课后作业(二十) 任意角和弧度制、三角函数的概念
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共73分
一、单项选择题
1．(2025·河北石家庄模拟)集合A＝{α|α＝－2 025°＋k·180°，k∈Z}中的最大负角α为( )
A．－2 025° B．－225°
C．－45° D．－25°
2．(2024·浙江五校联盟模拟)已知角α的终边过点P(－3，2cos α)，则cos α＝( )
A． B．－
C．± D．－
3．一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为( )
A． B．
C． D．2
4．在平面直角坐标系Oxy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M(开始时与圆盘上点A(1，0)重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B，细线的粗细忽略不计，当φ＝2 rad时，点M与点O之间的距离为( )
A． B．
C．2 D．
5．sin 2·cos 3·tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
6．扇面是中国书画作品的一种重要表现形式，如图为其结构简化图．设扇面A，B间的圆弧长为l，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为θ，则l，d和θ所满足的关系为( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
二、多项选择题
7．(教材改编)若角α的终边在第三象限，则的值可能为( )
A．0 B．2
C．4 D．－4
8．已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列结论正确的是( )
A．sin θ＝－
B．α为钝角
C．cos α＝－
D．点(tan θ，sin α)在第一象限
三、填空题
9．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，则5sin α＋5cos α＋4tan α＝________.
10．(2025·广东潮汕实验中学模拟)已知质点A1，A2从点P(1，0)处分别以ω1＝4 rad/s，ω2＝2 rad/s的速度同时在圆x2＋y2＝1上做逆时针运动，若经过t s，A1，A2第一次相遇，则t＝________．
11．(2024·山东潍坊三模)如图，半径为1的圆M与x轴相切于原点O，切点处有一个标志，该圆沿x轴向右滚动，当圆M滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为N)，标志位于点A处，圆N与x轴相切于点B，则阴影部分的面积是( )
A．2 B．1
C． D．
12．(2025·广东东莞模拟)在平面直角坐标系Oxy中，半径为2的圆O与y轴非负半轴的交点为P0，动点P从P0出发，以1 rad/s的角速度按顺时针方向在圆O上做匀速圆周运动，则2 s时点P的坐标为( )
A．
B．
C．
D．
13．(多选)(2024·河北保定二模)一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数．下面给出这些函数的定义：
①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α；
②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α；
③把点P的纵坐标y的倒数叫做α的余割，记作csc α，即＝csc α；
④把点P的横坐标x的倒数叫做α的正割，记作sec α，即＝sec α.
下列结论正确的有( )
A．csc＝－
B．cos α·sec α＝1
C．函数f (x)＝csc x的定义域为
D．sec2α＋sin2α＋csc2α＋cos2α≥5
14．(2023·北京高考)已知命题p：若α，β为第一象限角，且α>β，则tan α>tan β.能说明命题p为假命题的一组α，β的值可以是α＝________，β＝________．
3 / 4课后作业(二十)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．C [因为－2 025°＝－45°－11×180°，所以集合A＝{α|α＝－2 025°＋k·180°，k∈Z}中的最大负角α为－45°.故选C.]
2．B [∵角α的终边过点P(－3，2cos α)，
∴cos α＝，解得cosα＝±，
∵cos α＝<0，
∴cosα＝－.
故选B.]
3．C [设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则
解得故选C.]
4．D [展开过程中： BM＝＝φ·R＝2，BO＝1，
MO＝＝.故选D.]
5．A [因为＜2＜3＜π＜4＜，所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4 rad的角是第三象限角，所以sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，所以sin 2·cos 3·tan 4＜0.]
6．A [如图，连接AB，取AB的中点为D，连接OD，由题意可得AD＝d，∠DOA＝，OD⊥AB，设OA＝r，在Rt△ADO中，sin ＝， ①
又l＝rθ， ②
所以由①②可得＝，即＝.故选A.]
7．BC [由角α的终边在第三象限，得－π＋2kπ<α<－＋2kπ，k∈Z，则－＋kπ<<－＋kπ，k∈Z，
因此是第二象限角或第四象限角，
当是第二象限角时，＝1－2－(－3)＝2，
当是第四象限角时，＝－1＋2－(－3)＝4.
故选BC.]
8．ACD [角θ的终边经过点(－2，－)，sin θ＝－，A正确；
θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点(－2，)，α为第二象限角，不一定为钝角，cos α＝－，B错误，C正确；
因为tan θ＝>0，sin α＝>0，所以点(tan θ，sin α)在第一象限，D正确．]
9．－4或－2 [设α终边上任意一点为P(－4a，3a)，r＝5|a|.当a>0时，r＝5a，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－，
∴5sin α＋5cos α＋4tan α＝3－4－3＝－4；
当a<0时，r＝－5a，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－，
∴5sin α＋5cos α＋4tan α＝－3＋4－3＝－2.
综上可知，5sin α＋5cos α＋4tan α＝－4或－2.]
10．π [由已知得，经过t s，A1，A2第一次相遇，此时A1比A2多走一圈，所以4t－2t＝2π×1，所以t＝π.]
[B组 在综合中考查关键能力]
11．B [由圆M与圆N外切，得MN＝2，
又圆M，圆N与x轴分别相切于原点O和点B，则OB＝MN＝2，
所以的长等于OB的长，为2，
所以对应的扇形面积为×2×1＝1.
故选B.]
12．D [设P，动点P从P0出发，以1 rad/s的角速度按顺时针方向在圆O上做匀速圆周运动，
则经过2 s所走过圆心角的弧度数为1×2＝2，所以P点是α＝－2的终边与半径为2的圆O的交点，根据三角函数的定义可得，
sin α＝sin ＝cos 2＝，即y＝2cos 2，
cos α＝cos ＝sin 2＝，即x＝2sin 2.故选D.]
13．ABD [csc＝＝－，A正确；
cos α·sec α＝cos α·＝1，B正确；
函数f (x)＝csc x的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，C错误；
sec2α＋sin2α＋csc2α＋cos2α＝1＋＝1＋＝1＋≥5，
当sin2α＝±1时，等号成立，D正确．故选ABD.]
14．(答案不唯一) (答案不唯一) [取α＝＋2π，β＝，
则α>β，但tan α＝tan β，不满足tan α>tan β，
∴命题p为假命题，∴能说明命题p为假命题的一组α，β的值可以是α＝，β＝.]
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