课后作业(二十四) 三角函数的图象与性质
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分
一、单项选择题
1．(2025·八省联考)函数f (x)＝cos 的最小正周期是( )
A． B．
C．π D．2π
2．(2025·湖北武汉模拟)函数y＝sin 的图象的一个对称中心是( )
A． B．
C． D．
3．函数f＝－3cos 的单调递增区间为( )
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
4．若tan 2＝a，tan 3＝b，tan 5＝c，则( )
A．a＜b＜c B．b＜c＜a
C．c＜b＜a D．c＜a＜b
5．函数f (x)＝cos x－cos 2x，则该函数为( )
A．奇函数，且函数的最大值为2
B．偶函数，且函数的最大值为2
C．奇函数，且函数的最大值为
D．偶函数，且函数的最大值为
6．(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f (x)＝sin ＋b(ω＞0)的最小正周期为T.若＜T＜π，且y＝f (x)的图象关于点中心对称，则f＝( )
A．1 B．
C． D．3
二、多项选择题
7．(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f (x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有( )
A．f (x)与g(x)有相同的零点
B．f (x)与g(x)有相同的最大值
C．f (x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f (x)与g(x)的图象有相同的对称轴
8．(2024·九省联考)已知函数f (x)＝sin ＋cos ，则( )
A．函数f为偶函数
B．曲线y＝f (x)的对称轴为x＝kπ，k∈Z
C．f (x)在区间上单调递增
D．f (x)的最小值为－2
三、填空题
9．(2024·广东深圳一模)若函数f＝sin (ωx＋φ)的最小正周期为π，其图象关于点中心对称，则φ＝________．
10．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω＞0)具有下列三个性质：①图象关于直线x＝对称；②在区间上单调递减；③最小正周期为π，则满足条件的一个函数f (x)＝________．
四、解答题
11．已知函数f＝A sin 的最小正周期为π.
(1)若A＝1，f＝，求φ的值；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定f (x)的解析式，并求函数h(x)＝f (x)－2cos 2x的单调递增区间．
条件①：f的最大值为2；
条件②：f的图象关于点中心对称；
条件③：f的图象经过点.
12．已知函数f (x)＝2cos2ωx＋sin2ωx(ω>0)，x1，x2是f (x)的两个相邻极值点，且满足|x1－x2|＝π.
(1)求函数f (x)图象的对称轴方程；
(2)若f (α)＝，求sin 2α.
13．已知函数f (x)＝4sin (ω>0)在上单调递减．
(1)求ω的最大值；
(2)若f (x)的图象关于点中心对称，且f (x)在上的值域为[－2，4]，求m的取值范围．
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[A组 在基础中考查学科功底]
1．D [由题意知，f (x)的最小正周期T＝2π.故选D.]
2．D [令sin ＝0，则2x＋＝kπ，k∈Z，x＝－，k∈Z，
当k＝1时，对称中心为，结合选项，ABC错误．故选D.]
3．D [f＝－3cos ，
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
故函数f的单调递增区间为，k∈Z.故选D.]
4．D [因为tan 5＝tan (5－π)，＜5－π＜2＜3＜π，且函数y＝tan x在区间上单调递增，
所以tan (5－π)＜tan 2＜tan 3，
所以tan 5＜tan 2＜tan 3，即c＜a＜b.]
5．D [由题意，f (－x)＝cos －cos ＝cos x－cos 2x＝f ，所以该函数为偶函数．
又f (x)＝cos x－cos 2x＝－2cos2x＋cosx＋1
＝－2＋，
所以当cos x＝时，f (x)取最大值.故选D.]
6．A [由函数的最小正周期T满足＜T＜π，得＜＜π，解得2＜ω＜3，
又因为函数图象关于点对称，所以ω＋＝kπ，k∈Z，且b＝2，
所以ω＝－k，k∈Z，所以ω＝，f (x)＝sin ＋2，
所以f＝sin ＋2＝1.故选A.]
7．BC [A选项，令f (x)＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f (x)的零点，
令g(x)＝sin ＝0，解得x＝，k∈Z，即为g(x)的零点，
显然f (x)，g(x)的零点不同，A选项错误；
B选项，显然f (x)max＝g(x)max＝1，B选项正确；
C选项，根据周期公式，f (x)，g(x)的最小正周期均为＝π，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质，f (x)的图象的对称轴满足2x＝kπ＋，k∈Z，即x＝，k∈Z，
g(x)的图象的对称轴满足2x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝，k∈Z，
显然f (x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误．
故选BC.]
8．AC [f (x)＝sin ＋cos
＝sin ＝－sin 2x.对于A，f＝－sin ＝cos 2x，易知f为偶函数，所以A正确；对于B，令2x＝＋kπ，k∈Z，得x＝，k∈Z，故B错误；对于C，当x∈时，2x∈，y＝sin 2x单调递减，则f (x)＝－sin 2x单调递增，故C正确；对于D，f (x)＝－sin 2x，sin 2x∈[－1，1]，
所以f (x)∈[－]，故D错误．]
9．－ [由T＝＝π得，ω＝2，
所以f＝sin，又f＝sin 的图象关于点中心对称，所以＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝－＋kπ，k∈Z，又<，所以k＝1，φ＝－.]
10．sin(答案不唯一) [由③可得ω＝2，由①可得2×＋φ＝＋kπ φ＝－＋kπ(k∈Z)，
再由②可知x∈时，2x－＋kπ∈(k∈Z)，
则 (k，m∈Z)，故k为奇数时符合条件，不妨令k＝1，则φ＝，取A＝1，此时f (x)＝sin .]
11．解：(1)因为A＝1，f＝，则sin φ＝，且0<φ<，则φ＝.
(2)因为函数f的最小正周期为π，则ω＝2.
若选①②，则A＝2，且f＝2sin ＝0，
且0<φ<，则<＋φ<，则＋φ＝π，则φ＝，
所以f＝2sin .
h＝2sin －2cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝2sin ，
令－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数h的单调递增区间是，k∈Z.
若选①③，则A＝2，且f＝2sin ＝，则sin ＝，又0<φ<，则<＋φ<，
则＋φ＝，则φ＝，
所以f＝2sin .
以下同选择①②.
若选②③，由②可知，φ＝.
由③可知，f ＝A sin ＝A·＝，则A＝2，
所以f＝2sin .
以下同选择①②.
12．解：(1)f (x)＝2cos2ωx＋sin2ωx＝cos 2ωx＋sin 2ωx＋1＝sin ＋1，
由|x1－x2|＝π可得最小正周期T＝2|x1－x2|＝2π，
所以ω＝，故f (x)＝sin ＋1，
令x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，
故f (x)图象的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z.
(2)由f (α)＝，得sin ＋1＝，
则sin ＝－，
由cos ＝1－2sin2＝1－2×＝，
所以cos＝－sin 2α＝，所以sin 2α＝－.
[B组 在综合中考查关键能力]
13．解：(1)由条件知x∈，则ωx＋∈，
由正弦函数的性质可知
k∈Z，
所以ω∈，k∈Z.
又因为π－＝＝，所以0<ω≤，
当k＝0时，1≤ω≤，符合题意；
当k≥1时，不等式1＋12k≤ω≤＋2k无解，
所以ω的最大值为.
(2)因为f (x)的图象关于点中心对称，所以ω＋＝kπ(k∈Z)，即ω＝(k∈Z)，
由(1)得1≤ω≤，所以ω＝，
则f (x)＝4sin ，
当x∈时，x＋∈，
因为f (x)在上的值域为[－2，4]，
所以sin ∈，
则m＋，
解得≤m≤，
所以m的取值范围是.
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