课后作业(二十五) 函数y＝A sin (ωx＋φ)
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共90分
一、单项选择题
1．某个弹簧振子做简谐运动，已知在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：cm)之间满足函数关系：y＝sin t＋cos ，则这个简谐运动的振幅是( )
A．1 cm B．2 cm
C． cm D．2 cm
2．为了得到y＝sin 的图象，只需将y＝sin x的图象上每一点的纵坐标不变( )
A．每一点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度
B．每一点的横坐标变为原来的4倍，再向右平移个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的4倍
D．先向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的
3．(2025·成都石室中学模拟)将函数f (x)＝2sin 的图象先向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为( )
A．g(x)＝2sin
B．g(x)＝2sin
C．g(x)＝2sin
D．g(x)＝2sin
4．(2025·广东中山模拟)已知函数f＝sin ，则下列说法正确的是( )
A．函数f的图象关于点中心对称
B．函数f的图象关于直线x＝－对称
C．函数f在区间内有4个零点
D．函数f在区间上单调递增
5．(2025·云南昆明模拟)已知f (x)＝2sin 的部分图象如图所示，－<φ<0，x1，x2是f (x)相邻的两个零点，且x2＝4x1，则x1的值为( )
A． B．π
C．π D．π
6．(2022·全国甲卷)设函数f (x)＝sin 在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题
7．(2025·江苏常州模拟)对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度θ(单位：℃)与时间t(单位：h)近似地满足函数关系θ＝A sin ωt＋b，其中0≤t≤24.已知当天开始计时时的温度为25 ℃，第二天凌晨3：00时温度最低为19 ℃，则( )
A．ω＝
B．当天下午3：00温度最高
C．温度为28 ℃是当天晚上7：00
D．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于22 ℃
8．(2025·湖北武汉模拟)已知f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．A＝2
B．f (x)的最小正周期为π
C．f (x)在内有3个极值点
D．f (x)在区间上的最大值为
三、填空题
9．已知函数f＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝________．
10．(2025·江苏南通模拟)某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10 cm和20 cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为________cm.
四、解答题
11．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f (x)取得最大值2.
(1)求f (x)的解析式；
(2)作出f (x)在[0，π]上的图象(要求列表)；
(3)函数y＝f (x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
(4)函数y＝f (x)的图象可由函数y＝cos x的图象经过怎样的变换得到？
12．(2025·山东烟台模拟)已知函数f ＝sin ，其中x∈R，ω>0，函数f图象上相邻的两条对称轴之间的距离为.
(1)求f的解析式和单调递增区间；
(2)若将函数f图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度，得到函数g的图象，求函数h＝·g在 上的最大值．
13．已知函数f＝sin 在区间上单调，其中ω为正整数，<，且f＝－f.
(1)求y＝f图象的一个对称中心；
(2)若f＝，求φ.
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[A组 在基础中考查学科功底]
1．C [因为y＝sin t＋cos ＝sin t＋cos t cos ＋sin t sin ＝sin t＋cos t＝sin ，
所以这个简谐运动的振幅是 cm.故选C.]
2．C [y＝sin x的图象上每一点的横坐标变为原来的4倍得到y＝sin 的图象，再向右平移个单位长度得到y＝sin 的图象，故A，B错误；
y＝sin x的图象先向右平移个单位长度得到y＝sin的图象，再把每一点的横坐标变为原来的4倍得到y＝sin 的图象，故C正确，D错误．]
3．D [将函数f (x)＝2sin 的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝2sin ＝2sin 的图象，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)＝2sin ＝2sin 的图象．]
4．C [对于A，由f＝sin ＝sin ＝≠0，
所以不是函数f的图象的对称中心，所以A错误；
对于B，由f＝sin
＝sin ≠±1，
所以x＝－不是函数f的图象的对称轴，所以B错误；
对于C，令2x－＝kπ，k∈Z，可得x＝，k∈Z，
当k＝0时，可得x＝；当k＝1时，可得x＝；当k＝－1时，可得x＝－；
当k＝－2时，可得x＝－，所以在内，函数f有4个零点，所以C正确；
对于D，由x∈，可得2x－∈，此时函数f不单调，所以D错误．故选C.]
5．A [由题意可得T＝π，且由题图可得x2－x1＝.
又因为x2＝4x1，可得x1＝.故选A.]
