课后作业(十八)
A组 在基础中考查学科功底
1．C [f (x)＝x2－4ln x＋2x－3的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝2x－＋2＝，由f ′(x)＜0得0＜x＜1，所以函数f (x)＝x2－4ln x＋2x－3的单调递减区间是(0，1)．故选C．]
2．D [f ′(x)>0的解集对应y＝f (x)的单调递增区间，f ′(x)<0的解集对应y＝f (x)的单调递减区间，验证只有D项符合．]
3．C [因为f (x)＝aex－ln x，所以f ′(x)＝aex－．因为函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，所以f ′(x)≥0在(1，2)上恒成立，即aex－≥0在(1，2)上恒成立，易知a>0，则0<≤xex在(1，2)上恒成立．设g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex．当x∈(1，2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以在(1，2)上，g(x)>g(1)＝e，所以≤e，即a≥＝e-1，故选C．]
4．D [由题意得a＝＝，b＝ln ＝＝，c＝．
设f (x)＝(x＞0)，则f ′(x)＝，
当0
0，所以f (x)单调递增；当x>e时，f ′(x)<0，所以f (x)单调递减．
又e<3<4f (4)>f (e2)，即<<，所以a5．A [令g(x)＝f (x)－2x＋4，则g′(x)＝f ′(x)－2>0，所以g(x)在R上单调递增．
又g(2)＝f (2)－2×2＋4＝0，则不等式f (x)－2x＋4>0等价于g(x)>g(2)，所以x>2，故选A．]
6．D [y＝x2，y′＝2x，当x＝1时，y′＝2>y＝1，则y＝x2不符合“导减函数”的定义；
y＝cos x，y′＝－sin x，当x＝π时，y′＝0>y＝－1，则y＝cos x不符合“导减函数”的定义；
y＝logπx，y′＝，当x＝时，y′＝>0>y＝－1，则y＝logπx不符合“导减函数”的定义；
y＝2x，y′＝2x ln 2<2x，则y＝2x符合“导减函数”的定义．故选D．]
7．BD [依题意知，f ′(x)＝3ax2＋6x－1＝0有两个不相等的实数根，故
解得a>－3且a≠0．
故选BD．]
8．BCD [对于A，f ′(x)＝cos x＋sin x，
g(x)＝－sin x＋cos x＝－sin ，
当x∈时，sin <0，
g(x)＝－sin >0，故A错误；
对于B，f ′(x)＝－3，g(x)＝－<0在上恒成立，故B正确；
对于C，f ′(x)＝－3x2＋3，g(x)＝－6x<0在上恒成立，故C正确；
对于D，f ′(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，g(x)＝－e－x－(1－x)e－x＝－(2－x)e－x，
因为x∈，所以2－x>0，
所以g(x)＝－(2－x)e－x<0在上恒成立，故D正确．]
9．(－1，1) f (x)＝x3－x(答案不唯一)
[由>0可得f ′(x)(x2－1)>0，
所以 或
所以当x<－1或x>1时，f ′(x)>0；当－1所以f (x)的单调递减区间为(－1，1)，
所以满足条件的一个函数可以为f (x)＝x3－x(答案不唯一)．]
10． [由题意得当x>0时，f ′(x)＝ax ln a＋(1＋a)x ln (1＋a)＝ax≥0，设g(x)＝ln a＋ ln (1＋a)，因为ax>0，所以g(x)≥0．
因为a∈(0，1)，所以ln (1＋a)>0，＋1>1，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故只需满足g(0)≥0，即ln a＋ln (1＋a)＝ln (a＋a2)≥0，所以a＋a2≥1，解得a≤－或a≥，又011．解：(1)当a＝1时，f (x)＝(x－2)ex－x2＋x，得f (2)＝0，
f ′(x)＝(x－1)ex－x＋1，则k＝f ′(2)＝e2－1，
所以所求切线方程为y＝(e2－1)(x－2)，
即(e2－1)x－y－2(e2－1)＝0．
(2)f (x)＝(x－2)ex－ax2＋ax的定义域为R，可得f ′(x)＝(x－1)ex－ax＋a＝(x－1)(ex－a)，
当a≤0，x∈(－∞，1)时，f ′(x)<0，f (x)在(－∞，1)上单调递减，
x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，f (x)在(1，＋∞)上单调递增．
当a>0时，由f ′(x)＝0，解得x1＝ln a，x2＝1，
①当ln a＝1，即a＝e时，f ′(x)≥0，则f (x)在R上单调递增；
②当ln a<1，即0在区间(ln a，1)上，f ′(x)＜0，
所以f (x)在(－∞，ln a)，(1，＋∞)上单调递增，在(ln a，1)上单调递减；
③当ln a>1，即a>e时，
在区间(－∞，1)，(ln a，＋∞)上，f ′(x)＞0，在区间(1，ln a)上，f ′(x)＜0，
所以f (x)在(－∞，1)，(ln a，＋∞)上单调递增，在(1，ln a)上单调递减．
12．解：(1)函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，
则g′(x)＝2x＋－1≥0在(0，＋∞)上恒成立，
即a≥(－2x2＋x)max．
设y＝－2x2＋x＝－2＋，则ymax＝，
所以a≥，即实数a的取值范围是．
(2)h(x)＝x2＋a ln x－(a＋2)x且定义域为(0，＋∞)，
h′(x)＝2x＋－(a＋2)＝＝，
令h′(x)＝0，解得x1＝，x2＝1，
若a≤0，则≤0，
当x∈(0，1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增．
若0当x∈时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，
当x∈时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增．
