课后作业(二十七) 三角形中的中线、高线、角平分线
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分
一、单项选择题
1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且∠BAC＝60°，b＝3，AD为BC边上的中线，若AD＝，则BC的长为( )
A．7 B．3 C． D．3
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝3，c＝3，B＝30°，a>b，则AC边上的高线的长为( )
A． B．
C． D．3
3．(2024·辽宁丹东二模)在△ABC中，点D在BC边上，AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，AB＝2，AD＝，则AC＝( )
A．2 B．
C．3 D．2
4．如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为BC的中点，AD＝1，B＝，且△ABC的面积为，则c＝( )
A． B．1
C．2 D．3
5．(2025·湖北鄂州模拟)在△ABC中，AB＝2，E是BC边的中点，线段AE的长为 ，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，AD是∠BAC的平分线，则AD＝( )
A． B．1
C．2 D．
6．(教材改编)如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则∠APB的余弦值为( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题
7．(2024·辽宁葫芦岛期末)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，A＝，D为边BC上一动点，则( )
A．BC＝
B．△ABC的外接圆半径为
C．当AD为∠BAC的角平分线时，AD＝
D．当D为BC中点时，AD＝
8．(2025·山东潍坊模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A＝，∠BAC的平分线交BC于点D，AD＝，cos B＝，则下列说法正确的是( )
A．AC＝2 B．AB＝
C．＝ D．△ABD的面积为
三、填空题
9．(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________．
10．(2021·浙江高考)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝________；cos ∠MAC＝________．
四、解答题
11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
(1)求B；
(2)若b＝，∠ABC的平分线交AC于点D，BD＝1，求△ABC的面积．
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2(1－4cos2B)＝－ab，且c＝2b cosB.
(1)求B；
(2)若△ABC的周长为4＋2，求BC边上中线的长．
13．(2024·山东枣庄一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝sin A tan .
(1)求C；
(2)若a＝8，b＝5，CH是边AB上的高，且＝m＋n，求.
1 / 4课后作业(二十七)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．C [如图，＝)，
∴＝＋＋2)，
∴＝(c2＋9＋3c)，
∴c＝5(负值舍去)，
由余弦定理得，BC2＝b2＋c2－2bc cos ∠BAC
＝9＋25－2×3×5×＝19，
∴BC＝.]
2．D [因为b＝3，c＝3，B＝30°，
所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，
可得9＝a2＋27－2×a×3，
整理可得a2－9a＋18＝0，又a>b，
所以a＝6.S△ABC＝ac sin B＝，
所以AC边上的高线的长为＝3.
故选D.]
3．B [因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，
所以×AB×AC×sin 120°＝×AB×AD×sin 60°＋×AD×AC×sin 60°，
即AB×AC＝AB×AD＋AD×AC，代入AB＝2，AD＝，可得2×AC＝2×AC，
则×AC＝4，解得AC＝.故选B.]
4．B [∵B＝，∴在△ABD中，由余弦定理得
c2＋－2c×cos ＝1，即a2＋4c2－2ac＝4，
又S△ABC＝ac sin B＝ac＝，
解得ac＝2①，
∴a2＋4c2－2ac＝4＝2ac，即4c2－4ac＋a2＝0，
∴(2c－a)2＝0，即a＝2c②，
将②代入①得2c2＝2，解得c＝1或c＝－1(不合题意，舍去)．故选B.]
5．A [因为E是BC边的中点，所以＝)，
所以＝＋＋2)，
所以＝(||2＋||2＋2||·||·cos 120°)，
所以＝(4＋－2)，
即－2＋1＝0，得＝1，
因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD＝∠CAD＝60°，
因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
所以AB·AC sin ∠BAC＝AB·AD sin ∠BAD＋AC·AD sin ∠CAD，
所以×2×1×＝×2AD××AD×，
所以2＝3AD，得AD＝.
故选A.]
6．D [法一：因为AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，由余弦定理可得
BC＝
＝＝，
因为＝)，所以
||＝＝＝，
由余弦定理的推论可得
cos ∠ABC＝＝＝－，由＝)，可得
||＝
＝＝，
由重心的性质可得AP＝AM＝，
BP＝BN＝，
在△APB中，由余弦定理的推论可得cos ∠APB＝＝＝.故选D.
法二：以A为坐标原点，为x轴正方向，建立平面直角坐标系，得A(0，0)，C(5，0)，B(1，)．
由题意P为△ABC的重心，故P，所以＝＝，所以cos ∠APB＝＝＝.故选D.]
