课后作业(二十二)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．D [因为cos＝sin ＝sin ，
所以cos2－cos2＝cos2－sin2
＝cos＝cos ＝.故选D.]
2．C [由三角函数定义得sin α＝＝，cos α＝＝，
所以sin ＝sin αcos －cos αsin ＝＝.
故选C.]
3．B [由题意及题图得，tan α＝，tan β＝，
∴tan (α＋β)＝＝＝1.
∵α∈，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.故选B.]
4．D [∵sin x＋cos x＝，∴(sin x＋cos x)2＝1＋sin 2x＝，
∴sin 2x＝－，∴cos ＝sin 2x＝－.
故选D.]
5．C [(cos α＋cos β)2＝cos2α＋2cos αcos β＋cos2β＝，
(sinα－sin β)2＝sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝，
两式相加得2＋2(cos αcos β－sin αsin β)
＝2＋2cos (α＋β)＝＝，
∴cos (α＋β)＝－.故选C.]
6．C [由tan α，tan β是方程x2－4x＋5＝0的两根可得 tan α＋tan β＝4，tan α·tan β＝5.
所以tan α，tan β均为正数，
又α，β∈，故α，β∈，
所以tan (α＋β)＝＝＝－.
又α＋β∈(0，π)．故α＋β＝.故选C.]
7．AD [由题意知，sin γ＝sin β－sin α，
cos γ＝cos α－cos β，
将两式分别平方后相加，
得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2
＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，
∴cos (β－α)＝，即选项A正确，B错误；
∵γ∈，
∴sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，而α，β∈，
∴0<β－α<，∴β－α＝，即选项D正确，C错误．]
8．BC [由sin θ＋cos θ＝得(sin θ＋cos θ)2＝，
则2sin θcos θ＝－.
因为θ∈(0，π)，2sin θcos θ＝－<0，
所以θ∈，所以sin θ－cos θ＝
＝＝，
由解得
对于A，tan θ＝＝＝－，故A错误；
对于B，cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝－，故B正确；
对于C，因为θ∈，所以∈，
则tan>0，
tan θ＝＝－，
即＝0，
解得tan ＝2或tan ＝－(舍去)，故C正确；
对于D，cos ＝cos θ·－sin θ·＝－＝－，故D错误．故选BC.]
9． [令θ－＝α，则sin α＝，
所以cos ＝cos
＝cos ＝－cos 2α＝2sin2α－1＝2×－1＝.]
10．－ [法一：由题意得tan (α＋β)＝＝＝－2，
因为α∈，β∈，k，m∈Z，所以α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，
又因为tan (α＋β)＝－2<0，
所以α＋β为第四象限角，则sin (α＋β)<0，
则＝－2，联立sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，解得sin(α＋β)＝－.
法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，所以cos α>0，cos β<0，
cos α＝＝，cos β＝＝，
则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝cos αcos β(tan α＋tan β)
＝4cos αcos β＝
＝＝＝－.]
11．解：(1)若选①，tan (π＋α)＝tan α＝＝3，
又因为sin2α＋cos2α＝1，0<α<，
所以sinα＝，cos α＝，
所以sin ＝sin αcos －cos αsin ＝＝.
若选②，因为sin (π－α)－2sin ＝cos (－α)，化简得sin α＝3cos α，
又因为sin2α＋cos2α＝1，0<α<，所以sinα＝，cos α＝，
所以sin ＝sin αcos －cos αsin ＝＝.
若选③，因为3sin ＝cos ，化简得3cos α＝sin α，
又因为sin2α＋cos2α＝1，0<α<，所以sinα＝，cos α＝，
所以sin ＝sin αcos －cos αsin ＝＝.
(2)因为0<β<α<，且cos (α＋β)＝－，所以<α＋β<π，
所以sin (α＋β)＝＝，
所以sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝＝，
又因为0<β<，所以β＝.
12．解：(1)∵α∈，β∈，
∴α－∈－β∈，
∵cos ＝－，sin ＝，
∴sin ＝＝，
cos＝＝，
∴cos ＝cos
＝cos cos ＋sin sin
＝－＝－.
(2)∵α∈，β∈，
∴α＋β∈，则∈，
∵cos ＝－，
∴sin ＝＝，
∴tan ＝－.
∴tan (α＋β)＝＝＝.
[B组 在综合中考查关键能力]
13．解：由题意知，PB＝8，QB＝12，设∠PMB＝α，∠QMB＝β，BM＝x，则tan α＝，tan β＝，所以tan ∠PMQ＝tan (β－α)＝＝＝＝，当且仅当x＝，即x＝时取等号，又因为≈10，所以BM的长大约为10 m．
5 / 5课后作业(二十二) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共85分
一、单项选择题
1．cos2－cos2＝( )
A． B． C． D．
2．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边经过点(3，4)，则sin 的值是( )
A． B．
C． D．
3．(2025·广东江门模拟)如图，α，β是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则α＋β＝( )
A． B．
C． D．
4．(2024·河南开封二模)已知sin x＋cos x＝，则cos ＝( )
A．－ B．
C． D．－
5．已知cos α＋cos β＝，sin α－sin β＝，则cos (α＋β)的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
6．已知α，β∈，若tan α，tan β是方程x2－4x＋5＝0的两根，则α＋β＝( )
A．－或 B．－
C． D．
二、多项选择题
7．已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是( )
A．cos (β－α)＝ B．cos (β－α)＝
C．β－α＝－ D．β－α＝
8．(2025·山东济南模拟)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则( )
A．tan θ＝－ B．cos 2θ＝－
C．tan ＝2 D．cos ＝
三、填空题
9．(2024·浙江宁波十校联考)若sin ＝，则cos ＝________．
10．(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝________．
四、解答题
11．在①tan(π＋α)＝3；②sin (π－α)－2sin ＝cos (－α)；③3sin ＝cos 中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题．
已知0<β<α<，________，cos (α＋β)＝－.
(1)求sin ；
(2)求β.
12．已知cos ＝－，sin ＝，且α∈，β∈.求：
(1)cos 的值；
(2)tan (α＋β)的值．
13．在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高．如图为室内5人制足球场示意图，设球场(矩形ABCD)长BC大约为40m，宽AB大约为20 m，球门长PQ大约为4 m．在某场比赛中有一位球员欲在边线BC上的点M处射门(假设球贴地直线运行)，求当张角∠PMQ最大时， BM的长大约为多少(精确到1 m)．
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