课后作业(十七)
A组 在基础中考查学科功底
1．C [由直线l：y＝x＋1与曲线y＝f (x)切于点A(2，3)，知f ′(2)＝1．
由导数的定义知，limΔx→0＝f ′(2)＝1．故选C．]
2．A [f ′(x)＝，所以f ′(0)＝3，所以曲线y＝f (x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝，故选A．]
3．D [因为f (x)＝，g(x)＝ex－a－b，
则f ′(x)＝，g′(x)＝ex－a，
可得f (1)＝0，g(1)＝e1-a－b，f ′(1)＝1，g′(1)＝e1-a，
因为f (x)，g(x)的图象在x＝1处有相同的切线，
即切点为(1，0)，切线斜率k＝1，
所以解得所以a＋b＝2．故选D．]
4．D [设过点P(m，0)的直线与曲线f (x)＝切于点Q，
由f (x)＝，可得f ′(x)＝－，所以切线PQ的斜率k＝－＝，
整理得t2＋(1－m)t＋1＝0，
因为切线有2条，所以切点有2个，即方程t2＋(1－m)t＋1＝0有2个不等实根，
则Δ＝(1－m)2－4>0，解得m>3或m<－1，
所以m的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．故选D．]
5．D [设P点坐标为(x0，y0)，
由f (x)＝ex－x，x∈R，得
f ′(x)＝ex－，
则以P为切点的切线斜率为－>－，
令切线倾斜角为θ，θ∈[0，π)，则tan θ>－，
则θ∈．故选D．]
6．B [f ′(x)＝2x，而x0＝2，则f ′(x0)＝4，又f (x0)＝2，所以函数f (x)的图象在横坐标为x0＝2的点处的切线方程为y－2＝4(x－2)，
令y＝0，得x1＝，则f ′(x1)＝3，f (x1)＝－2＝，
因此函数f (x)的图象在横坐标为x1＝的点处的切线方程为y－＝3，令y＝0，得x2＝≈1.417，所以x2约为1.417．故选B．]
7．AC [若f (x)＝x2，则f ′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f (x)＝e－x，则f ′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f (x)＝ln x，则f ′(x)＝，令ln x＝，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝的图象(图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f (x)＝f ′(x)有解，故C符合要求；若f (x)＝tan x，则f ′(x)＝′＝，令tanx＝，化简得sinx cos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求．故选AC．]
8．ACD [对于A，设切点为(m，ln m－1)，
则k＝f ′(m)＝＝，
∴ln m－1＝·m，∴ln m＝2，
∴m＝e2，k＝．
∴过原点的切线方程为y＝，故A正确；
对于B，由反函数的概念可得y＋1＝ln x ey+1＝x，故与f (x)关于y＝x对称的函数为y＝ex+1，故B错误；
对于C，若过点(a，b)有2条直线与f (x)相切，则点(a，b)在f (x)上方，如图所示，
即b＞f (a)，即b＞ln a－1，故C正确；
对于D，由于 x＞0，设g(x)＝x－ln x－1 g′(x)＝，
令g′(x)＞0 x＞1，令g′(x)＜0 0＜x＜1，
∴g(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，
∴g(x)≥g(1)＝0 ln x≤x－1 f (x)≤x－2，
故D正确．故选ACD．]
9．26 [设直线x＋y＋m＝0与曲线y＝x3＋nx－52切于点(a，－a－m)，与曲线y＝x2－3ln x切于点(b，－b－m)．
对于函数y＝x2－3ln x，y′＝2x－，
则2b－＝－1，
解得b＝1或b＝－(舍去)．
所以1－3ln 1＝－1－m，即m＝－2．
对于函数y＝x3＋nx－52，
y′＝3x2＋n，
则3a2＋n＝－1，a3－(3a2＋1)a－52＝－a＋2，整理得a3＝－27，则a＝－3，
所以n＝－3a2－1＝－28，
故m－n＝26．]
10．0 [因为f (x)＝ln x－cos (x－1)，
所以f ′(x)＝＋sin (x－1)，g′(x)＝－＋cos (x－1)，
则f ′(1)＝＋sin 0＝1，g′(1)＝－＋cos 0＝0，
所以曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的曲率为K＝＝0．]
11．解：(1)由y＝x3＋ax，得y′＝3x2＋a，由y＝x2＋bx＋c，得y′＝2x＋b，
又两曲线都经过点P(1，2)，且在点P处有公切线，
∴解得a＝1，b＝2，c＝－1．
(2)由y＝x2＋2x－1，得y′＝2x＋2，
则y′|x＝1＝4，
∴y＝x2＋2x－1在点P(1，2)处的切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0．
则两曲线的公切线方程为4x－y－2＝0，取y＝0，得x＝，取x＝0，得y＝－2．
∴公切线与坐标轴围成的三角形的面积S＝×2＝．
(3)由y＝ln (bx－1)＝ln (2x－1)，得y′＝，由＝2，得x＝1．
∴y＝ln (2×1－1)＝0，即M(1，0)，点M到直线2x－y＋3＝0的最短距离为＝．
12．解：f ′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得
解得b＝0，a＝－3或1．
(2)因为曲线y＝f (x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，
即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－．
所以a的取值范围为∪．
B组 在综合中考查关键能力
13．B [两个函数求导分别为y′＝，y′＝2x＋2a，
