课后作业(三十三)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．C [由数列，2，…的前三项可知，数列的通项公式为an＝＝，由＝2，解得n＝7．
故选C．]
2．C [a6＝S6－S5＝6×7－5×6＝12．故选C．]
3．B [b4＝a7＝a6＋2＝(a5＋3)＋2＝a5＋5
＝(a4＋2)＋5＝a4＋7＝(a3＋3)＋7
＝a3＋10＝(a2＋2)＋10＝a2＋12
＝(a1＋3)＋12＝1＋15＝16．故选B．]
4．D [由an＋1＝an＋a1＋2n，可得an＋1－an＝a1＋2n，
则an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋(a1＋2)＋(a1＋4)＋…＋(a1＋2n－2)
＝na1＋(n－1)(2＋2n－2)＝na1＋n(n－1)，
由a10＝130，可得10a1＋90＝130，解得a1＝4．故选D．]
5．C [∵数列满足a1＝0，an＋1＝，a2＝＝－，
a3＝＝，a4＝＝0，…，
综上可知，对任意的n∈N*，an＋3＝an，∴a2 025＝a3×675＝a3＝．故选C．]
6．A [由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，
即＝，则＝＝＝，…，＝，n≥2，
由累乘法可得＝n(n≥2)，因为a1＝2，所以an＝2n(n≥2)，
又a1＝2，符合上式，所以an＝2n．故选A．]
7．C [数列{an}单调递增 an＋1>an，所以n＋1＋>n＋，即a8．B [Sn＝ 2Sn＝(n＋1)(Sn－Sn－1) (n＋1)Sn－1＝(n－1)Sn ＝．故S7＝S1··…·＝1××…×＝28．故选B．]
9．AC [数列{an}的前5项依次为2，0，2，0，2，
经验证，AC选项，显然可以表示．
对于B，当n＝1时，a1＝0，故B错误；
对于D，当n＝2时，a2＝2，故D错误．故选AC．]
10．BCD [假设第n项为{an}的最大项，
则
即
解得4≤n≤5，又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝，当n≥5时，数列{an}递减．
当n→＋∞时，an→0，而a1＝，所以A错误，故选BCD．]
11．(答案不唯一) [符合条件的数列有，…． ]
12． [因为an＋2＝3an＋1－2an，所以an＋2－an＋1＝2，
又因为单调递增，所以an＋1－an>0，
所以数列是以a2－a1＝2－λ为首项，2为公比的等比数列，
所以an＋1－an＝·2n-1，
所以·2n-1>0，即2－λ>0 λ<2，
则λ的取值范围为．]
13．证明：选①②作为条件证明③．
因为an＝n－Sn，所以当n＝1时，a1＝；
当n≥2时，an－1＝n－1－Sn－1，
两式相减得an－an－1＝1－an，
所以2an＝an－1＋1，
所以2(an－1)＝an－1－1．
因为bn＝an－1，所以2bn＝bn－1，即＝，
所以数列{bn}是首项为－，公比为的等比数列，
所以Tn＝＝－1．
选①③作为条件证明②．
因为an＝n－Sn，所以当n＝1时，a1＝；
当n≥2时，an－1＝n－1－Sn－1，
两式相减得an－an－1＝1－an，
所以2an＝an－1＋1，
所以2(an－1)＝an－1－1，所以＝，
所以数列{an－1}是首项为－，公比为的等比数列，
所以an－1＝－，所以an＝1－．
因为Tn＝－1，所以当n＝1时，b1＝T1＝－；
当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝－＝－．
因为当n＝1时也满足上式，所以bn＝－，
故bn＝an－1．
选②③作为条件证明①，
因为Tn＝－1，
所以当n＝1时，b1＝T1＝－；
当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝－＝－．
因为当n＝1时也满足上式，所以bn＝－．
因为bn＝an－1，所以an＝1－，
所以Sn＝n－ ＝n－＝n－ ．
故an＝n－Sn．
[B组 在综合中考查关键能力]
14．解：(1)∵2Sn＝(n＋1)an，
∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，
∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，
即nan＋1＝(n＋1)an，
∴＝，
∴＝＝…＝＝1，
∴an＝n(n∈N*)．
(2)由(1)知bn＝3n－λn2．
bn＋1－bn＝3n+1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)
＝2×3n－λ(2n＋1)．
∵数列{bn}为递增数列，
∴2×3n－λ(2n＋1)>0，
即λ<．令cn＝，
即＝＝>1．
∴{cn}为递增数列，∴λ即λ的取值范围为(－∞，2)．
1 / 4课后作业(三十三) 数列的概念与简单表示法
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共85分
一、单项选择题
1．已知数列，2，…，则2是该数列的( )
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．第8项
2．(2024·山东济南三模)若数列的前n项和Sn＝n(n＋1)，则a6＝( )
A．10 B．11
C．12 D．13
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ 若bn＝a2n－1，则b4＝( )
A．18 B．16
C．11 D．6
4．(2024·河北唐山二模)已知数列{an}满足an＋1＝an＋a1＋2n，a10＝130，则a1＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．(高考改编)已知数列满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a2 025＝( )
A．0 B．－
C． D．
6．已知数列{an}满足a1＝2，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝( )
A．2n B．
C．n2＋1 D．n＋1
7．(2025·湖南长沙模拟)数列{an}的通项公式为an＝n＋，若数列{an}单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，2) D．[1，＋∞)
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝，且a1＝1，则S7＝( )
A．14 B．28
C．56 D．112
二、多项选择题
9．(2025·江苏常州模拟)已知数列{an}的前5项依次为2，0，2，0，2，则下列可以作为数列{an}通项公式的是( )
A．an＝ B．an＝(－1)n＋1
C．an＝2 D．an＝4
10．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·，则下列说法正确的是( )
A．数列{an}的最小项是a1
B．数列{an}的最大项是a4
C．数列{an}的最大项是a5
D．当n≥5时，数列{an}递减
三、填空题
11．已知数列{an}满足下列条件：①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数．写出一个符合条件的数列{an}的通项公式：an＝________．
12．(2025·四川雅安模拟)已知数列满足an＋2＝3an＋1－2an，a1＝λ，a2＝2，单调递增，则λ的取值范围为________．
四、解答题
13．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，从①an＝n－Sn；②bn＝an－1；③Tn＝－1中选择两个作为条件，证明另外一个成立．
14．已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围．
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