课后作业(十三)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．A [∵xlog34＝1，∴log34x＝1，∴4x＝3，
∴4x＋4－x＝3＋3-1＝.故选A.]
2．C [根据函数f (x)＝loga(x＋b)的图象，可得0
3．C [a＝＝0.4，
b＝log0.420＝log0.311，
故c>a>b.
故选C.]
4．A [f (－1＝－1＝－1＝－，
因为f (x)为R上的奇函数，所以f (－)＝.
故选A.]
5．C [因为函数f (x)＝logax(a>0，a≠1)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，所以g(x)＝ax(a>0，a≠1)，
因为g(－1)＝，所以＝a-1，解得a＝3.
所以y＝loga(x2－2x)＝log3(x2－2x)，
由x2－2x>0，可得y＝log3(x2－2x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，
令t＝x2－2x，则t＝x2－2x在(－∞，0)上单调递减，
而y＝log3t在定义域上单调递增，
由复合函数的单调性可知，y＝log3(x2－2x)在(－∞，0)上单调递减．故选C.]
6．A [令M＝x2＋x，故x∈时，M∈(1，＋∞)，恒有f (x)＞0，所以a＞1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝－，所以M的单调递增区间为.又x2＋x＞0，所以x＞0或x＜－，所以函数f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)．故选A.]
7．ACD [对于A，由>0得x<－1或x>3，故定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，A正确；
对于B，因为定义域不关于原点对称，故f (x)不是偶函数，B错误；
对于C，因为f (1－x)＋f (1＋x)＝log3＋log3
＝log3＋log3＝log3＝log31＝0，
所以f (x)的图象关于点(1，0)对称，C正确；
对于D，f (x)＝log3＝log3，
因为函数t＝1－在区间(3，＋∞)上单调递增，且y＝log3t在(0，＋∞)上单调递增，
所以f (x)在(3，＋∞)上单调递增，D正确．故选ACD.]
8．ABD [因为2x＝3，3y＝4，4z＝5，
所以x＝log23，y＝log34，z＝log45，
对于A，因为43<34，则log343所以y＝log34<，故A正确；
对于B, xyz＝log23·log34·log45＝log25>log24＝2，故B正确；
对于C，y－z＝log34－log45＝＝，
因为0所以lg 3lg 5<＝，
又(lg 4)2＝＝>，
所以(lg 4)2－lg 3lg 5>0，即y－z>0，所以y>z，故C错误；
对于D，因为x＝log23>1，y＝log34>1，
所以x＋y＝log23＋log34>2＝2＝2，故D正确．故选ABD.]
9． [因为logab＋4logba＝4，
所以logab＋＝4，可得 (logab)2－4logab＋4＝0，
即(logab－2)2＝0，所以logab＝2，即a2＝b，
所以＝＝.]
10． [由2(log2x)2－5log2x＋2≤0，
解得≤log2x≤2，
f (x)＝log2·log2＝(log2x－1)(log2x－2)＝－，
当log2x＝时，f (x)取得最大值.]
11．[解] (1)当a＝2时，f (x)＝，
令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9，
＝－2，
∴f (x)的值域为(－∞，－2].
(2)令u＝x2－ax＋5a，
∵y＝为减函数，f (x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴u＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增，
∴解得－≤a≤2，
∴a的取值范围是.
12．[解] (1)因为f (x)的定义域为(0，＋∞)，则
f (x)＝log2·2log2＝(log2x－2)(log2x－4)＝(log2x)2－6log2x＋8，
设log2x＝t(t∈R)，则不等式可化为t2－6t＋8>3，
即t2－6t＋5>0，
解得t<1或t>5，即log2x<1或log2x>5，
解得032.
所以不等式的解集为{x|032}．
(2)因为f (2x)－a·log2x＋1≥0，
所以(log2x－1)·(log2x－3)－alog2x＋1≥0，
设log2x＝t，则t∈[1，2]，
原问题化为：存在t∈[1，2]，t2－4t＋4－at≥0.
即a≤t＋－4在t∈[1，2]上有解．
因为y＝t＋－4在[1，2]上单调递减，
所以＝1，所以a≤1.
即实数a的取值范围是(－∞，1].
[B组 在综合中考查关键能力]
13．[解] (1)当a＝1时，f (x)＝2lg (10x＋1)－x，
函数f (x)为偶函数，证明如下：
∵f (－x)＝2lg (10－x＋1)－(－x)＝2lg ＋x＝2lg (1＋10x)－2lg (10x)＋x＝2lg (10x＋1)－x＝f (x)，
又函数的定义域为R，∴函数f (x)为偶函数．
(2)假设存在直线x＝x0，使得函数f (x)的图象关于直线x＝x0对称，则f (x0＋x)＝f (x0－x)，
∴2lg (＋a)－(x0＋x)＝2lg (＋a)－(x0－x)，
即lg (＋a)－lg (＋a)＝x，
即lg ＝x，∴＝10x，
即＋a＝10x(＋a)＝＋a·10x，
)＝0，
＝0，即a＝，
∵a>0且a≠1，
∴x0＝lg a，
故存在x0＝lg a，使得函数f (x)的图象关于直线x＝x0对称．
1/4课后作业(十三) 对数与对数函数
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分
一、单项选择题
1．若xlog34＝1，则4x＋4－x的值为( )
A． B．3 C．4 D．
2．若函数f (x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的大致图象如图所示，则函数g(x)＝a－x－b的大致图象是( )
A B
C D
3．(2024·天津滨海新区三模)已知a＝，b＝log0.42，c＝，则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
4．(2024·江苏宿迁三模)已知函数f (x)为R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝log2x－1，则f (－)＝( )
A． B．－ C． D．－
5．(2024·辽宁丹东期末)已知函数f (x)＝logax(a>0，a≠1)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，且g(－1)＝，则函数y＝loga(x2－2x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0) D．(2，＋∞)
6．若函数f (x)＝loga在区间内恒有f (x)＞0，则f (x)的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．
二、多项选择题
7．(2025·河南郑州模拟)关于函数f (x)＝log3，下列结论正确的是( )
A．定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B．f (x)是偶函数
C．f (x)的图象关于点(1，0)对称
D．f (x)在(3，＋∞)上单调递增
8．(2025·湖北重点高中联考)已知实数x，y，z满足2x＝3，3y＝4，4z＝5，则下列结论正确的是( )
A．y< B．xyz>2
C．y2
三、填空题
9．(2024·河南郑州三模)已知logab＋4logba＝4，则的值为________．
10．(2025·安徽宣城模拟)已知实数x满足不等式2(log2x)2－5log2x＋2≤0，则函数f (x)＝log2·log2的最大值是________．
四、解答题
11．已知f (x)＝.
(1)若a＝2，求f (x)的值域；
(2)若f (x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
12．(2025·江苏盐城模拟)已知函数f (x)＝log4.
(1)解关于x的不等式f (x)>3；
(2)若存在x∈[2，4]，使得不等式f (2x)－a·log2x＋1≥0成立，求实数a的取值范围．
13．已知函数f (x)＝2lg (10x＋a)－x，a∈R.
(1)当a＝1时，判断函数f (x)的奇偶性并证明；
(2)给定实数a>0且a≠1，问是否存在直线x＝x0，使得函数f (x)的图象关于直线x＝x0对称？若存在，求出x0的值(用a表示)；若不存在，请说明理由．
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