课后作业(三十四)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．B [因为是等差数列，故a1＋a14＝a5＋a10＝9，所以S14＝＝63．故选B．]
2．B [由S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝5a8＝0，则a8＝0，
则等差数列{an}的公差d＝＝－，故a1＝a5－4d＝1－4×＝．
故选B．]
3．D [因为数列为等差数列，且a1＝1，a4＝－，所以＝1，＝4，
设该等差数列的公差为d，则3d＝4－1＝3，即d＝1，
则＝1＋2 024d＝2 025，
所以a2 025＝－．故选D．]
4．D [由题意设等差数列的首项、公差分别为a1，d，因为＝(2a1＋d)＝d＝6，所以d＝4，从而a7－a4＝3d＝12．故选D．]
5．D [∵＝，∴＝＝＝＝3．故选D．]
6．A [因为2a＝3，2b＝6，2c＝12，
所以a＝log23，b＝log26，c＝log212，
则2b＝a＋c，故a，b，c是等差数列．故选A．]
7．A [因为an＝a1＋(n－1)d，所以＝＋d，
当0＜a1＜d时，a1－d＜0，而＞，则＜，因此＜，所以为递增数列，故充分性成立；当为递增数列时，＜，即有＜，整理得a1＜d，不能推出0＜a1＜d，故必要性不成立，所以“0
8．C [由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{an}，易知其首项a1＝9，公差d＝9，所以an＝a1＋(n－1)d＝9n．设数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列，所以2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n，所以(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝S2n－2Sn＝－2×＝9n2＝729，得n＝9，所以三层共有扇面形石板的块数为S3n＝＝＝3 402．故选C．]
9．CD [由S11＝＝11a6＞0，得a6＞0，又S12＝＝6(a6＋a7)＜0，得a6＋a7＜0，
∴a6＞0，a7＜0，d＜0，∴数列{an}是递减数列，其前6项为正数，从第7项起均为负数，因此前六项和最大，∴a4＞0，a9＜0，|a4|－|a9|＝a4＋a9＝a6＋a7＜0，即|a4|＜|a9|，故A、B错误，C、D正确．]
10．AD [A选项，因为an－an＋1＝anan＋1，所以＝1，所以是公差为1的等差数列，A正确；
B选项，因为a1＝1，所以＝1，故＝1＋＝n，故an＝， 则a10＝，B错误；
C选项，an＝，当n≥2时，an－an－1＝<0，为递减数列，C错误；
D选项，当n为奇数时，＝－n，当n为偶数时，＝n，
所以的前20项和为－1＋2－3＋4－…－19＋20＝＋…＋＝10，D正确．故选AD．]
11．2 [由2S3＝3S2＋6可得2＝3·＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6，
即2＝2a1＋d＋6，解得d＝2．]
12．10 [设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a4＝2a2＋3d＝＋3d＝4，即d＝，所以an＝a2＋(n－2)d＝n，故a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，a6＝3，所以b1＝b2＝b3＝1，b4＝b5＝2，b6＝3，则数列{bn}的前6项和S6＝10．]
13．解：(1)证明：因为＋n＝2an＋1，
即2Sn＋n2＝2nan＋n，①
当n≥2时，2Sn－1＋＝2an－1＋，②
①－②得，2Sn＋n2－2Sn－1－＝2nan＋n－2an－1－，
即2an＋2n－1＝2nan－2an－1＋1，
即2an－2an－1＝2，
所以an－an－1＝1，n≥2且n∈N*，
所以是以1为公差的等差数列．
(2)由(1)可得a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8，
又a4，a7，a9成等比数列，所以＝a4 ·a9，
即＝，解得a1＝－12，
所以Sn＝－12n＋＝n2－n
＝－，
所以当n＝12或n＝13时，＝－78．
[B组 在综合中考查关键能力]
14．解：(1)因为3a2＝3a1＋a3，所以3(a2－a1)＝a1＋2d，所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d，
所以an＝nd．
因为bn＝，所以bn＝＝，
所以S3＝＝＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝＝．
因为S3＋T3＝21，
所以6d＋＝21，解得d＝3或d＝，
因为d＞1，所以d＝3．
所以{an}的通项公式为an＝3n．
(2)因为bn＝，且{bn}为等差数列，
所以2b2＝b1＋b3，即2×＝，
所以＝，
所以－3a1d＋2d2＝0，
解得a1＝d或a1＝2d．
①当a1＝d时，an＝nd，所以bn＝＝＝，
S99＝＝＝99×50d，
T99＝＝＝．
因为S99－T99＝99，
所以99×50d－＝99，
即50d2－d－51＝0，
解得d＝或d＝－1(舍去)．
②当a1＝2d时，an＝(n＋1)d，所以bn＝＝＝，
S99＝＝＝99×51d，
T99＝＝＝．
因为S99－T99＝99，
所以99×51d－＝99，
即51d2－d－50＝0，
解得d＝－(舍去)或d＝1(舍去)．
综上，d＝．
1 / 4课后作业(三十四) 等差数列
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共90分
一、单项选择题
1．记等差数列的前n项和为Sn．若a5＝7，a10＝2，则S14＝( )
A．49 B．63
C．70 D．126
2．(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝( )
A． B．
C．－ D．－
3．已知数列为等差数列，且a1＝1，a4＝－，则a2 025＝( )
A． B．－
C． D．－
4．(2024·浙江绍兴二模)已知等差数列的前n项和为Sn，且＝6，则a7－a4＝( )
A．9 B．10
C．11 D．12
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和．若＝，则＝( )
A． B．
C．2 D．3
6．若2a＝3，2b＝6，2c＝12，则( )
A．a，b，c是等差数列
B．a，b，c是等比数列
C．是等差数列
D．是等比数列
7．(2025·湖南长沙模拟)设等差数列{an}的公差为d，则“0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
二、多项选择题
9．公差为d的等差数列{an}，其前n项和为Sn，S11＞0，S12＜0，则下列说法正确的有( )
A．d＞0 B．a7＞0
C．{Sn}中S6最大 D．|a4|＜|a9|
10．已知数列的首项a1＝1，an－an＋1＝anan＋1，则( )
A．为等差数列
B．a10＝10
C．为递增数列
D．的前20项和为10
三、填空题
11．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________．
12．在等差数列{an}中，a2＝，a3＋a4＝4，设bn＝[an]，[x]表示不超过x的最大整数，如[0.2]＝0，[3.5]＝3，则数列{bn}的前6项和S6＝________．
四、解答题
13． (2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1．
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．
14．(2023·新高考Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d＞1．令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．
(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；
(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d．
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