课后作业(二十九)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．C [单位向量的模相等，但是方向不一定相同，故A错误；对于B，单位向量|e|＝1，故B错误；零向量与任意向量平行，故C正确；零向量是有方向的，其方向是任意的，故D错误．]
2．A [由正六边形的性质，可知△OAB与△OBC都是等边三角形， ∴OA＝AB＝BC＝OC，
∴四边形OABC是平行四边形，∴＝，
∴＝＝0，故选A．]
3．A [M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则＝－＝－，
所以＋2＋2＝＝＝＝＝．故选A．]
4．C [若A，B，C三点共线，则存在不为0的实数m，使得＝m，即a＋λb＝m(μa＋b)，
可得 所以λμ＝1．
故选C．]
5．C [因为＝，故a，b同向．
对于A，a＝－2b，a，b方向相反，A选项错误；
对于B，a2＝b2，得出＝，不能得出方向，B选项错误；对于C，a＝2b，a，b方向相同，则＝成立，C选项正确；对于D，＝，不能确定a，b的方向，D选项错误．故选C．]
6．C [当a≠0且b≠0时，由|a＋b|＝|a|＋|b|，可知a，b共线，且同向，故存在实数λ，使得a＝λb(λ>0)，令λ＝，其中m，n同号，即a＝b，即ma＝nb，则存在实数m，n，使得ma＝nb，当a≠0，b＝0时，选项A，B错误；当a＝0，b≠0时，|a－b|≠|a|－|b|，故D错误．故选C．]
7．BD [如图，M为△ABC的重心，则＝0，A错误，B正确；
＝＝
＝)＝，C错误；
由DM＝AD得S△MBC＝S△ABC，D正确．]
8．ABC [∵AB∥CD，AB＝2DC，
∴＝＝－＝－，故A正确；
∵＝3，∴＝＝－，
∴＝＝＝，又F为AE的中点，∴＝＝，故B正确；
＝＝－＝－，故C正确；
＝＝＝－＝－，故D错误．]
9．－ [由于c与d反向共线，
则存在实数k使c＝kd(k＜0)，
于是λa＋2b＝k[a＋(2λ－3)b]，
整理得λa＋2b＝ka＋(2λk－3k)b．
由于a，b不共线，所以有
整理得2λ2－3λ－2＝0，
解得λ＝2或λ＝－．
又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－．]
10．－ [由题意可得，＝＝＝＝＝，
所以a＝，b＝，所以a－b＝－．]
[B组 在综合中考查关键能力]
11．B [记点O到AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，S△OBC＝a·h2，S△OAC＝b·h3，S△OAB＝c·h1，因为S△OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0，则a·h2·b·h3·c·h1·＝0，即a·h2·＋b·h3·＋c·h1·＝0，又因为a·＋b·＋c·＝0，所以h1＝h2＝h3，所以点O是△ABC的内心．故选B．]
12．ACD [A选项，＝＝＝)＝，A正确；
B选项，假设M，B，C三点共线，则＝λ，即＝λ()，整理得＝－λ＋(1＋λ)，故当λ＝－2时，即＝2，与条件中的＝2－3不一致，所以M，B，C三点不共线，B错误；
C选项，根据＝λ()以及向量加法的平行四边形法则，
可知点M在直线AD上，又由＝(1－2μ)，可知点M在直线BC上，所以点M为边BC的中点，所以λ＝，1－2μ＝，即μ＝，所以λ＋μ＝，C正确；
D选项，因为＝x＋y，而x＋y＝，所以3＝3x＋3y，其中3x＋3y＝1，不妨设＝3，则Q点在直线BC上，由于△MBC与△ABC同底，而高线之比等于MQ与AQ之比，即比值为2∶3，所以△MBC的面积是△ABC面积的，D正确．]
13． [如图，过点P作AB，AC的垂线交AB，AC分别于点E，F，
由于＝，
所以＝＝，则||＝4，||＝1，所以在等腰直角△ABC中，PE＝1，BE＝1，所以AB＝5，故△ABC的面积S＝×5×5＝．]
14．a＋b [由题知，＝＝
＝＝，
即＝b＋a．
由＝＝m＝n，
所以＝，
因为M，N，O三点共线，
所以＝1，
所以＝
＝＋2＝，
当且仅当＝，即m＝4－8，n＝时等号成立．]
4 / 4课后作业(二十九) 平面向量的概念及线性运算
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共73分
一、单项选择题
1．下列说法正确的是( )
A．单位向量均相等
B．单位向量e＝1
C．零向量与任意向量平行
D．零向量是唯一没有方向的向量
2．(人教A版必修第二册P4例2改编)如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则＝( )
A．0 B．0
C． D．
3．设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则＋2＋2＝( )
A． B．
C．2 D．
4．已知a，b是平面内两个不共线的向量，＝a＋λb，＝μa＋b，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件是( )
A．λ－μ＝1 B．λ＋μ＝2
C．λμ＝1 D．＝1
5．(2025·辽宁实验中学模拟)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，能使＝一定成立的是( )
A．a＝－2b B．a2＝b2
C．a＝2b D．＝
6．若向量a，b满足|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列结论一定正确的是( )
A．a＝0
B．存在实数λ，使得a＝λb
C．存在实数m，n，使得ma＝nb
D．|a－b|＝|a|－|b|
二、多项选择题
7．已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是( )
A．||＝||＝||
B．＝0
C．＝
D．S△MBC＝S△ABC
8．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则( )
A．＝－
B．＝
C．＝－
D．＝
三、填空题
9．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋2b，d＝a＋(2λ－3)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为________．
10．如图，在平行四边形ABCD中，＝4＝2，＝a＋b，则a－b＝________．
11．在平面上有△ABC及其内部一点O满足关系式：S△OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0，即称为经典的“奔驰定理”．已知点O是△ABC所在平面内一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a·＋b·＋c·＝0，则O为△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
12．(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若＝，则＝
B．若＝2－3，则M，B，C三点共线
C．若＝λ()，＝(1－2μ)，λ，μ∈R，则λ＋μ＝
D．若＝x＋y且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
13．(2025·广东佛山模拟)等腰直角△ABC中，点P是斜边BC上一点，若＝，则△ABC的面积为________．
14．(2024·天津和平区期末)如图，在△ABC中，＝3，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，记＝a，＝b，用a，b表示＝________；设＝m＝n，若m>0，n>0，则的最小值为________．
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