6．C [依题意可得ω＞0，因为x∈(0，π)，所以ωx＋∈，要使函数在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，又y＝sin x，x∈的图象如图所示，
则＜ωπ＋≤3π，解得＜ω≤，即ω∈.故选C.]
7．ABD [t＝0时，θ＝25 ℃，∴b＝25，
第二天凌晨3：00温度最低为19 ℃，此时t＝18，
∴∴A正确；
θ＝6sin t＋25，令t＝＋2kπ，k∈Z，即t＝6时θ取最大值，t＝6对应下午3：00，B正确；
令θ＝28，得t＝2或10，即上午11：00或晚上7：00时温度为28 ℃，C错误；当14≤t≤20时，19≤θ≤22，D正确．故选ABD.]
8．ABD [对于AB，根据函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象知，A＝2, T＝4×＝π，所以ω＝＝2，故AB正确；
对于C，由五点法画图知，×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，
由于0<φ<，所以φ＝，所以f (x)＝2sin .
令2x＋＝＋kπ，k∈Z，则x＝kπ，k∈Z，
当k＝－2时，x＝－；当k＝－1时，x＝－；
当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，故f (x)在内有2个极值点，分别为x＝，x＝，故C错误；
对于D，因为x∈，
所以2x＋∈，
故当2x＋＝，即x＝2π时，f (x)取最大值2sin ＝2sin ＝，故D正确．故选ABD.]
9．－ [由题意可得，T＝＝，∴T＝π，又T＝，∴ω＝2，
当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝2kπ－，
由|φ|＜，可得φ＝－，
∴f＝2cos ，
f＝2cos ＝2cos ＝－.]
10．60 [如图所示，EF＝10，FG＝20，
令∠AEF＝α，则AF＝10sin α，∠AFE＝－α，
则∠BFG＝α， BF＝20cos α，BG＝20sin α，∠BGF＝－α，
则∠CGH＝α，CG＝10cos α.
∴周长为2AB＋2BC＝2＋2
＝60sin α＋60cos α＝60sin ≤60，
当α＝时取等号，
即矩形框架周长的最大值为60 cm.]
11．解：(1)因为函数f (x)的最小正周期是π，所以ω＝2.
又因为当x＝时，f (x)取得最大值2，所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z，
因为－<φ<，所以φ＝，
所以f (x)＝2sin .
(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈.
列表如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f (x) 1 2 0 －2 0 1
描点、连线得图象，如图．
(3)将y＝sin x图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，再将y＝sin 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 的图象，再将y＝sin 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到f (x)＝2sin 的图象．
(4)因为f (x)＝2sin ＝2cos ＝2cos ，将y＝cos x的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数y＝cos的图象，再将y＝cos 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝cos的图象，再将y＝cos图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2cos 的图象，即为f (x)＝2sin 的图象．
12．解：(1)由题意可知，＝，
所以T＝π＝，所以ω＝2.
所以f (x)＝sin .
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z,
故f (x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)将函数f 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝sin 的图象，再向右平移个单位长度，得g(x)＝sin x的图象．
所以h(x)＝sin x(sin x＋cos x)＝sin2x＋sinx cos x＝＝sin ，
因为0≤x≤，所以－≤2x－，
所以当2x－＝，即x＝时，h(x)取得最大值为1＋.
[B组 在综合中考查关键能力]
13．解：(1)因为f在区间上单调，
且f＝－f∈∈，
所以f＝f＝0，
所以y＝f图象的一个对称中心是.
(2)由题设，f的最小正周期T≥2×＝π，＝<，
故ω＝≤2，由ω∈N*，得ω＝1，2，
由点为f (x)＝sin 图象的一个对称中心，
所以ω＋φ＝k1π，k1∈Z，①
因为f＝，所以ω＋φ＝＋2k2π或ω＋φ＝＋2k3π，k2，k3∈Z.
若ω＋φ＝＋2k2π，②
①－②得ω＝－π，
即ω＝－2＋6.
不存在整数k1，k2，使得ω＝1，2.
若ω＋φ＝＋2k3π，③
①－③得ω＝－π，
即ω＝－4＋6，
不存在整数k1，k3，使得ω＝1，当k1＝2k3＋1时，ω＝2.
此时φ＝＋2k3π＝＋2k3π，由<，得φ＝.
综上所述，φ＝.
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