课后作业(三十五) 等比数列
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共90分
一、单项选择题
1．(2024·山西临汾二模)已知等比数列，a1＝1，a5＝4，则a3＝( )
A．2 B．－2
C．±2 D．2
2．(2024·浙江杭州三模)设 Sn 为等比数列的前 n 项和，已知 S3＝a4－2，S2＝a3－2，则公比 q＝( )
A．2 B．－2
C． D．－
3．(人教A版选择性必修第二册P37例9改编)记等比数列的前n项和为Sn，若S8＝8，S12＝26，则S4＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．(2024·黑龙江齐齐哈尔一模)已知数列为等比数列，m，t，p，s均为正整数，设甲：amat＝apas；乙：m＋t＝p＋s，则( )
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
5．已知两个等比数列{an}，{bn}的前n项积分别为An，Bn，若＝3，则＝( )
A．3 B．27
C．81 D．243
6．(2023·天津高考)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为( )
A．3 B．18
C．54 D．152
7．数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
8．(2025·河南洛阳模拟)折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动．在一次数学实践课上，某同学将一张腰长为1的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形的斜边长为( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．(2025·河南郑州期末)设等比数列的前n项和为Sn，且Sn＝2n+1＋a(a为常数)，则( )
A．a＝－1 B．的公比为2
C．an＝2n D．S9＝1 023
10．(2025·重庆模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，且an＋1＝3an＋2n，则( )
A．数列{an＋2n}是等比数列
B．数列是等比数列
C．an＝2×3n－2n+1
D．Sn＝2(3n－2n)
三、填空题
11．写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{an}的通项公式an＝________．
①anan＋1<0；②|an|<|an＋1|．
12．记Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝1－an，记Tn＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n－1a2n＋1，则an＝________，Tn＝________．
四、解答题
13．(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4．
(1)证明：a1＝b1；
(2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数．
14．在直角坐标平面内，将函数f (x)＝2－及g(x)＝在第一象限内的图象分别记作C1，C2，点Pn在C1上．过Pn作平行于x轴的直线，与C2交于点Qn，再过点Qn作平行于y轴的直线，与C1交于点Pn＋1．
(1)若a1＝，请直接写出a2，a3的值；
(2)若0
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[A组 在基础中考查学科功底]
1．A [由等比数列的性质可知＝a1·a5＝4，所以a3＝±2，又因为＝q2>0，所以a3＝2．故选A．]
2．A [由已知，S3＝a4－2，S2＝a3－2，两式相减得，
S3－S2＝a3＝a4－a3，即a4＝2a3，即q＝＝2．
故选A．]
3．B [因为数列为等比数列，且等比数列的前n项和为Sn，所以S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则＝S4·，
即＝S4·，解得S4＝32或S4＝2．
设等比数列的公比为q，则q≠1,
＝＝1＋q4>1，则S8>S4>0，得S4＝2．
故选B．]
4．B [设数列的公比为q，首项为a1，
若m＋t＝p＋s，则qm＋t-2＝qp＋s-2，即amat＝apas，满足必要性；当q＝1时，对任意正整数m，t，p，s均有amat＝apas，不满足充分性，所以甲是乙的必要不充分条件．故选B．]
5．D [法一：设等比数列{an}的公比为q1，
则a3＝，{an}的前5项积A5＝a1a2a3a4a5＝＝．
设等比数列{bn}的公比为q2，
则b3＝，B5＝．
因为＝＝3，
所以＝＝＝35＝243．故选D．
法二：由等比数列的性质知a1a5＝a2a4＝，所以{an}的前5项积A5＝a1a2a3a4a5＝，同理可得B5＝，
所以＝＝35＝243．故选D．]
6．C [因为{an}为等比数列，an＋1＝2Sn＋2，
所以a2＝2S1＋2＝2a1＋2，
a3＝2S2＋2＝2(a1＋2a1＋2)＋2＝6a1＋6，
由等比数列的性质可得＝a1 ·a3，
即(2＋2a1)2＝(6a1＋6)·a1，
所以a1＝2或a1＝－1(舍)，
所以a2＝6，设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝3，则a4＝a1·q3＝2×33＝54．
故选C．]
7．C [∵a1＝2，am＋n＝aman，令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an，∴{an}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2×2n-1＝2n．
又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，
∴＝215－25，
即2k+1(210－1)＝25(210－1)，
∴2k+1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4．故选C．]
8．A [由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为，公比为，故对折6次后，得到腰长为＝的等腰直角三角形，
所以斜边长为＝．故选A．]
9．BC [因为Sn＝2n+1＋a，所以a1＝4＋a，a2＝S2－S1＝4，a3＝S3－S2＝8．
因为{an}是等比数列，所以＝a1a3，即42＝8(4＋a)，解得a＝－2，则A错误；
等比数列{an}的公比q＝＝2，则B正确；
因为a1＝2，q＝2，所以an＝a1qn-1＝2n，则C正确；
因为a＝－2，所以Sn＝2n+1－2，所以S9＝210－2＝1 022，则D错误．故选BC．]
10．ABD [an＋1＋2n+1＝3an＋2n＋2n+1＝3an＋3·2n＝3(an＋2n)，
又a1＋2＝4≠0，＝3，故数列{an＋2n}是以4为首项，3为公比的等比数列，
所以an＋2n＝4×3n-1，an＝4×3n-1－2n，Sn＝＝2(3n－2n)，故A正确，C错误，D正确；
＋1＝＋1＝＝，
又因为＋1＝2≠0，故数列是以2为首项，为公比的等比数列，B正确．故选ABD．]
11．(－2)n(答案不唯一) [设等比数列{an}的公比为q，
由anan＋1<0，可知q<0，
又|an|<|an＋1|，所以|q|>1，
所以q<－1，所以q可取－2，
设a1＝－2，
则an＝－2·(－2)n-1＝(－2)n(答案不唯一)．]
12． [由题意得a1＝1－a1，故a1＝．
当n≥2时，由得an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1，
则＝，
故数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，
故数列{an}的通项公式为an＝．
由等比数列的性质可得a1a3＝，a3a5＝，…，a2n－1a2n＋1＝，
所以数列{a2n－1a2n＋1}是以＝为首项，为公比的等比数列，
则Tn＝＝＝．]
13．解：(1)证明：设等差数列{an}的公差为d，
由a2－b2＝a3－b3，知a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，故d＝2b1，由a2－b2＝b4－a4，知a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，故a1＋d－2b1＝4d－(a1＋3d)，故a1＋d－2b1＝d－a1，整理得a1＝b1，得证．
(2)由(1)知d＝2b1＝2a1，由bk＝am＋a1知b1·2k-1＝a1＋(m－1)·d＋a1，
即b1·2k-1＝b1＋(m－1)·2b1＋b1，即2k-1＝2m，
因为1≤m≤500，故2≤2k-1≤1 000，解得2≤k≤10(k∈N*)，
故集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数为9．
[B组 在综合中考查关键能力]
14．解：(1)易知当a1＝时，
则由题意 f＝f＝2－＝，
所以P1，故Q1，又Q1在C2上，
所以＝ a2＝，故Q1，且f＝f＝2－＝，
所以P2，故Q2，且Q2在C2上，所以＝ a3＝，
综上a2＝，a3＝．
(2)证明：依题意，由Pn可得Qn，
因为Qn在C2上，所以f＝，
又f＝2－，
所以＝2－，整理可得an＋1＝，
所以an＋1－＝①，且an＋1＋＝②，
由①÷②得＝－，
又由0所以是以－为公比的等比数列．
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