若a＝2，则h′(x)≥0在定义域内恒成立，
函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a>2，则＞1，
当x∈(0，1)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；
当x∈时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；
当x∈时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增．
综上所述，
当a≤0时，函数h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
当0当a＝2时，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a>2时，函数h(x)在(0，1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
B组 在综合中考查关键能力
13．解：(1)由题意知f (x)的定义域为R，f ′(x)＝3x2－2x＋a，对于f ′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a)．
①当a≥时，f ′(x)≥0，f (x)在R上单调递增；
②当a＜时，令f ′(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝，x2＝，
令f ′(x)＞0，则x＜x1或x＞x2；
令f ′(x)＜0，则x1＜x＜x2．
所以f (x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增．
综上，当a≥时，f (x)在R上单调递增；当a＜时，f (x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
(2)设曲线y＝f (x)过坐标原点的切线为l，切点为＋ax0＋1)，
因为f ′(x0)＝－2x0＋a，所以切线l的方程为＋ax0＋1)＝－2x0＋a)(x－x0)．
由l过坐标原点，得－1＝0，解得x0＝1，所以切线l的方程为y＝(1＋a)x．
令x3－x2＋ax＋1＝(1＋a)x，则x3－x2－x＋1＝0，解得x＝±1．
所以曲线y＝f (x)过坐标原点的切线与曲线y＝f (x)的公共点的坐标为(1，1＋a)和(－1，－1－a)．
1/1课后作业(十八) 导数与函数的单调性
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分
一、单项选择题
1．函数f (x)＝x2－4ln x＋2x－3的单调递减区间是( )
A．(1，＋∞) B．(－2，1)
C．(0，1) D．(－∞，－2)和(1，＋∞)
2．函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f (x)的图象可能是( )
A B C D
3．(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为( )
A．e2 B．e
C．e-1 D．e-2
4．(2025·四川成都模拟)设a＝，b＝ln ，c＝，则a，b，c的大小顺序为( )
A．bC．c5．已知定义在R上的函数f (x)的导函数为f ′(x)，且对任意x∈R都有f ′(x)>2，f (2)＝0，则不等式f (x)－2x＋4>0的解集为( )
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，2)
6．函数f (x)的定义域为D，导函数为f ′(x)，若对任意x∈D，f ′(x)A．y＝x2 B．y＝cos x
C．y＝logπx D．y＝2x
二、多项选择题
7．若函数f (x)＝ax3＋3x2－x＋1恰有三个单调区间，则实数a的取值可以是( )
A．－3 B．－1
C．0 D．2
8．给出定义：若函数f (x)在D上可导，即f ′(x)存在，且导函数f ′(x)在D上也可导，则称f (x)在D上存在二阶导函数，记g(x)＝(f ′(x))′，若g(x)<0在D上恒成立，则称f (x)在D上为凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是( )
A．f (x)＝sin x－cos x
B．f (x)＝ln x－3x
C．f (x)＝－x3＋3x－1
D．f (x)＝xe－x
三、填空题
9．已知奇函数f (x)的定义域为R，且>0，则f (x)的单调递减区间为________，满足以上条件的一个函数是________．
(－1，1) f (x)＝x3－x(答案不唯一)
[由>0可得f ′(x)(x2－1)>0，
所以 或
所以当x<－1或x>1时，f ′(x)>0；当－1所以f (x)的单调递减区间为(－1，1)，
所以满足条件的一个函数可以为f (x)＝x3－x(答案不唯一)．]
10．(2023·全国乙卷)设a∈(0，1)，若函数f (x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．
四、解答题
11．已知函数f (x)＝(x－2)ex－ax2＋ax(a∈R)．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f (x)在点(2，f (2))处的切线方程；
(2)讨论函数f (x)的单调性．
12．(2025·江苏南通期中)已知函数f (x)＝x2＋a ln x，a∈R．
(1)若函数g(x)＝f (x)－x在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)讨论函数h(x)＝f (x)－(a＋2)x的单调性．
13．(2021·全国乙卷)已知函数f (x)＝x3－x2＋ax＋1．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)求曲线y＝f (x)过坐标原点的切线与曲线y＝f (x)的公共点的坐标．
1/1