课后作业(二十三) 简单的三角恒等变换
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共85分
一、单项选择题
1．(2024·湖南邵阳二模)已知α为锐角，若sin α＝，则cos2＝( )
A． B．
C． D．
2．(2025·河北张家口模拟)已知cos ＝－，θ是第四象限角，则tan ＝( )
A． B．－
C． D．－
3．(2025·湖南长沙模拟)已知cos ＋sin α＝，则cos ＝( )
A．－ B．－
C． D．
4．(2025·山东济南模拟)已知α，β为锐角，tan＝，sin αsin β＝，则sin ＝( )
A． B．
C． D．
5．(2024·河南驻马店期末)已知tan α＝2，则＝( )
A．－ B．
C．－ D．
6．公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割比约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若4m2＋n＝16，则的值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
二、多项选择题
7．已知sin α＝－，π＜α＜，则下列选项正确的是( )
A．sin 2α＝－ B．sin ＝
C．cos ＝－ D．tan ＝－2
8．(2025·山西大同模拟)若0<α<β<，且cos αcos β＝，tan αtan β＝，则( )
A．cos ＝ B．sin ＝－
C．cos 2α＝ D．β<
三、填空题
9．已知α，β∈(0，π)，tan ＝，sin (α－β)＝，则cos β＝________．
10．已知函数f (x)＝sin x－2cos x，设当x＝θ时，f (x)取得最大值，则cos θ＝________．
四、解答题
11．已知α∈，β∈，cos β＝，且tan (2α＋β)＝3.
(1)求tan 2α的值；
(2)求α＋β的值．
12．已知6sin2α＋sin αcos α－2cos2α＝0，α∈.求：
(1)tan α；
(2)sin .
13．(2025·广东肇庆模拟)通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如：cos 3α＝4cos3α－3cos α.
(1)根据上述结论，推导出sin 3α关于sin α的表达式；
(2)求sin 18°的值；
(3)求sin3126°＋sin36°－sin366°的值．
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[A组 在基础中考查学科功底]
1．A [已知α为锐角，若sin α＝，
则cos α＝＝，
所以cos2＝＝＝.
故选A.]
2．D [由cos ＝－可得－cos θ＝－，故cos θ＝，由于θ是第四象限角，故sin θ＝－，
∴tan ＝＝＝＝－.
故选D.]
3．B [由cos ＋sin α＝，
可得cos α－sin α＋sin α＝，
即sin α＋cos α＝，可得sin ＝，
所以cos ＝cos
＝－cos ＝2sin2－1＝－.
故选B.]
4．D [因为α，β为锐角，所以α－β∈，α＋β∈∈，
又tan ＝＝，
所以cos＝＝cos αcos β＋sin αsin β，
而sin αsin β＝，所以cos αcos β＝，
所以cos ＝cos αcos β－sin αsin β＝＝－＝1－2sin2，
因此sin＝＝.故选D.]
5．A [＝
＝＝
＝
＝＝－.故选A.]
6．C [因为m＝2sin18°，
所以由4m2＋n＝16，可得n＝16－4(2sin 18°)2＝16cos218°，
因此＝＝＝＝4.]
7．BCD [因为sin α＝－，π＜α＜，所以cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×＝，故A错误；因为＜＜，所以sin ＝＝＝，
cos ＝－＝－＝－，
tan ＝＝－2，
故BCD均正确．]
8．BD [由题意可得sin αsin β＝cos αcos β tan αtan β＝，
所以cos ＝cos αcos β－sin αsin β＝，故A错误；
cos ＝cos αcos β＋sin αsin β＝，
因为0<α<β<，
所以－<α－β<0，
所以sin (α－β)＝－＝－，故B正确；
因为0<α<β<，且cos(α＋β)＝，
所以sin ＝＝，
所以cos 2α＝cos
＝cos (α＋β)cos (α－β)－sin (α＋β)sin (α－β)＝，故C错误；
cos 2β＝cos
＝cos cos ＋sin sin (α－β)＝，
即cos 2β＝>>－＝cos ，
因为0<β<，所以0<2β<π，
故2β<，所以β<，故D正确．故选BD.]
9． [∵tan ＝，
∴sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝，
∵α，β∈(0，π)，cosα＞0，∴α∈，
∴α－β∈，
∵sin (α－β)＝＞0，∴α－β∈，
∴cos (α－β)＝，
∴cos β＝cos (－β)＝cos [(α－β)－α]
＝cos (α－β)cos α＋sin (α－β)sin α
＝＝.]
10．－ [f (x)＝sin x－2cos x＝sin (x－φ)，
其中cos φ＝，sin φ＝，
则f (θ)＝sin (θ－φ)＝，
因此θ－φ＝＋2kπ，k∈Z，
则cos θ＝cos ＝－sin φ＝－.]
11．解：(1)∵β∈(0，π)，且cos β＝，
∴sin β＝＝＝，
∴tan β＝＝.
又∵tan (2α＋β)＝3，
∴tan 2α＝tan [(2α＋β)－β]＝＝＝.
(2)∵tan 2α＝＝，∴2tan2α＋3tan α－2＝0，
∴tan α＝或tan α＝－2，
∵α∈，∴tan α＝，
又∵tan β＝，
∴tan (α＋β)＝＝＝1，
∵tan β＝，且β∈(0，π)，∴β∈，
又∵α∈，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
12．解：(1)∵6sin2α＋sin αcos α－2cos2α
＝＝＝0，
即6tan2α＋tan α－2＝0，解得tan α＝－或tan α＝，∵α∈，∴tan α＝－.
(2)∵sin 2α＝＝＝－，
cos 2α＝＝＝，
∴sin＝sin 2αcos ＋cos 2αsin
＝－＝.
[B组 在综合中考查关键能力]
13．解：(1)sin3α＝sin ＝sin α·cos 2α＋cos α·sin 2α
＝sin α·＋cos α·2sin α·cos α
＝2sin α·cos2α－sinα＋2sin α·cos2α
＝4sin α·cos2α－sinα
＝4sin α·－sinα
＝－4sin3α＋3sin α.
(2)∵36°＋54°＝90°，∴sin 36°＝cos 54°，
即sin ＝cos ，
∴2sin 18°·cos 18°＝4cos318°－3cos 18°，
∵cos 18°≠0，∴2sin 18°＝4cos218°－3，
即2sin 18°＝4－3，
整理得4sin218°＋2sin18°－1＝0，∵sin 18°>0，
∴sin 18°＝.
(3)由(1)得sin3α＝sinα－sin 3α，
∴sin3126°＋sin36°－sin366°
＝sin126°－sin 378°＋sin 6°－sin 18°－sin 66°＋sin 198°
＝(sin 378°＋sin 18°－sin 198°)
＝
＝
＝－sin 18°＝.
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