2－2)＋f (m)＞0可化为f (m2－2)＞f (－m)，
∴m2－2＜－m，即m2＋m－2＜0，解得－2＜m＜1，
∴实数m的取值范围是(－2，1)．
[B组 在综合中考查关键能力]
13．[解] (1)设y＝f (x)＝＋＋1．
当a＝－1时，y＝f (x)＝－＋1(x＜0)，
令t＝，x＜0，则t＞1，
则y＝t2－t＋1＝＋，
∴y＞1，即函数f (x)在(－∞，0)上的值域为(1，＋∞)，
∴不存在常数M＞0，使得|f (x)|M成立，
∴函数f (x)在(－∞，0)上不是有界函数．
(2)由题意知，|f (x)|3对任意x∈[0，＋∞)恒成立，
即－3f (x)3对任意x∈[0，＋∞)恒成立，
令t＝，x0，则t∈(0，1]．
∴－a－t对任意t∈(0，1]恒成立，
∴a．
设h(t)＝－，p(t)＝－t，t∈(0，1]，
∵h(t)在(0，1]上单调递增，p(t)在(0，1]上单调递减，
∴h(t)在(0，1]上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在(0，1]上的最小值为p(1)＝1．
∴实数a的取值范围为[－5，1]．
4/4