设y＝ln x，y＝x2＋2ax的图象上的切点分别为＋2ax2)，x1＞0，
则过这两点的切线方程分别为y＝x＋ln x1－1，y＝，
则＝2x2＋2a，ln x1－1＝，所以2a＝－2x2，
设f (x)＝ex2－1－2x，f ′(x)＝2(xex2－1－1)，f ′(1)＝0，
令g(x)＝f ′(x)＝2(xex2－1－1)，所以g′(x)＝2(2x2＋1)ex2－1>0，
所以g(x)在R上单调递增，且f ′(1)＝0，
则f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以2a≥f (1)＝－1，即a≥－．故选B．]
14．(0，1) [当x＜0时，f (x)＝1－ex，f ′(x)＝－ex，
f (x)在点)处的切线斜率为k1＝，
当x＞0时，f (x)＝ex－1，f ′(x)＝ex，f (x)在点－1)处的切线斜率为k2＝，
由f (x)的图象在A，B两点处的切线互相垂直 k1k2＝＝－1，
∴x1＋x2＝0，x1＜0，x2＞0，
∴＝＝＝∈(0，1)，故的取值范围是(0，1)．]
15．1 e2 [由极限的定义知，①＝1；②＝e，
因为＝，令t＝2x，可得＝，
则＝＝1；
又因为＝，令t＝sin 2x，可得＝，
所以＝＝]2＝e2．]
1/1课后作业(十七) 导数的概念及运算
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分
一、单项选择题
1．已知直线l：y＝x＋1，且与曲线y＝f (x)切于点A(2，3)，则的值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
2．(2024·全国甲卷)设函数f (x)＝，则曲线y＝f (x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A．
C．
3．(2025·安徽合肥模拟)若函数f (x)＝与g(x)＝ex-a－b的图象在x＝1处有相同的切线，则a＋b＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
4．若过点P(m，0)与曲线f (x)＝相切的直线只有2条，则m的取值范围是( )
A．(－3，1) B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
C．(－1，3) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
5．若P为函数f (x)＝ex－x图象上的一个动点，以P为切点作曲线y＝f (x)的切线，则切线倾斜角的取值范围是( )
A． B．
C．
6．(人教A版选择性必修第二册P82探究与发现改编)牛顿法是用导数求方程近似解的一种方法．如图，方程f (x)＝0的根就是函数f (x)的零点r，取初始值x0，f (x)的图象在横坐标为x0的点处的切线与x轴交点的横坐标为x1，f (x)的图象在横坐标为x1的点处的切线与x轴交点的横坐标为x2，一直继续下去，得到x1，x2，…，xn，它们越来越接近r．若f (x)＝x2－2(x>0)，x0＝2，则用牛顿法得到的r的近似值x2约为( )
A．1.438 B．1.417
C．1.416 D．1.375
二、多项选择题
7．已知函数f (x)及其导函数f ′(x)，若存在x0，使得f (x0)＝f ′(x0)，则称x0是f (x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )
A．f (x)＝x2 B．f (x)＝e－x
C．f (x)＝ln x D．f (x)＝tan x
8．对于函数f (x)＝ln x－1，则下列判断正确的是( )
A．直线y＝是f (x)过原点的一条切线
B．f (x)关于y＝x对称的函数是y＝ex-1
C．若过点(a，b)有2条直线与f (x)相切，则ln a＜b＋1
D．f (x)≤x－2
三、填空题
9．若直线x＋y＋m＝0是曲线y＝x3＋nx－52与曲线y＝x2－3ln x的公切线，则m－n＝________．
10．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：记y＝f ′(x)为y＝f (x)的导函数，y＝g′(x)为y＝f ′(x)的导函数，则曲线y＝f (x)在点(x，f (x))处的曲率为K＝．曲线f (x)＝ln x－cos (x－1)在点(1，f (1))处的曲率为 ________．
四、解答题
11．已知两曲线y＝x3＋ax和y＝x2＋bx＋c都经过点P(1，2)，且在点P处有公切线．
(1)求a，b，c的值；
(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(3)若曲线y＝ln (bx－1)上的点M到直线2x－y＋3＝0的距离最短，求点M的坐标和最短距离．
12．已知函数f (x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f (x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f (x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
13．(2024·广东茂名一模)曲线y＝ln x与曲线y＝x2＋2ax有公切线，则实数a的取值范围是( )
A．
C．
14．(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝|ex－1|，x1<0，x2>0，函数f (x)的图象在点A(x1，f (x1))和点B(x2，f (x2))处的两条切线互相垂直，且分别与y轴交于M，N两点，则的取值范围是________．
15．已知符号“lim”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①＝1；②＝e，则依据这两个公式，类比求＝_________；＝ ________．
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