7．ABC [对于A，由题意及余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC＝22＋32－2×2×3×＝7，BC＝，故A正确；
对于B，由A结合正弦定理可知△ABC的外接圆半径为R＝＝＝，故B正确；
对于C，当AD为∠BAC的角平分线时，则由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
得AB×AC sin ∠BAC＝AB×AD sin ∠BAD＋AD×AC sin ∠CAD，所以×2×3sin ＝×2×AD sin AD×3sin ，
即＝AD＋AD，AD＝，故C正确；
对于D，当D为BC中点时，有＝，
所以＝＝＋＋＝×22＋×32＋×2×3cos ＝1＋＝，
所以AD2＝ AD＝，故D错误．
故选ABC.]
8．AD [对于A，由余弦定理的推论得cos A＝＝，即b2＋a2＝c2，
所以C＝，又cos B＝，B为三角形内角，
所以sin B＝，cos ∠BAC＝＝2cos2∠CAD－1，解得cos∠CAD＝(负舍)．
在Rt△ACD中，AC＝AD cos ∠CAD＝2，故A正确；
对于B，在Rt△ABC中，cos ∠BAC＝＝，代入AC＝2，解得AB＝，故B错误；
对于C，＝
＝，解得＝＝，故C错误；
对于D，S△ABD＝AD·AB·sin ∠BAD＝＝，故D正确．故选AD.]
9．2 [由余弦定理的推论得cos 60°＝，整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋(舍负)．
因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以×2AC sin 60°＝×2AD sin 30°＋AC·AD sin 30°，所以AD＝＝＝2.]
10．2 [在△ABM中，
AM2＝BA2＋BM2－2BA·BM cos 60°，
∴(2)2＝22＋BM2－2×2×BM×，
∴BM2－2BM－8＝0，解得BM＝4或－2(舍去)．
∵点M是BC中点，∴MC＝4，BC＝8，在△ABC中，AC2＝22＋82－2×2×8cos 60°＝52，∴AC＝2.
在△AMC中，cos ∠MAC＝
＝.]
11．解：(1)因为＝，由正弦定理得＝，整理得a2－ac＝b2－c2，即a2＋c2－b2＝ac，
又由余弦定理的推论得cos B＝＝.
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)如图所示，因为S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，
所以S△ABC＝BD·c sin BD·a sin ＝(a＋c)．
又因为S△ABC＝ac sin ＝ac，所以(a＋c)＝ac.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos ＝(a＋c)2－3ac＝6，
联立方程组可得3(ac)2－3ac＝6，即(ac)2－ac－2＝0，
解得ac＝2或ac＝－1(舍去)，
所以S△ABC＝ac sin B＝ac＝.
12．解：(1)由a2＋b2(1－4cos2B)＝－ab，
有a2＋b2－4b2cos2B＝－ab，
又c＝2b cosB，所以c2＝4b2cos2B，
即a2＋b2－c2＝－ab，
由余弦定理的推论，得
cosC＝＝＝－，
又C∈(0，π)，所以C＝，
由c＝2b cos B及正弦定理，得
sin C＝2sin B cos B，
所以sin 2B＝，
由B∈，得2B∈，
所以2B＝，解得B＝.
(2)由(1)可知B＝，C＝，
所以A＝π－＝，
所以a＝b，
由c＝2b cos B，得c＝a.
因为△ABC的周长为4＋2，
所以a＋a＋a＝4＋2，解得a＝2.
设BC的中点为D，
则CD＝BC＝1，
如图所示．
在△ACD中由余弦定理，得
AD＝
＝＝，
所以BC边上中线的长为.
[B组 在综合中考查关键能力]
13．解：(1)在△ABC中，＝sin A tan ，由正弦定理和同角三角函数的关系，
得＝，
由倍角公式得＝.
又因为A，C为△ABC的内角，
所以A∈∈，
所以sin A≠0，cos ≠0.
所以sin2＝，sin＝，
则有＝，得C＝.
(2)法一：因为a＝8，b＝5，C＝，
所以＝b2＝25，＝a2＝64，
＝·cos ∠ACB
＝ba cos ∠ACB＝5×8×cos ＝20，
由题意知CH⊥AB，
所以＝0，
即＝(m－n)()－m＋n＝20(m－n)－25m＋64n＝0.
所以5m＝44n，所以＝.
法二：在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos ∠ACB＝82＋52－2×8×5×＝49，
所以c＝7.
又因为S△ABC＝ab sin ∠ACB＝c·CH，
所以CH＝＝＝.
所以AH＝＝＝.
所以＝＝＝.
由平面向量基本定理知，m＝，n＝，
所以＝.
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