课后作业(三十二) 复数
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共74分
一、单项选择题
1．(2023·北京高考)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1，)，则z的共轭复数＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
2．(2024·全国甲卷)若z＝5＋i，则i(＋z)＝( )
A．10i B．2i
C．10 D．－2
3．(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知i是虚数单位，若为纯虚数，则实数a的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．－2
4．(2024·山东济南二模)已知复数z满足z＝3＋i，则在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．(2024·广东揭阳二模)已知复数z在复平面内对应的点为，且＝4，则( )
A．a2＋＝4 B．a2＋＝16
C．＋b2＝4 D．＋b2＝16
6．(2024·辽宁沈阳二模)已知i是虚数单位，复数z满足＝1，则的最小值为( )
A．－1 B．1
C．＋1 D．3
二、多项选择题
7．(2024·河南郑州二模)在复平面内，复数z1＝i对应的点为A，复数z2＝z1－1对应的点为B，下列说法正确的是( )
A．＝＝1
B．z1·z2＝
C．向量对应的复数是1
D．＝
8．(2025·山东菏泽模拟)设α，β是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的两根，其中p，q∈R．若α＝2i－3(i为虚数单位)，则( )
A．β＝2i＋3 B．p＋q＝38
C．α＋β＝－6 D．＝2
三、填空题
9．已知i是虚数单位，则＝________．
10．请写出一个同时满足①；②＝2的复数z，即z＝________．
11．(2024·广东广州三模)当－A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
12．(多选)(2024·江苏南通质检)已知复数z1＝－2＋i(i为虚数单位)，复数z2满足|z2－1＋2i|＝2，z2在复平面内对应的点为M(x，y)，则( )
A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限
B．＝－i
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝4
D．|z2－z1|的最大值为3＋2
13．(多选)(人教A版必修第二册P81阅读与思考改编)在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是任何一元n(n∈N*)次复系数多项式方程f (x)＝0在复数集中有n个复数根(重根按重数计)．在复数集范围内，若ω是x3＝1的一个根，则ω2＋ω＋1＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
14．(2023·上海春季高考)已知z1，z2∈C且z1＝i·，|z1－1|＝1，则|z1－z2|的取值范围为________．
3 / 3课后作业(三十二)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．D [∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1，), ∴z＝－1＋i，则z的共轭复数＝－1－i，故选D．]
2．A [由z＝5＋i ＋z)＝10i．故选A．]
3．D [依题意，＝a＋2＋(2－a)i是纯虚数，于是，解得a＝－2，
所以实数a的值为－2．故选D．]
4．D [由题意知：z＝＝＝1＋2i，
所以在复平面内对应的点位于第四象限．故选D．]
5．B [由题意得z＝a＋bi，所以＝4，则a2＋＝16．故选B．]
6．B [＝1的几何意义是复数z对应的点Z到点A的距离为1，即点Z在以点A为圆心，1为半径的圆上，|z－|的几何意义是点Z到点B(，0)的距离．如图所示，|z－|min＝＝－1＝2－1＝1．故选B．
]
7．AD [因为z1＝i，所以z2＝－i，
所以A，B， ＝＝＝1，A正确；
z1·z2＝＝－ ＝－1，B错误；
由上可得＝，对应复数为－1，C错误；
＝＝1，＝1，D正确．故选AD．]
8．BCD [因为α，β是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的两根，其中p，q∈R且α＝2i－3，所以β＝－2i－3，
所以α＋β＝＝－6＝－，所以p＝12，
α·β＝＝13＝，所以q＝26，
则p＋q＝38，故A错误，B正确，C正确；
＝＝2，故D正确．故选BCD．]
9．i [因为＝＝＝i，
所以＝i2 025＝i．]
10．1＋i或－1－i(任选一个作答即可) [设z＝a＋bi，a，b∈R，由条件①可以得到＝，两边平方化简可得a＝b，由＝2 a2＋b2＝2 a＝b＝±1，z＝±．]
[B组 在综合中考查关键能力]
11．A [＝＝i．
因为－0，>0，
故复数在复平面内对应的点位于第一象限．故选A．]
12．ABD [对于A，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(－2，1)，该点位于第二象限，故A正确；
对于B，＝＝＝－i，故B正确；
对于C，由题意可得z2－1＋2i＝(x－1)＋(y＋2)i，
因为|z2－1＋2i|＝2，所以(x－1)2＋(y＋2)2＝4，故C错误；
对于D，因为z2在复平面内对应的点表示圆，
其圆心为P(1，－2)，半径为2，z1表示的点为Q(－2，1)，且|PQ|＝3，
所以|z2－z1|的最大值为2＋3，故D正确．]
13．AD [因为x3＝1，所以x3－1＝0，即(x－1)(x2＋x＋1)＝0，所以x＝1或x＝．
即ω＝1或ω＝．
当ω＝1时，ω2＋ω＋1＝3；当ω＝时，ω2＋ω＋1＝0．故选AD．]
14．[0，2＋] [设z1－1＝cos θ＋isin θ，则z1＝1＋cos θ＋isin θ．因为z1＝i·，所以z2＝sin θ＋i(cos θ＋1)，所以|z1－z2|＝
＝＝，显然当sin ＝时，原式取最小值0，当sin ＝－1时，原式取最大值2＋，故|z1－z2|的取值范围为[0，2＋]．]
1 / 3
